احتمالات لعبة البوكر

في لعبة البوكر المباشرة ولعبة السحب بخمسة أوراق ، حيث لا توجد أوراق مخفية ، يتم توزيع خمس أوراق على اللاعبين من مجموعة مكونة من 52 ورقة.

يوضح الجدول التالي التكرار (المطلق) لكل يد، مع الأخذ في الاعتبار جميع تركيبات خمس بطاقات مسحوبة عشوائيًا من مجموعة كاملة من 52 بطاقة دون إرجاع. لا تُؤخذ البطاقات البديلة في الاعتبار. في هذا الجدول:

• عدد الأيدي المميزة هو عدد الطرق المختلفة لسحب اليد، دون احتساب أنواع الأوراق المختلفة. وبالتحديد، تُحسب مجموعة الأيدي التي تتعادل جميعها مرة واحدة فقط، دون تكرار.
• التكرار هو عدد الطرق لسحب اليد، بما في ذلك نفس قيم البطاقات في مجموعات مختلفة.
• يتم حساب احتمال سحب يد معينة عن طريق قسمة عدد طرق سحب اليد ( التكرار ) على العدد الإجمالي لأيدي مكونة من 5 بطاقات ( فضاء العينة )؛${\textstyle {52 \choose 5}=2{,}598{,}960}$على سبيل المثال، هناك 4 طرق مختلفة للحصول على رويال فلاش (طريقة واحدة لكل نوع من أنواع الورق)، لذا فإن الاحتمالية هي 4 / 2,598,960 ، أو مرة واحدة من بين 649,740. وبالتالي ، يُتوقع الحصول على هذه اليد مرة واحدة تقريبًا من بين كل 649,740 سحبة، أو ما يقارب 0.000154% من الوقت.
• يشير الاحتمال التراكمي إلى احتمال الحصول على يدٍ مساوية أو أفضل من اليد المحددة. على سبيل المثال، يبلغ احتمال الحصول على ثلاث أوراق متطابقة حوالي 2.11%، بينما يبلغ احتمال الحصول على يدٍ لا تقل جودةً عن ثلاث أوراق متطابقة حوالي 2.87%. يُحسب الاحتمال التراكمي بجمع احتمال يدٍ معينة مع احتمالات جميع الأيدي التي تليها.
• تُعرَّف احتمالات الفوز بأنها نسبة عدد الطرق التي لا يمكن بها الحصول على يد معينة إلى عدد الطرق التي يمكن بها الحصول عليها. في الإحصاء، يُطلق على هذه النسبة اسم احتمالات الخسارة . على سبيل المثال، في حالة الحصول على رويال فلاش، هناك 4 طرق للحصول عليه، و2,598,956 طريقة للحصول على يد أخرى، لذا فإن احتمالات الخسارة هي 2,598,956  : 4، أو 649,739  : 1. يمكن أيضًا صياغة صيغة حساب احتمالات الفوز على النحو التالي: (1/p) – 1  : 1 ، حيث p هي الاحتمالية المذكورة سابقًا.
• تم تقريب القيم المعطاة للاحتمالية ، والاحتمالية التراكمية ، والنسب من أجل التبسيط؛ أما قيم الأيدي المميزة والتكرار فهي دقيقة.

يمكن استخدام دالة nCr أو nCk في معظم الآلات الحاسبة العلمية لحساب ترددات اليد؛ على سبيل المثال، إدخالها nCrمع 52و ينتج عنه5${\textstyle {52 \choose 5}=2{,}598{,}960}$كما سبق.

يُسلِّم	أيادٍ مميزة	تكرار	احتمال	الاحتمال التراكمي	احتمالات ضئيلة	التعبير الرياضي عن التردد المطلق
دافق ملكي	1	4	0.000154%	0.000154%	649,739  : 1	${\displaystyle {4 \choose 1}}$
ستريت فلاش (باستثناء رويال فلاش)	9	36	0.00139%	0.00154%	72,192.33  : 1	${\displaystyle {10 \choose 1}{4 \choose 1}-{4 \choose 1}}$
أربعة من نفس النوع	156	624	0.02401%	0.0255%	4164  : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 4}{12 \choose 1}{4 \choose 1}}$
منزل كامل	156	3744	0.1441%	0.17%	693.1667  : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 1}{4 \choose 2}}$
فلاش (باستثناء رويال فلاش وستريت فلاش)	1277	5108	0.1965%	0.37%	507.8019  : 1	${\displaystyle {13 \choose 5}{4 \choose 1}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}}$
مستقيم (باستثناء رويال فلاش وستريت فلاش)	10	10200	0.3925%	0.76%	253.8  : 1	${\displaystyle {10 \choose 1}{4 \choose 1}^{5}-{10 \choose 1}{4 \choose 1}}$
ثلاثة من نفس النوع	858	54,912	2.1128%	2.87%	46.32955  : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 3}{12 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}}$
زوجين	858	123,552	4.7539%	7.63%	20.03535  : 1	${\displaystyle {13 \choose 2}{4 \choose 2}^{2}{11 \choose 1}{4 \choose 1}}$
زوج واحد	2860	1,098,240	42.2569%	49.9%	1.366477  : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{4 \choose 2}{12 \choose 3}{4 \choose 1}^{3}}$
لا يوجد زوج / بطاقة عالية	1277	1,302,540	50.1177%	100%	0.9953015  : 1	${\displaystyle \left[{13 \choose 5}-{10 \choose 1}\right]\left[{4 \choose 1}^{5}-{4 \choose 1}\right]}$
المجموع	7462	2,598,960	100%	---	0  : 1	${\displaystyle {52 \choose 5}}$

يُعدّ الرويال فلاش أحد أنواع الستريت فلاش. ويمكن تكوينه بأربع طرق (طريقة واحدة لكل نوع من أنواع الورق)، مما يمنحه احتمالية قدرها 0.000154% ونسبة احتمالية 649,739  إلى 1.

عند استبعاد تسلسلات الآس المنخفضة وتسلسلات الآس المنخفضة مع الفلاش، تنخفض احتمالات كل منهما: يصبح كل من التسلسلات والتسلسلات مع الفلاش أقل شيوعًا بنسبة 9/10 مما كان عليه في السابق. تتحول التسلسلات الأربعة المفقودة مع الفلاش إلى فلاشات، بينما تتحول التسلسلات الـ 1020 المفقودة إلى لا شيء.

لاحظ أنه بما أن لكل نوع من أنواع أوراق البوكر قيمة نسبية، يُمكن اعتبار يدين متطابقتين إذا أمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى بتبديل أنواعها. على سبيل المثال، اليد 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ مطابقة لليد 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥، لأن استبدال جميع أوراق النادي في اليد الأولى بالماس وجميع أوراق البستوني بالقلوب يُنتج اليد الثانية. وبذلك، بعد استبعاد الأيدي المتطابقة التي تتجاهل القيم النسبية للأنواع، يتبقى 134,459 يدًا مختلفة فقط.

عدد توزيعات أوراق البوكر المختلفة أقل من ذلك. على سبيل المثال، لا تُعتبر التوزيعتان 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ و 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ متطابقتين عند تجاهل توزيع الأوراق، لأن إحداهما تحتوي على ثلاثة أنواع من الأوراق، بينما الأخرى تحتوي على نوعين فقط. قد يؤثر هذا الاختلاف على القيمة النسبية لكل توزيعة عند توزيع المزيد من الأوراق. مع ذلك، ورغم اختلاف التوزيعتين من هذه الناحية، فإنهما تُشكلان توزيعات بوكر متكافئة، لأن كل توزيعة هي توزيعة أوراق عالية تتكون من AQ-8-7-3 . يوجد 7462 توزيعة بوكر مختلفة.

في بعض أنواع البوكر الشائعة مثل تكساس هولدم ، وهو أكثر أنواع البوكر انتشارًا بشكل عام، ^{[ 3 ]} يستخدم اللاعب أفضل يد بوكر مكونة من خمس بطاقات من أصل سبع بطاقات.

يتم حساب الترددات بطريقة مشابهة لتلك الموضحة لأيدي مكونة من 5 أوراق، ^{[ 4 ]} باستثناء وجود تعقيدات إضافية ناتجة عن وجود ورقتين إضافيتين في يد البوكر المكونة من 7 أوراق. إجمالي عدد أيادي البوكر المختلفة المكونة من 7 أوراق هو${\textstyle {52 \choose 7}=133{,}784{,}560}$ومن الجدير بالذكر أن احتمال الحصول على يد بدون زوج أقل من احتمال الحصول على يد بزوج واحد أو زوجين.

إن الـ Ace-high straight flush أو royal flush أكثر تكرارًا بقليل (4324) من الـ straight flush الأدنى (4140 لكل منهما) لأن البطاقتين المتبقيتين يمكن أن تكون لهما أي قيمة؛ على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون لدى King-high straight flush الآس من نفس النوع في اليد (لأن ذلك سيجعله ace-high بدلاً من ذلك).

يُسلِّم	تكرار	احتمال	التراكمي	احتمالات ضئيلة	التعبير الرياضي عن التردد المطلق
دافق ملكي	4324	0.0032%	0.0032%	30939  : 1	${\displaystyle {4 \choose 1}{47 \choose 2}}$
ستريت فلاش (باستثناء رويال فلاش)	37260	0.0279%	0.0311%	3589.6  : 1	${\displaystyle {9 \choose 1}{4 \choose 1}{46 \choose 2}}$
أربعة من نفس النوع	224,848	0.168%	0.199%	594  : 1	${\displaystyle {13 \choose 1}{48 \choose 3}}$
منزل كامل	3,473,184	2.60%	2.80%	37.5  : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{13 \choose 2}{4 \choose 3}^{2}{44 \choose 1}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}^{2}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 1}{11 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}\right]\end{aligned}}}$
فلاش (باستثناء رويال فلاش وستريت فلاش)	4,047,644	3.03%	5.82%	32.1  : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 7}-217\right]\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 39\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 5}-10\right]\times {39 \choose 2}\right]\end{aligned}}}$
مستقيم (باستثناء رويال فلاش، وستريت فلاش، وأوفيرلابينج فلاش)	6,180,020	4.62%	10.4%	20.6  : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[217\times \left[4^{7}-756-4-84\right]\right]\\+&{}\left[71\times 36\times 990\right]\\+&\left[10\times 5\times 4\times \left[256-3\right]+10\times {5 \choose 2}\times 2268\right]\end{aligned}}}$
ثلاثة من نفس النوع	6,461,620	4.83%	15.3%	19.7  : 1	${\displaystyle \left[{13 \choose 5}-10\right]{5 \choose 1}{4 \choose 1}\left[{4 \choose 1}^{4}-3\right]}$
زوجين	31,433,400	23.5%	38.8%	3.26  : 1	${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[1277\times 10\times \left[6\times 62+24\times 63+6\times 64\right]\right]\\+&\left[{13 \choose 3}{4 \choose 2}^{3}{40 \choose 1}\right]\end{aligned}}}$
زوج واحد	58,627,800	43.8%	82.6%	1.28  : 1	${\displaystyle \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 6\times 6\times 990}$
لا يوجد زوج / بطاقة عالية	23,294,460	17.4%	100%	4.74  : 1	${\displaystyle 1499\times \left[4^{7}-756-4-84\right]}$
المجموع	133,784,560	100%	---	0  : 1	${\displaystyle {52 \choose 7}}$

(الترددات المعطاة دقيقة؛ أما الاحتمالات والنسب فهي تقريبية.)

بما أن أنواع الأوراق لا تُعطى قيمة نسبية في لعبة البوكر، يُمكن اعتبار يدين متطابقتين إذا أمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عن طريق تبديل أنواع الأوراق. وباستبعاد اليدين المتطابقتين اللتين تتجاهلان القيم النسبية لأنواع الأوراق، يتبقى 6,009,159 يدًا مختلفة مكونة من 7 أوراق.

يبلغ عدد توزيعات أوراق البوكر المختلفة المكونة من 5 أوراق والتي يمكن الحصول عليها من 7 أوراق 4824. ولعل من المفاجئ أن هذا العدد أقل من عدد توزيعات أوراق البوكر المكونة من 5 أوراق من 5 أوراق، حيث أن بعض توزيعات الأوراق المكونة من 5 أوراق مستحيلة مع 7 أوراق (مثل 7 أوراق عالية و8 أوراق عالية).

تستخدم بعض أنواع البوكر، التي تُسمى "لو بول" ، يدًا منخفضة لتحديد اليد الفائزة. في معظم أنواع "لو بول"، تُحتسب ورقة الآس كأدنى ورقة، ولا تُحتسب الأوراق المتسلسلة أو المتشابهة ضد اليد المنخفضة، لذا فإن أدنى يد هي اليد ذات الخمسة أوراق A-2-3-4-5 ، والتي تُسمى أيضًا " العجلة" . يتم حساب الاحتمالية بناءً على${\textstyle {52 \choose 5}=2{,}598{,}960}$، إجمالي عدد التوليفات المكونة من 5 بطاقات. (التكرارات المعطاة دقيقة؛ الاحتمالات والنسب تقريبية.)

يُسلِّم	أيادٍ مميزة	تكرار	احتمال	التراكمي	احتمالات ضئيلة
5-عالي	1	1024	0.0394%	0.0394%	2537.05  : 1
6-عالي	5	5120	0.197%	0.236%	506.61  : 1
7-عالي	15	15360	0.591%	0.827%	168.20  : 1
8-عالي	35	35840	1.38%	2.21%	71.52  : 1
9-عالي	70	71,680	2.76%	4.96%	35.26  : 1
10-عالي	126	129,024	4.96%	9.93%	19.14  : 1
جاك-هاي	210	215,040	8.27%	18.2%	11.09  : 1
الملكة العليا	330	337,920	13.0%	31.2%	6.69  : 1
كينغ هاي	495	506,880	19.5%	50.7%	4.13  : 1
المجموع	1287	1,317,888	50.7%	50.7%	0.97  : 1

كما هو موضح في الجدول، يحصل اللاعب في أكثر من نصف الحالات على يد لا تحتوي على أزواج أو ثلاثيات أو رباعيات متشابهة. (50.7%)

إذا لم تكن الآسات منخفضة، فما عليك سوى تدوير أوصاف اليد بحيث يحل 6-high محل 5-high لأفضل يد ويحل ace-high محل king-high كأسوأ يد.

لا يتجاهل بعض اللاعبين التسلسلات والألوان عند حساب أدنى يد في لعبة "لو بول". في هذه الحالة، أدنى يد هي A-2-3-4-6 مع وجود ورقتين على الأقل من نفس النوع. تم تعديل الاحتمالات في الجدول أعلاه بحيث لا تظهر احتمالات "5-high"، و"6-high" لها يد واحدة مميزة، و"King-high" لها 330 يد مميزة. كما يحتاج سطر الإجمالي إلى تعديل.

في بعض أنواع البوكر، يستخدم اللاعب أفضل يد منخفضة مكونة من خمس بطاقات مختارة من بين سبع بطاقات. في معظم أنواع لعبة "لو بول"، تُحتسب الآس كأدنى بطاقة، ولا تُحتسب التسلسلات والألوان ضد اليد المنخفضة، لذا فإن أدنى يد هي اليد الخماسية العالية A-2-3-4-5 ، والتي تُسمى أيضًا " العجلة" . يتم حساب الاحتمالية بناءً على${\textstyle {52 \choose 7}=133,784,560}$، إجمالي عدد التوليفات المكونة من 7 بطاقات.

لا يشمل الجدول توزيعات الأوراق المكونة من خمس بطاقات والتي تحتوي على زوج واحد على الأقل. ويمثل "المجموع" فيه نسبة 95.4% من الحالات التي يستطيع فيها اللاعب اختيار توزيعة أوراق منخفضة مكونة من خمس بطاقات بدون أي زوج.

يُسلِّم	تكرار	احتمال	التراكمي	احتمالات ضئيلة
5-عالي	781,824	0.584%	0.584%	170.12  : 1
6-عالي	3,151,360	2.36%	2.94%	41.45  : 1
7-عالي	7,426,560	5.55%	8.49%	17.01  : 1
8-عالي	13,171,200	9.85%	18.3%	9.16  : 1
9-عالي	19,174,400	14.3%	32.7%	5.98  : 1
10-عالي	23,675,904	17.7%	50.4%	4.65  : 1
جاك-هاي	24,837,120	18.6%	68.9%	4.39  : 1
الملكة العليا	21,457,920	16.0%	85.0%	5.23  : 1
كينغ هاي	13,939,200	10.4%	95.4%	8.60  : 1
المجموع	127,615,488	95.4%	95.4%	0.05  : 1

(الترددات المعطاة دقيقة؛ أما الاحتمالات والنسب فهي تقريبية.)

إذا لم تكن الآسات منخفضة، فما عليك سوى تدوير أوصاف اليد بحيث يحل 6-high محل 5-high لأفضل يد ويحل ace-high محل king-high كأسوأ يد.

لا يتجاهل بعض اللاعبين الأوراق المتسلسلة والألوان المتعددة عند حساب أدنى يد في لعبة "لو بول". في هذه الحالة، أدنى يد هي A-2-3-4-6 مع وجود ورقتين على الأقل من نفس النوع. تم تعديل الاحتمالات في الجدول أعلاه بحيث لا تظهر يد "5-high"، و"6-high" لها 781,824 يدًا مميزة، و"King-high" لها 21,457,920 يدًا مميزة. كما يحتاج سطر الإجمالي إلى تعديل.