عمودي

في الهندسة ، يكون شكلان هندسيان متعامدين إذا تقاطعا بزاوية قائمة ، أي بزاوية 90 درجة أو π/2 راديان. ويمكن تمثيل حالة التعامد بيانيًا باستخدام رمز التعامد ⟂. ويمكن أن تحدث التقاطعات المتعامدة بين خطين (أو قطعتين مستقيمتين)، وبين خط ومستوى، وبين مستويين.

يُستخدم مصطلح "عمودي" أيضًا كاسم: العمودي هو خط عمودي على خط أو مستوى معين.

التعامد هو حالة خاصة من المفهوم الرياضي الأعم للتعامد ؛ وهو تعامد الأشكال الهندسية الكلاسيكية. لذا، في الرياضيات المتقدمة، يُستخدم مصطلح "التعامد" أحيانًا لوصف شروط تعامد هندسي أكثر تعقيدًا، مثل التعامد بين سطح ومتجهه العمودي .

يُقال إن خطًا ما عمودي على خط آخر إذا تقاطع الخطان بزاوية قائمة. ^{[ 2 ]} وبالتحديد، يكون الخط الأول عموديًا على الخط الثاني إذا (1) تقاطع الخطان؛ و(2) عند نقطة التقاطع، يقسم الخط الثاني الزاوية المستقيمة على أحد جانبي الخط الأول إلى زاويتين متطابقتين . ويمكن إثبات أن التعامد متناظر ، بمعنى أنه إذا كان الخط الأول عموديًا على الخط الثاني، فإن الخط الثاني يكون أيضًا عموديًا على الخط الأول. لهذا السبب، يمكننا وصف خطين بأنهما متعامدان (مع بعضهما البعض) دون تحديد ترتيبهما. ويمكن رؤية مثال رائع على التعامد في أي بوصلة، لاحظ الاتجاهات الأصلية: الشمال، والشرق، والجنوب، والغرب (شمال شرق، جنوب شرق، غرب). الخط شمال شرق عمودي على الخط غرب شرق، والزوايا شمال شرق، وجنوب شرق، وجنوب غرب، وغرب شمال جميعها قائمة (90 درجة).

يمكن بسهولة تطبيق خاصية التعامد على القطع المستقيمة والأشعة . على سبيل المثال، قطعة مستقيمة${\displaystyle {\overline {AB}}}$عمودي على قطعة مستقيمة${\displaystyle {\overline {CD}}}$إذا مُدِّد كلٌّ منهما في كلا الاتجاهين ليشكلا خطًا لانهائيًا، فإن هذين الخطين الناتجين يكونان متعامدين بالمعنى المذكور أعلاه. بالرموز،${\displaystyle {\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}}$يعني ذلك أن القطعة المستقيمة AB عمودية على القطعة المستقيمة CD. ^{[ 3 ]}

يُقال إن خطًا ما عمودي على مستوى إذا كان عموديًا على كل خط في المستوى الذي يتقاطع معه. ويعتمد هذا التعريف على تعريف التعامد بين الخطوط.

يقال إن مستويين في الفضاء متعامدان إذا كانت الزاوية الثنائية التي يلتقيان عندها زاوية قائمة.

تُستخدم كلمة "القدم" بكثرة عند الحديث عن الأعمدة. ويتضح هذا الاستخدام في الرسم التوضيحي العلوي أعلاه، وفي شرحه. يمكن أن يكون الرسم التوضيحي بأي اتجاه، وليست القدم بالضرورة في الأسفل.

بتعبير أدق، لنفترض أن A نقطة و m خط مستقيم. إذا كانت B هي نقطة تقاطع m مع الخط المستقيم الوحيد المار بـ A والعمودي على m ، فإن B تُسمى مقام هذا الخط العمودي المار بـ A.

إنشاء العمود (باللون الأزرق) على الخط AB المار بالنقطة P

إنشاء العمود على نصف الخط h من النقطة P (لا ينطبق فقط عند نقطة النهاية A، بل يمكن اختيار M بحرية)، مع عرض رسوم متحركة في النهاية مع توقف مؤقت لمدة 10 ثوانٍ

لعمل العمود على الخط AB المار بالنقطة P باستخدام الفرجار والمسطرة ، اتبع الخطوات التالية (انظر الشكل على اليسار):

• الخطوة 1 (باللون الأحمر): قم بإنشاء دائرة مركزها عند النقطة P لإنشاء النقطتين A' و B' على الخط AB، واللتان تبعدان مسافة متساوية عن النقطة P.
• الخطوة الثانية (باللون الأخضر): ارسم دائرتين مركزهما النقطتان A' و B' ولهما نفس نصف القطر. ولتكن Q و P نقطتي تقاطع هاتين الدائرتين.
• الخطوة 3 (باللون الأزرق): قم بتوصيل Q و P لإنشاء العمود المطلوب PQ.

لإثبات أن PQ عمودي على AB، استخدم نظرية التطابق SSS للمثلثين QPA' وQPB' لاستنتاج أن الزاويتين OPA' وOPB' متساويتان. ثم استخدم نظرية التطابق SAS للمثلثين OPA' وOPB' لاستنتاج أن الزاويتين POA وPOB متساويتان. انظر أيضًا: المحور الجذري .

لعمل العمود على الخط g عند النقطة P أو من خلالها باستخدام نظرية طاليس ، انظر إلى الرسوم المتحركة على اليمين.

The Pythagorean theorem can be used as the basis of methods of constructing right angles. For example, by counting links, three pieces of chain can be made with lengths in the ratio 3:4:5. These can be laid out to form a triangle, which will have a right angle opposite its longest side. This method is useful for laying out gardens and fields, where the dimensions are large, and great accuracy is not needed. The chains can be used repeatedly whenever required.

If two lines (a and b) are both perpendicular to a third line (c), all of the angles formed along the third line are right angles. Therefore, in Euclidean geometry, any two lines that are both perpendicular to a third line are parallel to each other, because of the parallel postulate. Conversely, if one line is perpendicular to a second line, it is also perpendicular to any line parallel to that second line.

In the figure at the right, all of the orange-shaded angles are congruent to each other and all of the green-shaded angles are congruent to each other, because vertical angles are congruent and alternate interior angles formed by a transversal cutting parallel lines are congruent. Therefore, if lines a and b are parallel, any of the following conclusions leads to all of the others:

• One of the angles in the diagram is a right angle.
• One of the orange-shaded angles is congruent to one of the green-shaded angles.
• Line c is perpendicular to line a.
• Line c is perpendicular to line b.
• All four angles are equal.

في المستوى ثنائي الأبعاد، يمكن تكوين زوايا قائمة من خلال تقاطع خطين مستقيمين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1. وبالتالي، بالنسبة لدالتين خطيتين${\displaystyle y_{1}(x)=m_{1}x+b_{1}}$و${\displaystyle y_{2}(x)=m_{2}x+b_{2}}$ستكون رسوم الدوال متعامدة إذا${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1.}$

يمكن أيضًا استخدام الضرب النقطي للمتجهات للحصول على النتيجة نفسها: أولًا، قم بتغيير الإحداثيات بحيث تقع نقطة الأصل عند تقاطع الخطوط. ثم حدد إزاحتين على طول كل خط،${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$، ل${\displaystyle (j=1,2).}$والآن، استخدم حقيقة أن حاصل الضرب الداخلي يتلاشى بالنسبة للمتجهات المتعامدة:

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=x_{1}{\hat {x}}+y_{1}{\hat {y}}=x_{1}{\hat {x}}+m_{1}x_{1}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=x_{2}{\hat {x}}+y_{2}{\hat {y}}=x_{2}{\hat {x}}+m_{2}x_{2}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)x_{1}x_{2}=0}$

${\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}=-1}$(إلا إذا ${\displaystyle x_{1}}$أو${\displaystyle x_{2}}$يختفي.)

كلا البرهانين صحيحان للخطوط الأفقية والرأسية إلى الحد الذي يمكننا فيه اعتبار أحد الميلين${\displaystyle \varepsilon }$وخذ الحد الذي${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0.}$ إذا اتجه أحد الميلين إلى الصفر، فإن الآخر يتجه إلى اللانهاية.

يمكن أن تكون ثلاثة خطوط في الفضاء ثلاثي الأبعاد متعامدة بشكل متبادل، كما يتضح من محاور x و y و z لنظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد .

• الإسقاط المتعامد
• المكونات المماسية والعمودية

• Altshiller-Court, Nathan (1952) [1st ed. 1925], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69-12075

• Definition: perpendicular with interactive animation.
• How to draw a perpendicular bisector of a line with compass and straight edge (animated demonstration).
• How to draw a perpendicular at the endpoint of a ray with compass and straight edge (animated demonstration).