عامل الزخم

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 31 صور
الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الكم ، يُعرف مؤثر الزخم بأنه المؤثر المرتبط بالزخم الخطي . ويُعد مؤثر الزخم، في تمثيل الموضع، مثالاً على مؤثر تفاضلي . وفي حالة جسيم واحد في بُعد مكاني واحد، يكون التعريف كما يلي: ص^=-أناℏ∂∂x{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} حيث ħ هو ثابت بلانك المختزل ، و i هي الوحدة التخيلية ، و x هو الإحداثي المكاني، و مشتق جزئي (يرمز له بـ∂/∂x{\displaystyle \partial /\partial x}يُستخدم الرمز ) بدلاً من المشتقة الكلية ( d / dx ) لأن دالة الموجة هي أيضاً دالة للزمن. يشير الرمز "#" إلى مؤثر. تطبيق هذا المؤثر على دالة موجة قابلة للتفاضل يكون كما يلي: ص^ψ=-أناℏ∂ψ∂x{\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}

في أساس فضاء هيلبرت المكون من حالات الزخم الذاتية المعبر عنها بتمثيل الزخم، يكون تأثير المؤثر ببساطة هو الضرب في p ، أي أنه مؤثر ضرب ، تمامًا كما أن مؤثر الموضع مؤثر ضرب في تمثيل الموضع. تجدر الإشارة إلى أن التعريف أعلاه هو الزخم الكنسي ، وهو ليس ثابتًا تحت التحويلات القياسية ، وليس كمية فيزيائية قابلة للقياس للجسيمات المشحونة في مجال كهرومغناطيسي . في هذه الحالة، لا يساوي الزخم الكنسي الزخم الحركي .

عندما طُوّرت ميكانيكا الكم في عشرينيات القرن العشرين، اكتشف العديد من الفيزيائيين النظريين، بمن فيهم نيلز بور ، وأرنولد سومرفيلد ، وإرفين شرودنغر، ويوجين ويغنر ، مؤثر الزخم . ويُعتبر وجوده وشكله أحيانًا أحد المسلمات الأساسية لميكانيكا الكم.

أصلها من موجات دي برولي المستوية

يمكن بناء مؤثرات الزخم والطاقة بالطريقة التالية. [ 1 ]

بُعد واحد

بدءاً من بُعد واحد، باستخدام حل الموجة المستوية لمعادلة شرودنغر لجسيم حر واحد، ψ(x،ت)=هـأناℏ(صx-هـت)،{\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},} حيث يُفسَّر p على أنه الزخم في اتجاه المحور x، و E هي طاقة الجسيم. المشتقة الجزئية من الرتبة الأولى بالنسبة للفضاء هي ∂ψ(x،ت)∂x=أناصℏهـأناℏ(صx-هـت)=أناصℏψ.{\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}

يشير هذا إلى تكافؤ المشغل ص^=-أناℏ∂∂x{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} إذن، فإن زخم الجسيم والقيمة المقاسة عندما يكون الجسيم في حالة موجة مستوية هي القيمة الذاتية (المعممة) للمؤثر المذكور أعلاه. [ 2 ]

بما أن المشتقة الجزئية مؤثر خطي ، فإن مؤثر الزخم خطي أيضًا، ولأن أي دالة موجية يمكن التعبير عنها كتراكب لحالات أخرى، فعندما يؤثر مؤثر الزخم هذا على الموجة المتراكبة بأكملها، فإنه يُنتج قيم الزخم الذاتية لكل مُركِّبة من مُركِّبات الموجة المستوية. ثم تتراكب هذه المُركِّبات الجديدة لتشكيل الحالة الجديدة، والتي لا تكون عادةً من مُضاعفات الدالة الموجية القديمة.

ثلاثة أبعاد

الاشتقاق في ثلاثة أبعاد هو نفسه، باستثناء استخدام عامل التدرج δ بدلاً من مشتقة جزئية واحدة. في ثلاثة أبعاد، يكون حل الموجة المستوية لمعادلة شرودنغر كما يلي: ψ=هـأناℏ(ص⋅ر-هـت){\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}} والتدرج هو ∇ψ=هـx∂ψ∂x+هـy∂ψ∂y+هـz∂ψ∂z=أناℏ(صxهـx+صyهـy+صzهـz)ψ=أناℏصψ// z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{محاذاة}}} حيث تمثل e x و e y و e z متجهات الوحدة للأبعاد المكانية الثلاثة، وبالتالي ص^=-أناℏ∇{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }

يوجد عامل الزخم هذا في فضاء الموضع لأن المشتقات الجزئية تم حسابها بالنسبة للمتغيرات المكانية.

التعريف (مساحة الموضع)

بالنسبة لجسيم واحد بدون شحنة كهربائية وبدون دوران ، يمكن كتابة عامل الزخم في أساس الموضع على النحو التالي: [ 3 ]ص^=-أناℏ∇{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla } حيث ∇ هو عامل التدرج ، وħ هو ثابت بلانك المختزل ، و i هي الوحدة التخيلية .

في بُعد مكاني واحد، يصبح هذا [ 4 ]ص^=ص^x=-أناℏ∂∂x.{\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}

هذا هو التعبير عن الزخم الكنسي . بالنسبة لجسيم مشحون q في مجال كهرومغناطيسي ، أثناء تحويل قياسي ، تخضع دالة الموجة في فضاء الموضع لتحويل مجموعة U(1) محلي ، [ 5 ] وص^ψ=-أناℏ∂ψ∂x{\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}سيتغير مقداره. لذلك، فإن الزخم الكنسي ليس ثابتًا بالنسبة للمقياس ، وبالتالي فهو ليس كمية فيزيائية قابلة للقياس.

يمكن التعبير عن الزخم الحركي ، وهو كمية فيزيائية ثابتة القياس، بدلالة الزخم الكنسي، والجهد القياسي φ والجهد المتجه A : [ 6 ]  P^=-أناℏ∇-qأ{\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }

يُطلق على التعبير أعلاه اسم الاقتران الأدنى . بالنسبة للجسيمات المتعادلة كهربائياً، يكون الزخم الكنسي مساوياً للزخم الحركي.

ملكيات

الانعزالية

يمكن وصف مؤثر الزخم بأنه مؤثر متناظر (أي هيرميتي) وغير محدود ، يعمل على فضاء جزئي كثيف من فضاء الحالة الكمومية . إذا كان المؤثر يعمل على حالة كمومية ( قابلة للتطبيع )، فإنه يكون ذاتي الترافق . في الفيزياء، يشير مصطلح "هيرميتي" غالبًا إلى كل من المؤثرات المتناظرة وذاتية الترافق. [ 7 ] [ 8 ]

(في بعض الحالات الاصطناعية، مثل الحالات الكمومية على الفترة شبه اللانهائية [ 0, ∞) ، لا توجد طريقة لجعل مؤثر الزخم هيرميتيًا. [ 9 ] يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بحقيقة أن الفترة شبه اللانهائية لا يمكن أن يكون لها تناظر انتقالي - وبشكل أكثر تحديدًا، لا تحتوي على مؤثرات انتقالية وحدوية . انظر أدناه .)

علاقة التبادل الكنسي

بتطبيق المبدل على أي حالة في أساس الموضع أو أساس الزخم، يمكن للمرء أن يثبت بسهولة ما يلي: [x^،ص^]=x^ص^-ص^x^=أناℏأنا،{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \mathbb {I} ,} أينأنا{\displaystyle \mathbb {I} }هو عامل الوحدة . [ 10 ] يحدد مبدأ هايزنبرغ للشك حدود دقة معرفة الزخم والموقع لنظام قابل للرصد في آن واحد. في ميكانيكا الكم، يُعتبر الموقع والزخم متغيرين مترافقين .

تحويل فورييه

يستخدم النقاش التالي ترميز برا-كيت . يمكن كتابة ψ(x)=⟨x|ψ⟩=∫دص ⟨x|ص⟩⟨ص|ψ⟩=∫دص هـأناxص/ℏψ~(ص)2πℏ،{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},} إذن، تمثل علامة التلدة تحويل فورييه، في التحويل من فضاء الإحداثيات إلى فضاء الزخم. وبالتالي، فإن ذلك ينطبق على ص^=∫دص |ص⟩ص⟨ص|=-أناℏ∫دx |x⟩ددx⟨x| ،{\displaystyle {\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,} أي أن الزخم المؤثر في فضاء الإحداثيات يتوافق مع التردد المكاني ، ⟨x|ص^|ψ⟩=-أناℏددxψ(x).{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).}

وينطبق الأمر نفسه على عامل الموضع في أساس الزخم. ⟨ص|x^|ψ⟩=أناℏددصψ(ص)،{\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),} مما يؤدي إلى مزيد من العلاقات المفيدة، ⟨ص|x^|ص′⟩=أناℏددصدلتا(ص-ص′)،{\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),}⟨x|ص^|x′⟩=-أناℏددxدلتا(x-x′)،{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),} حيث يرمز δ إلى دالة ديراك دلتا .

الاشتقاق من التحويلات المتناهية الصغر

يُرمز إلى عامل الإزاحة بالرمز T ( ε ) ، حيث يمثل ε طول الإزاحة. وهو يحقق المتطابقة التالية: تي(ε)|ψ⟩=∫دxتي(ε)|x⟩⟨x|ψ⟩{\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle } يصبح ذلك ∫دx|x+ε⟩⟨x|ψ⟩=∫دx|x⟩⟨x-ε|ψ⟩=∫دx|x⟩ψ(x-ε){\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}

بافتراض الدالةψ{\displaystyle \psi }لكي تكون الدالة تحليلية (أي قابلة للتفاضل في مجال ما من المستوى المركب )، يمكن توسيعها في متسلسلة تايلور حول x : ψ(x-ε)=ψ(x)-εدψدx{\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}} لذا بالنسبة للقيم المتناهية الصغر لـ ε : تي(ε)=1-εددx=1-أناℏε(-أناℏددx){\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}

كما هو معروف من الميكانيكا الكلاسيكية ، فإن الزخم هو مولد الانتقال ، لذا فإن العلاقة بين الانتقال ومؤثرات الزخم هي: [ 11 ]تي(ε)=1-أناℏεص^{\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}} هكذا ص^=-أناℏددx.{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}

مؤثر الزخم الرباعي

بإدخال مؤثر الزخم ثلاثي الأبعاد أعلاه ومؤثر الطاقة في الزخم الرباعي (كشكل من الدرجة الأولى مع إشارة مترية (+ − − −) ): Pμ=(هـج،-ص){\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)} يحصل على عامل الزخم الرباعي : P^μ=(1جهـ^،-ص^)=أناℏ(1ج∂∂ت،∇)=أناℏ∂μ{\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }} حيث ∂μ هو التدرج الرباعي ، ويصبح −iħ هو + iħ قبل مؤثر الزخم الثلاثي. يظهر هذا المؤثر في نظرية الحقل الكمومي النسبية ، مثل معادلة ديراك ومعادلات الموجة النسبية الأخرى ، حيث تتحد الطاقة والزخم في متجه الزخم الرباعي المذكور أعلاه، ويتوافق مؤثرا الزخم والطاقة مع مشتقات المكان والزمان، ويجب أن يكونا مشتقات جزئية من الرتبة الأولى لتغاير لورنتز .

يتم الحصول على عامل ديراك وقسمة ديراك للزخم الرباعي عن طريق الانكماش مع مصفوفات جاما : γμP^μ=أناℏγμ∂μ=P^=أناℏ∂/{\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}

إذا كانت التوقيعة (− + + +) ، فسيكون المعامل P^μ=(-1جهـ^،ص^)=-أناℏ(1ج∂∂ت،∇)=-أناℏ∂μ{\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }} بدلاً من.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فيزياء الكم للذرات والجزيئات والمواد الصلبة والنوى والجسيمات (الطبعة الثانية)، ر. ريسنيك، ر. إيسبرغ، جون وايلي وأولاده، 1985، رقم ISBN 978-0-471-87373-0
  2. ^ دي لا مدريد مودينو، ر. (2001). ميكانيكا الكم في لغة هيلبرت الفضائية (أطروحة دكتوراه). جامعة بلد الوليد. ص. 106. 
  3. ↑ تبسيط ميكانيكا الكم ، د. مكماهون، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2006، رقم ISBN 0-07-145546-9
  4. ↑ في تمثيل إحداثيات الموضع، أي-أناℏ∫دx|x⟩∂x⟨x|.{\textstyle -i\hbar \int dx\left|x\right\rangle \partial _{x}\langle x|.}
  5. ^ زين جاستن، جان؛ غويدا ، ريكاردو (2008-12-04). "قياس الثبات" . سكولاربيديا . 3 (12): 8287. بيب كود : 2008SchpJ...3.8287Z . دوى : 10.4249/scholarpedia.8287 . ردمك 1941-6016 . 
  6. ↑ فيزياء الكم للذرات والجزيئات والمواد الصلبة والنوى والجسيمات (الطبعة الثانية)، ر. ريسنيك، ر. إيسبرغ، جون وايلي وأولاده، 1985، رقم ISBN 978-0-471-87373-0
  7. ↑ انظر إلى ملاحظات المحاضرة رقم 1 لروبرت ليتلجون ( مؤرشفة بتاريخ 17 يونيو 2012 في أرشيف الإنترنت) للاطلاع على مناقشة رياضية محددة وبرهان لحالة جسيم واحد غير مشحون ذي لف مغزلي صفري. انظر إلى ملاحظات المحاضرة رقم 4 لروبرت ليتلجون للاطلاع على الحالة العامة.
  8. ↑ هول، بي سي (2013). نظرية الكم للرياضيين . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 267. سبرينغر. ص 64. رمز Bibcode : 2013qtm..book.....H . ISBN   978-1461471158.
  9. ↑ بونو، ج.، فارو، ج.، فالنت، ج. (2001). "امتدادات ذاتية الترافق للمؤثرات وتدريس ميكانيكا الكم". المجلة الأمريكية للفيزياء . 69 (3): 322-331 . arXiv : quant-ph/0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B . doi : 10.1119/1.1328351 . S2CID 16949018 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  10. ↑ ولد، م . الأردن، ص. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 34 (1): 858– 888. بيب كود : 1925ZPhy...34..858B . دوى : 10.1007/BF01328531 . ردمك 1434-6001 . 
  11. ↑ ساكوراي، جون جون؛ نابوليتانو، جيم (2021). ميكانيكا الكم الحديثة ( الطبعة الثالثة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-1-108-47322-4.