نظرية الصورة العكسية

في الرياضيات ، وخاصة في مجال الطوبولوجيا التفاضلية ، تُعدّ نظرية الصورة العكسية صيغةً معدلةً لنظرية الدالة الضمنية المتعلقة بالصورة العكسية لنقاط معينة في متعدد الشعب تحت تأثير دالة ملساء . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

التعريف. ليكن${\displaystyle f:X\to Y}$ليكن تطبيقًا سلسًا بين متعددات الشعب. نقول إن نقطة${\displaystyle y\in Y}$هي قيمة منتظمة لـ${\displaystyle f}$إن كان ذلك للجميع${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$الخريطة${\displaystyle df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y}$هي شاملة . هنا،${\displaystyle T_{x}X}$و${\displaystyle T_{y}Y}$هي المساحات المماسية لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$عند النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y.}$

نظرية. ليكن${\displaystyle f:X\to Y}$فلتكن خريطة سلسة، ولتكن${\displaystyle y\in Y}$أن تكون قيمة منتظمة لـ${\displaystyle f.}$ثم${\displaystyle f^{-1}(y)}$هو متعدد الشعب الفرعي من${\displaystyle X.}$لو${\displaystyle y\in {\text{im}}(f),}$ثم البعد المشترك لـ${\displaystyle f^{-1}(y)}$يساوي بُعد${\displaystyle Y.}$كذلك، الفضاء المماسي لـ${\displaystyle f^{-1}(y)}$في${\displaystyle x}$يساوي${\displaystyle \ker(df_{x}).}$

وهناك أيضًا نسخة معقدة من هذه النظرية: ^{[ 3 ]}

نظرية. ليكن${\displaystyle X^{n}}$و${\displaystyle Y^{m}}$ليكن فضاءان معقدان ذوا أبعاد معقدة${\displaystyle n>m.}$يترك${\displaystyle g:X\to Y}$ليكن تطبيقًا هولومورفيًا ولتكن${\displaystyle y\in {\text{im}}(g)}$أن يكون على هذا النحو${\displaystyle {\text{rank}}(dg_{x})=m}$للجميع${\displaystyle x\in g^{-1}(y).}$ثم${\displaystyle g^{-1}(y)}$هو فضاء فرعي معقد من${\displaystyle X}$ذات أبعاد معقدة${\displaystyle nm.}$

• الألياف (في الرياضيات) - مجموعة جميع النقاط في مجال دالة ما والتي ترتبط جميعها بنقطة واحدة معطاة 
• مجموعة المستوى - مجموعة فرعية من مجال الدالة تكون قيمتها متساوية فيها