الحركة (الفيزياء)

بالنسبة لمسار كرة تتحرك في الهواء على الأرض، _{يُعرَّف} الفعل بين نقطتين زمنيتين، t1 و t2 _، بأنه الطاقة الحركية ( KE ) مطروحًا منها الطاقة الكامنة ( PE )، متكاملًا على الزمن. ^{[ 4 ]}$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}\mathrm {KE} (t)-\mathrm {PE} (t){\bigr )}dt}$$ يوازن الفعل بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة. ^{[ 4 ]}

^{الطاقة الحركية} لكرة كتلتها m هي ½ mv² حيث v هي سرعة الكرة؛ والطاقة الكامنة هي mgx حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية و x ارتفاعها . إذن ، الفعل بين t₁ _و t₂ _هو$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)-mgx(t)\right)dt}$$ تعتمد قيمة الفعل على المسار الذي تسلكه الكرة عبر x ( t ) و v ( t ) . وهذا يجعل الفعل مدخلاً لمبدأ الفعل الساكن الفعال في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية . يمكن اشتقاق معادلات نيوتن لحركة الكرة من الفعل باستخدام مبدأ الفعل الساكن، لكن مزايا الميكانيكا القائمة على الفعل لا تظهر إلا في الحالات التي يصعب فيها تطبيق قوانين نيوتن. استبدل الكرة بإلكترون: تفشل الميكانيكا الكلاسيكية، لكن الفعل الساكن يستمر في العمل. ^{[ 4 ]} يُعمم فرق الطاقة في تعريف الفعل البسيط، الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة، ويُسمى لاغرانجيان في الحالات الأكثر تعقيدًا.

ثابت بلانك ، الذي يُكتب h ، هو كم الفعل (أصغر كمية ممكنة). ^{[ 8 ]} ويرتبط بكم الزخم الزاوي ، ħ ، بالعلاقة ħ = h / 2π . وحدات هذه الثوابت هي الطاقة مضروبة في الزمن. وتظهر في جميع المعادلات الكمية المهمة، مثل مبدأ عدم اليقين وطول موجة دي برولي . عندما تقترب قيمة الفعل من ثابت بلانك، تصبح التأثيرات الكمية ذات أهمية . ^{[ 4 ]}

يُستخدم هذا المصطلح عادةً للإشارة إلى دالة 𝒮 تأخذ دالة زمنية (ومكانية في حالة الحقول ) كمدخلات، وتُرجع قيمة عددية . ^{[ 13 ] [ 14 ]} في الميكانيكا الكلاسيكية ، تكون الدالة المدخلة هي تطور النظام q ( t ) بين الزمنين t1 و t2 _، حيث _يُمثل q الإحداثيات المعممة . يُعرَّف الفعل 𝒮[ q ( t ) ] بأنه تكامل لاغرانجيان L لتطور المدخلات بين الزمنين. $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L{\bigl (}\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t{\bigr )}\,dt,}$$ حيث تُحدد نقاط نهاية التطور وتُعرّف على النحو التالي: _{q₁ = q} ( t₁ ) و q₂ = q ( t₂ ) . وفقًا لمبدأ هاميلتون ، فإن التطور الحقيقي _qᵗ ( t ) هو تطور يكون فيه الفعل 𝒮 [ q ( t )] ثابتًا (نقطة دنيا، أو نقطة عظمى، أو _نقطة سرجية ). وينتج عن هذا المبدأ معادلات الحركة في ميكانيكا لاغرانج .

إضافةً إلى دالة الفعل، توجد دالة أخرى تُسمى دالة الفعل المختصرة . في دالة الفعل المختصرة، تكون دالة الإدخال هي المسار الذي يتبعه النظام الفيزيائي دون مراعاة معلمات الزمن. على سبيل المثال، يكون مسار مدار كوكب ما قطعًا ناقصًا، ومسار جسيم في مجال جاذبية منتظم قطعًا مكافئًا؛ في كلتا الحالتين، لا يعتمد المسار على سرعة الجسيم أثناء اجتيازه.

يُعرَّف الفعل المختصر 𝒮 ₀ (يُكتب أحيانًا W ) بأنه تكامل الزخم المعمم، $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L(q,t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}},}$$ بالنسبة لنظام لاغرانجيان L على طول مسار في الإحداثيات المعممة q _i : $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int _{q_{1}}^{q_{2}}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}.}$$ حيث q1 _و q2 هما إحداثيات البداية والنهاية. وفقًا _لمبدأ موبيرتوي ، فإن المسار الحقيقي للنظام هو المسار الذي يكون فيه الفعل المختصر ثابتًا .

عندما تكون الطاقة الكلية E محفوظة، يمكن حل معادلة هاميلتون-جاكوبي باستخدام الفصل الجمعي للمتغيرات : ^{[ 11 ] : 225}$${\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t,}$$حيث تُسمى الدالة W ( q1 , q2 _, ..., qN ₎ غير المعتمدة على الزمن بالدالة المميزة لهاملتون . ويُفهم المعنى الفيزيائي لهذه الدالة من خلال حساب مشتقتها الزمنية الكلية _.

$${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}.}$$

يمكن دمج ذلك لإعطاء

$${\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int p_{i}\,dq_{i},}$$

وهو مجرد اختصار للفعل . ^{[ 15 ] : 434}

يُعرَّف المتغير J _k في إحداثيات الفعل والزاوية ، والذي يُسمى "فعل" الإحداثي المعمم q _k ، من خلال تكامل زخم معمّم واحد حول مسار مغلق في فضاء الطور ، وهو ما يتوافق مع الحركة الدورانية أو التذبذبية: ^{[ 15 ] : 454}

$${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\,dq_{k}}$$

المتغير الكنسي المقابل لـ J_{_k} هو "زاويته" w_{_k} ، وذلك لأسباب موصوفة بالتفصيل في قسم إحداثيات الفعل والزاوية . يُجرى التكامل على متغير واحد فقط هو q_{_k}، وبالتالي، يختلف عن حاصل الضرب النقطي المتكامل في تكامل الفعل المختصر المذكور أعلاه. يساوي المتغير J_{_k} التغير في S _{_k} ( q_{_k} ) عند تغير q_{_k} حول المسار المغلق. في العديد من الأنظمة الفيزيائية المهمة، يكون J_{_k} إما ثابتًا أو يتغير ببطء شديد؛ لذا، يُستخدم المتغير J_{_k} غالبًا في حسابات الاضطراب وفي تحديد الثوابت الأديباتية . على سبيل المثال، تُستخدم هذه الثوابت في حساب مدارات الكواكب والأقمار الصناعية. ^{[ 15 ] : 477}

عندما تكون التأثيرات النسبية كبيرة، فإن فعل جسيم نقطي كتلته m يتحرك على خط عالمي C مُعطى بالزمن الخاص τ هو $${\displaystyle S=-mc^{2}\int _{C}\,d\tau .}$$

أما إذا تم تحديد خصائص الجسيم بواسطة إحداثيات الزمن t للجسيم، وتراوحت إحداثيات الزمن من _t1 إلى t2 ، _فإن الفعل يصبح $${\displaystyle S=\int _{t1}^{t2}L\,dt,}$$ حيث يكون لاغرانجيان ^{[ 16 ]}$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}\approx -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

حيث g _μν هو موتر القياس ≈ (− c ² ,1,1,1) .

في الميكانيكا الكلاسيكية، ينص مبدأ موبيرتوي (نسبةً إلى بيير لويس موبيرتوي) على أن المسار الذي يسلكه نظام فيزيائي هو أقصر مسار (مع تفسير مناسب لمفهومي المسار والطول). ويستخدم مبدأ موبيرتوي الفعل المختصر بين نقطتين معمّمتين على مسار.

ينص مبدأ هاميلتون على أنه يمكن إعادة صياغة المعادلات التفاضلية للحركة لأي نظام فيزيائي كمعادلة تكاملية مكافئة . وبالتالي، هناك منهجان متميزان لصياغة النماذج الديناميكية.

لا يقتصر تطبيق مبدأ هاميلتون على الميكانيكا الكلاسيكية للجسيمات المفردة فحسب، بل يشمل أيضًا الحقول الكلاسيكية كالمجالات الكهرومغناطيسية والجاذبية . وقد تم توسيع نطاق تطبيق مبدأ هاميلتون ليشمل ميكانيكا الكم ونظرية الحقول الكمومية ، ولا سيما صياغة التكامل المساري لميكانيكا الكم التي تستخدم هذا المفهوم، حيث يستكشف النظام الفيزيائي جميع المسارات الممكنة، وتُحدد طور سعة الاحتمال لكل مسار بفعل ذلك المسار؛ وتُجمع سعة الاحتمال النهائية لجميع المسارات باستخدام سعتها المركبة وطورها. ^{[ 17 ]}

تُستنتج دالة هاميلتون الرئيسية S = S(q, t; q₀, t₀) من دالة الفعل _𝒮 بتثبيت الزمن الابتدائي t₀ ونقطة النهاية الابتدائية q₀ ، مع _السماح للزمن الأعلى t₀ ونقطة النهاية الثانية q₀ بالتغير _. تُحقق دالة هاميلتون الرئيسية معادلة هاميلتون-جاكوبي، وهي صياغة من _صياغات الميكانيكا الكلاسيكية . ونظرًا لتشابهها مع معادلة شرودنغر ، تُوفر معادلة هاميلتون-جاكوبي، على الأرجح، الصلة الأقوى والأكثر مباشرة بميكانيكا الكم .

في ميكانيكا لاغرانج، فإن شرط أن يكون التكامل الفعلي ثابتًا في ظل الاضطرابات الصغيرة يعادل مجموعة من المعادلات التفاضلية (تسمى معادلات أويلر-لاغرانج) التي يمكن الحصول عليها باستخدام حساب التفاضل والتكامل .

يمكن توسيع مبدأ الفعل للحصول على معادلات الحركة للحقول ، مثل الحقل الكهرومغناطيسي أو حقل الجاذبية . ويمكن اشتقاق معادلات ماكسويل كشروط للفعل الثابت .

تستخدم معادلة أينشتاين فعل أينشتاين-هيلبرت المقيد بمبدأ التغير . ويمكن إيجاد مسار الجسم (موضعه في الزمكان ) في مجال الجاذبية باستخدام مبدأ الفعل. وبالنسبة لجسم يسقط سقوطًا حرًا، يكون هذا المسار خطًا جيوديسيًا .

يمكن إيجاد دلالات التناظرات في حالة فيزيائية من خلال مبدأ الفعل، بالإضافة إلى معادلات أويلر-لاغرانج المشتقة منه. ومن الأمثلة على ذلك نظرية نوثر ، التي تنص على أن لكل تناظر مستمر في حالة فيزيائية قانون حفظ يقابله (والعكس صحيح). ويتطلب هذا الارتباط الوثيق افتراض مبدأ الفعل. ^{[ 17 ]}

في ميكانيكا الكم ، لا يسلك النظام مسارًا واحدًا ثابت التأثير، بل يعتمد سلوكه على جميع المسارات المسموحة وقيمة تأثيرها. يُستخدم التأثير المقابل لكل مسار لحساب تكامل المسار ، الذي يُعطي سعات احتمالية النتائج المختلفة.

على الرغم من تكافؤه مع قوانين نيوتن في الميكانيكا الكلاسيكية ، فإن مبدأ الفعل أكثر ملاءمة للتعميمات ويلعب دورًا هامًا في الفيزياء الحديثة. في الواقع، يُعد هذا المبدأ أحد أهم التعميمات في العلوم الفيزيائية. ويُفهم على أفضل وجه ضمن ميكانيكا الكم، وتحديدًا في صياغة ريتشارد فاينمان للتكامل المساري ، حيث ينشأ من التداخل الهدام للسعات الكمومية.

يمكن تعميم مبدأ الفعل بشكل أكبر. على سبيل المثال، ليس بالضرورة أن يكون الفعل تكاملاً، لأن الأفعال غير الموضعية ممكنة. ولا يشترط أن يكون فضاء التكوين فضاءً دالياً ، نظراً لخصائص معينة كالهندسة غير التبادلية . مع ذلك، لا يزال الأساس الفيزيائي لهذه التوسعات الرياضية بحاجة إلى إثبات تجريبي. ^{[ 13 ]}