جهاز قياس المساحة

الموسوعة الحرة

جهاز قياس المساحة ، المعروف أيضًا باسم جهاز قياس المساحة ، هو أداة قياس تستخدم لتحديد مساحة شكل ثنائي الأبعاد عشوائي.

بناء

توجد أنواع عديدة من أجهزة قياس المساحة، لكنها جميعًا تعمل بطريقة متشابهة. وتختلف طريقة بنائها بدقة، ومن أبرز أنواع أجهزة قياس المساحة الميكانيكية: القطبية، والخطية، وبريتز أو "الفأس". بنى عالم الرياضيات السويسري ياكوب أمسلر-لافون أول جهاز قياس مساحة حديث عام 1854، بعد أن كان يوهان مارتن هيرمان رائدًا في هذا المجال عام 1818. [ 1 ] وقد تلت جهاز أمسلر الشهير العديد من التطورات، بما في ذلك النسخ الإلكترونية.

يتكون جهاز أمسلر (القطبي) من آلية ثنائية القضبان. في نهاية أحد القضبان يوجد مؤشر يُستخدم لرسم حدود الشكل المراد قياسه. أما الطرف الآخر للآلية فيدور بحرية على ثقل يمنعه من الحركة. بالقرب من نقطة التقاء القضيبين توجد عجلة قياس ذات قطر مُعاير، مزودة بمقياس يُظهر الدوران الدقيق، وتروس دودة لعداد دورات مساعد. أثناء رسم حدود الشكل، تتدحرج هذه العجلة على سطح الرسم . يقوم المشغل بضبط العجلة، ثم يُعيد العداد إلى الصفر، ثم يُحرك المؤشر حول محيط الشكل. عند اكتمال الرسم، تُظهر المقاييس الموجودة على عجلة القياس مساحة الشكل .

عندما تتحرك عجلة القياس في جهاز قياس المساحة بشكل عمودي على محورها، فإنها تتدحرج، ويتم تسجيل هذه الحركة. أما عندما تتحرك عجلة القياس بشكل موازٍ لمحورها، فإنها تنزلق دون أن تتدحرج، وبالتالي يتم تجاهل هذه الحركة. هذا يعني أن جهاز قياس المساحة يقيس المسافة التي تقطعها عجلة القياس، مُسقطةً بشكل عمودي على محور دورانها. وتتناسب مساحة الشكل الناتج طرديًا مع عدد دورات عجلة القياس.

يقتصر تصميم جهاز قياس المساحة القطبي على قياس مساحات ضمن حدود معينة تحددها أبعاده وشكله الهندسي . أما النوع الخطي، فلا يتقيد بأي قيود في بُعد واحد، لأنه قابل للدوران. ويجب ألا تنزلق عجلاته، لأن الحركة يجب أن تكون محصورة في خط مستقيم.

يمكن أن تؤدي التطورات في جهاز قياس المساحة إلى تحديد موضع العزم الأول للمساحة ( مركز الكتلة )، وحتى العزم الثاني للمساحة .

تُظهر الصور مبادئ عمل جهاز قياس المساحة الخطي وجهاز قياس المساحة القطبي. يتبع المؤشر M الموجود في أحد طرفي جهاز قياس المساحة محيط السطح S المراد قياسه، C. في جهاز قياس المساحة الخطي، تقتصر حركة "الكوع" E على المحور y . أما في جهاز قياس المساحة القطبي، فيتصل "الكوع" بذراع طرفه الآخر O ثابت. تتصل بالذراع ME عجلة القياس، ويكون محور دورانها موازيًا لمحور ME. يمكن تحليل حركة الذراع ME إلى حركة عمودية على ME، مما يؤدي إلى دوران العجلة، وحركة موازية لـ ME، مما يؤدي إلى انزلاق العجلة، دون أن تؤثر هذه الحركة على القراءة.

مبدأ

مبدأ عمل جهاز قياس المساحة الخطية

يمكن شرح آلية عمل جهاز قياس المساحة الخطية بقياس مساحة المستطيل ABCD (انظر الصورة). عند تحريك المؤشر من النقطة A إلى النقطة B، يتحرك الذراع EM عبر متوازي الأضلاع الأصفر ، الذي تساوي مساحته PQ × EM. هذه المساحة تساوي أيضًا مساحة متوازي الأضلاع A"ABB". تقيس عجلة القياس المسافة PQ (العمودية على EM). عند تحريك المؤشر من النقطة C إلى النقطة D، يتحرك الذراع EM عبر متوازي الأضلاع الأخضر، الذي تساوي مساحته مساحة المستطيل D"DCC. تتحرك عجلة القياس الآن في الاتجاه المعاكس، وتطرح هذه القراءة من القراءة السابقة. الحركتان على طول BC وDA متماثلتان لكنهما متعاكستان، لذا تلغيان بعضهما البعض دون أي تأثير على قراءة العجلة. والنتيجة النهائية هي قياس الفرق بين مساحتي المستطيلين الأصفر والأخضر، وهي مساحة ABCD.

الاشتقاق الرياضي

يمكن تبرير عمل جهاز قياس المساحة الخطي بتطبيق نظرية غرين ، على الرغم من أن تصميم الأنواع الرئيسية منه يسبق برهان النظرية. طبّقها على مركبات حقل المتجهات المعطى بواسطة

(P،سؤال)=(0،x){\displaystyle {\begin{aligned}(P,Q)=(0,x)\end{aligned}}}.

لاحظ أن أي حقل متجه آخر يحقق∂سؤال∂x-∂P∂y=1{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1\end{aligned}}}يكفي أيضاً، على سبيل المثال(P،سؤال)=(-y،0)،{\textstyle (P,Q)=(-y,0),}أو(-12y،12x){\textstyle (-{\frac {1}{2}}y,{\frac {1}{2}}x)}.

هناx{\textstyle x}هو الاتجاه العمودي على ذراع القياس وy{\textstyle y}يكون متوازياً. وبينما يتتبع ذراع القياس المحيط، يسجل الجهاز الكميةxΔy{\textstyle x\Delta y}على فترات صغيرة، عن طريق أخذ حاصل ضرب المسافة العمودية الحاليةx{\textstyle x}والإزاحة الموازية دy{\textstyle dy}باختصار xΔy{\textstyle x\Delta y}على طول المحيطج{\textstyle C}يتم تقريب التكامل∮جxدy{\displaystyle \oint _{C}xdy}من خلال مجموع ريمان .

ثم:

∮جxدy=∮ج(Pدx+سؤالدy)=∬د(∂سؤال∂x-∂P∂y)دxدy=∬ددxدy=أرهـأ(د)\begin{aligned}\oint_{C}xdy=\oint_{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_{D}\left({\frac{\partial Q}{\partial x}}-{\frac{\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy\\[8pt]&=\iint_{D}\,dx\,dy=Area(D)\end{aligned}}}

أيند{\textstyle D}هي المنطقة المحصورة بالخط الكنتور.

الإحداثيات القطبية

يمكن فهم العلاقة مع نظرية غرين من خلال التكامل في الإحداثيات القطبية : في الإحداثيات القطبية، تُحسب المساحة عن طريق التكامل∫θ12(ر(θ))2دθ،{\textstyle \int _{\theta }{\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}حيث يكون الشكل الذي يتم تكامله تربيعيًا في r، مما يعني أن المعدل الذي تتغير به المساحة بالنسبة للتغير في الزاوية يتغير تربيعيًا مع نصف القطر.

بالنسبة لمعادلة وسيطية في الإحداثيات القطبية، حيث يتغير كل من r و θ كدالة للزمن، يصبح هذا ∫ت12(ر(ت))2د(θ(ت))=∫ت12(ر(ت))2θ˙(ت)دت.{\displaystyle \int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.}

بالنسبة لجهاز قياس المساحة القطبي، فإن الدوران الكلي للعجلة يتناسب مع∫تر(ت)θ˙(ت)دت،{\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,dt,}بما أن الدوران يتناسب مع المسافة المقطوعة، والتي تتناسب في أي لحظة زمنية مع نصف القطر ومع التغير في الزاوية، كما هو الحال في محيط الدائرة (∫ردθ=2πر{\textstyle \int r\,d\theta =2\pi r}).

هذا الجزء الأخيرر(ت)θ˙(ت){\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}يمكن التعرف عليها على أنها مشتقة من الدالة التكاملية السابقة12(ر(ت))2θ˙(ت){\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)}(بالنسبة إلى r )، ويظهر أن جهاز قياس المساحة القطبي يحسب التكامل المساحي بدلالة المشتقة ، وهو ما ينعكس في نظرية غرين ، التي تساوي التكامل الخطي لدالة على محيط (أحادي البعد) بالتكامل (ثنائي البعد) للمشتقة.

انظر أيضاً

مراجع

مصادر