قانون بنروز للجذر التربيعي

في النظرية الرياضية للألعاب ، يتعلق قانون بنروز للجذر التربيعي ، الذي صاغه ليونيل بنروز ، بتوزيع قوة التصويت في هيئة تصويت مكونة من N عضوًا. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وينص على أن قوة التصويت المسبقة لأي  ناخب، مقاسة بمؤشر بنروز-بانزهاف${\displaystyle \psi }$مقاييس مثل${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$.

تم استخدام هذه النتيجة لتصميم طريقة بنروز لتخصيص أوزان التصويت للممثلين في هيئات صنع القرار بما يتناسب مع الجذر التربيعي للسكان الممثلين.

لتقدير مؤشر تصويت أي لاعب ، يجب تقدير عدد التحالفات الفائزة المحتملة التي يكون صوته فيها حاسمًا. ولتبسيط الأمر، نفترض أن عدد الناخبين فردي، N  =  2j + 1، وأن التصويت يتم وفقًا لقاعدة الأغلبية. وبناءً على نظرية بنروز، نستنتج أن الناخب لن يتمكن من التأثير بفعالية على نتيجة التصويت إلا إذا انقسمت الأصوات بالتساوي: فإذا صوّت j لاعبًا بـ"نعم" وصوّت j لاعبًا آخر بـ"لا"، يكون التصويت الأخير هو الحاسم.  

بافتراض أن جميع أعضاء الهيئة يصوتون بشكل مستقل (أي أن الأصوات غير مترابطة)، وأن احتمال كل صوت "نعم" يساوي p  =  1/2، يمكن تقدير احتمالية حدوث ذلك باستخدام تجربة برنولي . ويُعطى احتمال الحصول على j صوت "نعم" من أصل 2j صوتًا بالصيغة التالية:

${\displaystyle P_{j}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2j}{\frac {\left(2j\right)!}{\left(j!\right)^{2}}}.}$

بالنسبة لقيم N الكبيرة ، يمكننا استخدام تقريب ستيرلينغ للمضروب j ! والحصول على الاحتمالية ${\displaystyle \psi }$أن صوت ناخب معين حاسم

$// {2}{\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {N}}}.}$

ويتم الحصول على نفس التقريب لعدد زوجي N.

قدم كيرش دراسة رياضية لتأثير الارتباطات المحتملة بين الناخبين على قانون الجذر التربيعي لبنروز. ^{[ 3 ]}

يتم تطبيق قانون بنروز لبناء أنظمة تصويت ثنائية المستويات تشبه نظام بنروز، بما في ذلك تسوية ياغيلون المصممة لمجلس الاتحاد الأوروبي .

• تسوية ياغيلون