استبدال بايرلز

نقدم هنا اشتقاقًا بسيطًا لاستبدال بايرلز، استنادًا إلى محاضرات فاينمان (المجلد الثالث، الفصل 21). ^{[ 3 ]} يفترض هذا الاشتقاق أن المجالات المغناطيسية تُدمج في نموذج الربط المحكم بإضافة طور إلى حدود القفز، ويُبين أنه متسق مع هاميلتوني الاستمرارية. وبالتالي، فإن نقطة انطلاقنا هي هاميلتوني هوفستاتر : ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle H_{0}=\sum _{m,n}{\bigg (}-te^{i\theta _{m,n}^{x}}\vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert -te^{i\theta _{m,n}^{y}}\vert m,n\!+\!a\rangle \langle m,n\vert -\epsilon _{0}\vert m,n\rangle \langle m,n\vert {\bigg )}+{\text{h.c}}.}$$

عامل الترجمة${\displaystyle \vert m+1\rangle \langle m\vert }$يمكن كتابة هذه المعادلة صراحةً باستخدام مولدها، أي مؤثر الزخم . وبموجب هذا التمثيل، يسهل توسيعها حتى الرتبة الثانية.

$${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert =\exp {{\bigg (}\!-\!{\frac {i\mathbf {p} _{x}a}{\hbar }}{\bigg )}}\vert m\rangle \langle m\vert =\left(1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3})\right)\vert m\rangle \langle m\vert }$$

وفي شبكة ثنائية الأبعاد${\displaystyle \vert m\!+\!a\rangle \langle m\vert \longrightarrow \vert m\!+\!a,n\rangle \langle m,n\vert }$بعد ذلك، نقوم بتوسيع عوامل الطور حتى الرتبة الثانية، بافتراض أن الجهد المتجه لا يتغير بشكل كبير على مسافة شبكية واحدة (والتي تعتبر صغيرة).

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=1+i\theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}+{\mathcal {O}}(\theta ^{3}),\\\theta &\approx {\frac {aqA_{x}}{\hbar }},\\e^{i\theta }&=1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}).\end{aligned}}}$$

باستبدال هذه التوسعات بالجزء ذي الصلة من الهاميلتوني نحصل على

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }\vert m+a\rangle \langle m\vert +e^{-i\theta }\vert m\rangle \langle m+a\vert &={\bigg (}1+{\frac {iaqA_{x}}{\hbar }}-{\frac {a^{2}q^{2}A_{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}{\bigg (}1-{\frac {i\mathbf {p} _{x}}{\hbar }}a-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{2\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert +{\text{h.c}}\\&={\bigg (}2-{\frac {\mathbf {p} _{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\frac {q\lbrace \mathbf {p} _{x},A_{x}\rbrace }{\hbar ^{2}}}a^{2}-{\frac {q^{2}A_{x}^{2}}{\hbar ^{2}}}a^{2}+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert \\&={\bigg (}-{\frac {a^{2}}{\hbar ^{2}}}{\big (}\mathbf {p} _{x}-qA_{x}{\big )}^{2}+2+{\mathcal {O}}(a^{3}){\bigg )}\vert m\rangle \langle m\vert .\end{aligned}}}$$

بتعميم النتيجة الأخيرة على الحالة ثنائية الأبعاد، نصل إلى هاميلتوني هوفستاتر عند حد الاستمرارية :

${\displaystyle H_{0}={\frac {1}{2m}}{\big (}\mathbf {p} -q\mathbf {A} {\big )}^{2}+{\tilde {\epsilon _{0}}}}$

حيث الكتلة الفعالة هي${\displaystyle m=\hbar ^{2}/2ta^{2}}$و${\displaystyle {\tilde {\epsilon }}_{0}=\epsilon _{0}-4t}$.

نُبين هنا أن عامل طور بايرلز ينشأ من مُوَصِّل الإلكترون في مجال مغناطيسي بسبب الحد الديناميكي${\displaystyle q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$يظهر في لاغرانجيان. في صيغة التكامل المساري ، التي تعمم مبدأ الفعل في الميكانيكا الكلاسيكية ، سعة الانتقال من الموقع${\displaystyle j}$في ذلك الوقت${\displaystyle t_{j}}$إلى الموقع${\displaystyle i}$في ذلك الوقت${\displaystyle t_{i}}$يُعطى بواسطة

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}(\mathbf {r} )},}$$

حيث يعمل عامل التكامل،${\displaystyle \int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]}$يشير إلى المجموع على جميع المسارات الممكنة من${\displaystyle \mathbf {r} (t_{i})}$ل${\displaystyle \mathbf {r} (t_{j})}$و${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {r} _{ij}]=\int _{t_{i}}^{t_{j}}L[\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t]\mathrm {d} t}$هو الفعل الكلاسيكي ، وهو دالة تأخذ مسارًا كمعامل لها. نستخدم${\displaystyle \mathbf {r} _{ij}}$للدلالة على مسار بنقطتي نهاية عند${\displaystyle r(t_{i}),r(t_{j})}$يمكن كتابة لاغرانجيان النظام على النحو التالي:

$${\displaystyle L=L^{(0)}+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ,}$$

أين${\displaystyle L^{(0)}}$هي دالة لاغرانج في غياب المجال المغناطيسي. ويكون الفعل المقابل كما يلي:

$${\displaystyle S[\mathbf {r} _{ij}]=S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{t_{i}}^{t_{j}}dt\left({\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}\right)\cdot \mathbf {A} =S^{(0)}[\mathbf {r} _{ij}]+q\int _{\mathbf {r} _{ij}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }$$

الآن، بافتراض أن مسارًا واحدًا فقط يساهم بقوة، لدينا

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{i},t_{i}|\mathbf {r} _{j},t_{j}\rangle =e^{{\frac {iq}{\hbar }}\int _{\mathbf {r} _{c}}\mathbf {A} \cdot {\text{d}}\mathbf {r} }\int _{\mathbf {r} (t_{i})}^{\mathbf {r} (t_{j})}{\mathcal {D}}[\mathbf {r} (t)]e^{{\frac {\rm {i}}{\hbar }}{\mathcal {S}}^{(0)}[\mathbf {r} ]}}$$

وبالتالي، فإن سعة انتقال الإلكترون الخاضع لمجال مغناطيسي هي تلك الموجودة في غياب المجال المغناطيسي مضروبة في الطور.

يُعطى الهاميلتوني بواسطة

$${\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

أين${\displaystyle U\left(\mathbf {r} \right)}$يمثل هذا المشهد المحتمل الناتج عن الشبكة البلورية. وتنص نظرية بلوخ على أن حل المشكلة هو:${\displaystyle H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E\left(\mathbf {k} \right)\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$، يجب البحث عنها في شكل مجموع بلوخ

$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }\left(\mathbf {r} \right),}$$

أين${\displaystyle N}$يمثل عدد الخلايا الوحدوية، و${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$تُعرف هذه الدوال باسم دوال وانير . القيم الذاتية المقابلة لها${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)}$والتي تشكل نطاقات اعتمادًا على الزخم البلوري${\displaystyle \mathbf {k} }$يتم الحصول عليها عن طريق حساب عنصر المصفوفة

$${\displaystyle E\left(\mathbf {k} \right)=\int d\mathbf {r} \ \Psi _{\mathbf {k} }^{*}(\mathbf {r} )H\Psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {R} \mathbf {R} ^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \left(\mathbf {R} ^{\prime }-\mathbf {R} \right)}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} ^{\prime }}\left(\mathbf {r} \right)}$$

وتعتمد في نهاية المطاف على تكاملات القفز المعتمدة على المادة

$${\displaystyle t_{12}=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} _{1}}^{*}\left(\mathbf {r} \right)H\phi _{\mathbf {R} _{2}}\left(\mathbf {r} \right).}$$

في وجود المجال المغناطيسي، يتغير الهاميلتوني إلى

$${\displaystyle {\tilde {H}}(t)={\frac {\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (t)\right)^{2}}{2m}}+U\left(\mathbf {r} \right),}$$

أين${\displaystyle q}$هي شحنة الجسيم. ولتعديل ذلك، يُرجى النظر في تغيير دوال وانير إلى

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot dr'}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }\equiv {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {A} \to 0)}$وهذا يجعل دوال موجة بلوخ الجديدة

$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ),}$$

إلى الحالات الذاتية للهاميلتوني الكامل في الزمن${\displaystyle t}$بنفس الطاقة كما في السابق. ولرؤية ذلك، نستخدم أولاً${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$للكتابة

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}(t){{\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}&=\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\left[{\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t))^{2}}{2m}}+U(\mathbf {r} )\right]\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )\\&=e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }A(\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}H\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

ثم عندما نحسب التكامل القفزي في حالة شبه التوازن (بافتراض أن الجهد المتجه يتغير ببطء)

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)&=-\int d\mathbf {r} \ {\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} ){\tilde {H}}(t){\tilde {\phi }}_{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\left[-\int _{\mathbf {R} }^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '+\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {r} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '\right]}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} )\\&=-e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}\int d\mathbf {r} \ \phi _{\mathbf {R} }^{*}(\mathbf {r} )e^{i{\frac {q}{\hbar }}\Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }}H\phi _{\mathbf {R} '}(\mathbf {r} ),\end{aligned}}}$$

حيث حددنا${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ',\mathbf {r} ,\mathbf {R} }=\oint _{\mathbf {R} '\to \mathbf {r} \to \mathbf {R} \to \mathbf {R} '}\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}$، التدفق عبر المثلث الناتج عن وسائط الموضع الثلاثة. بما أننا نفترض${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$يكون التوزيع متجانسًا تقريبًا على مستوى الشبكة ^{[ 4 ]} - وهو المستوى الذي تتمركز عنده حالات وانير في المواضع${\displaystyle \mathbf {R} }$- يمكننا التقريب${\displaystyle \Phi _{\mathbf {R} ,\mathbf {r} ,\mathbf {R} '}\approx 0}$مما يؤدي إلى النتيجة المرجوة، $${\displaystyle {\tilde {t}}_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}(t)\approx t_{\mathbf {R} \mathbf {R} '}e^{i{\frac {q}{\hbar }}\int _{\mathbf {R} '}^{\mathbf {R} }\mathbf {A} (\mathbf {r} ',t)\cdot d\mathbf {r} '}.}$$ لذلك، فإن عناصر المصفوفة هي نفسها كما في حالة عدم وجود مجال مغناطيسي، باستثناء عامل الطور المُختار، والذي يُشار إليه بعامل طور بايرلز. وهذا أمرٌ في غاية السهولة، إذ يُتيح لنا استخدام نفس معلمات المادة بغض النظر عن قيمة المجال المغناطيسي، كما أن حساب الطور المُقابل أمرٌ بسيط للغاية. بالنسبة للإلكترونات (${\displaystyle q=-e}$) وهذا يعني استبدال مصطلح القفز${\displaystyle t_{ij}}$مع${\displaystyle t_{ij}e^{-i{\frac {e}{\hbar }}\int _{i}^{j}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} }}$^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}