نظرية الدالة الضمنية

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 97 صور
الموسوعة الحرة

في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، تُعدّ نظرية الدالة الضمنية [ أ ] نظريةً تُقدّم شروطًا كافيةً لإمكانية تحديد منحنى مستوٍ بواسطةF(x،y)=0{\displaystyle F(x,y)=0}ويمكن أيضًا تحديدها على أنها رسم بياني لدالةو{\displaystyle f}بحيث يكون لكل نقطة(x،y){\displaystyle (x,y)}في جزء من المنحنى، يكون لدى المرءy=و(x){\displaystyle y=f(x)}ومن الأمثلة على ذلك دائرة الوحدة ، التي تتكون من نقاط(x،y){\displaystyle (x,y)}مُرضٍx2+y2-1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}والتي يمكن حلها محلياً (إذاy>0{\displaystyle y>0}) بواسطةy=1-x2{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}، معبراً عن نصف الدائرة العلوي برسم بياني. ليس من الممكن دائماً حل المعادلةF(x،y)=0{\displaystyle F(x,y)=0}لy{\displaystyle y}جبريًا، وتعطي نظرية الدالة الضمنية شروطًا تحليلية توجد بموجبها دالةو{\displaystyle f}الذي ينتمي رسمه البياني إلى المنحنى المعطى، وفي بعض الصيغ، يوفر أيضًا طريقة لإنشاء تقريبات لـو{\displaystyle f}.

بشكلٍ أعم، إذا كان لدينا نظام من m معادلات fᵢ ( x₁ , ..., xₙ , y₁ , ..., yₘ ) = 0، حيث i = 1 , ..., m (ويُختصر غالبًا إلى F ( x , y ) = 0 )، فإن النظرية تنص على أنه في ظل شرط بسيط على المشتقات الجزئية (بالنسبة لكل yᵢ ) عند نقطة ما، فإن المتغيرات m، yᵢ، هي دوال قابلة للتفاضل بالنسبة إلى xⱼ في جوار ما لتلك النقطة . ولأن هذه الدوال لا يمكن التعبير عنها عادةً بصيغة مغلقة ، فإنها تُعرَّف ضمنيًا بواسطة المعادلات، وهذا ما حفّز تسمية النظرية. [ 1 ]

بمعنى آخر، في ظل شرط بسيط على المشتقات الجزئية، فإن مجموعة أصفار نظام المعادلات هي محليًا الرسم البياني لدالة .

تاريخ

يُنسب إلى أوغستين لويس كوشي (1789-1857) الفضل في وضع الصيغة الدقيقة الأولى لنظرية الدالة الضمنية. وقد عمّم أوليس ديني (1845-1918) صيغة المتغيرات الحقيقية لنظرية الدالة الضمنية لتشمل سياق الدوال التي تحتوي على أي عدد من المتغيرات الحقيقية. [ 2 ]

حالة متغيرين

يتركو:R2→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }لتكن دالة قابلة للتفاضل باستمرار تحدد المعادلة الضمنية لمنحنىو(x،y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}. يترك(x0،y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}لتكن نقطة على المنحنى، أي نقطة بحيثو(x0،y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}في هذه الحالة البسيطة، يمكن صياغة نظرية الدالة الضمنية على النحو التالي:

نظرية — إذا​و(x،y){\displaystyle f(x,y)}هي دالة قابلة للتفاضل باستمرار في جوار النقطة(x0،y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}، و ∂و∂y(x0،y0)≠0،{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}إذن توجد دالة قابلة للتفاضل فريدة من نوعهاφ{\displaystyle \varphi }بحيث​​y0=φ(x0){\displaystyle y_{0}=\varphi (x_{0})}و​​و(x،φ(x))=0{\displaystyle f(x,\varphi (x))=0}في حي منx0{\displaystyle x_{0}}⁠ .

البرهان. عن طريق اشتقاق المعادلةو(x،φ(x))=0{\displaystyle f(x,\varphi (x))=0}، يحصل المرء ∂و∂x(x،φ(x))+φ′(x)∂و∂y(x،φ(x))=0.{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))+\varphi '(x)\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))=0.} وبالتالي φ′(x)=-∂و∂x(x،φ(x))∂و∂y(x،φ(x)).{\displaystyle \varphi '(x)=-{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\varphi (x))}{{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\varphi (x))}}.} وهذا يعطي معادلة تفاضلية عادية لـφ{\displaystyle \varphi }، مع الشرط الأوليφ(x0)=y0{\displaystyle \varphi (x_{0})=y_{0}}⁠ .

منذ∂و∂y(x0،y0)≠0،{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0,}الطرف الأيمن من المعادلة التفاضلية متصل. لذا، تنطبق نظرية بيانو للوجود، وبالتالي يوجد حل (قد يكون غير وحيد). لمعرفة السببφ{\textstyle \varphi }فريدة من نوعها، لاحظ أن الوظيفةزx(y)=و(x،y){\textstyle g_{x}(y)=f(x,y)}رتيب تمامًا في حي منx0،y0{\textstyle x_{0},y_{0}}(مثل∂و∂y(x0،y0)≠0{\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0}وبالتالي فهي دالة أحادية . إذاφ،ϕ{\textstyle \varphi ,\phi }إذا كانت حلولاً للمعادلة التفاضلية،زx(φ(x))=زx(ϕ(x))=0{\textstyle g_{x}(\varphi (x))=g_{x}(\phi (x))=0}وبفضل خاصية الحقن نحصل على، φ(x)=ϕ(x){\textstyle \varphi (x)=\phi (x)}.

المثال الأول

لا يمكن تمثيل دائرة الوحدة للمعادلة الضمنية x² + y² - 1 = 0 برسم بياني لدالة. حول النقطة A، حيث لا يكون المماس عموديًا، يمثل القوس الدائري المظلل رسمًا بيانيًا لدالة ما لـ x ، بينما حول النقطة B ، لا توجد دالة لـ x يمثلها رسم بياني دائري. وهذا ما تؤكده نظرية الدالة الضمنية في هذه الحالة.

إذا عرّفنا الدالة f ( x , y ) = x² + y² ، فإن المعادلة f ( x , y ) = 1 تقطع دائرة الوحدة كمجموعة المستوى {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . لا توجد طريقة لتمثيل دائرة الوحدة كمنحنى لدالة ذات متغير واحد y = g ( x ) لأنه لكل اختيار لـ x ∈ (−1, 1) ، يوجد اختياران لـ y ، وهما:±1-x2{\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}.

مع ذلك، من الممكن تمثيل جزء من الدائرة كرسم بياني لدالة لمتغير واحد. إذا افترضناز1(x)=1-x2{\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}بالنسبة لـ −1 ≤ x ≤ 1 ، فإن الرسم البياني للدالة y = g 1 ( x ) يمثل النصف العلوي من الدائرة. وبالمثل، إذاز2(x)=-1-x2{\displaystyle g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}}، ثم يعطي الرسم البياني لـ y = g 2 ( x ) النصف السفلي من الدائرة.

تنص نظرية الدالة الضمنية على أنه في ظل بعض الافتراضات البسيطة، توجد دوال مثل g₁ ( x ) و g₂ ( x ) دائمًا ، حتى في الحالات التي لا يمكن فيها كتابتها بصيغ صريحة. وتضمن هذه النظرية أن g₁ ( x ) و g₂ ( x ) قابلتان للتفاضل ، بل وتصلح حتى في الحالات التي لا نملك فيها صيغة لـ f ( x , y ) .

الحالة العامة

يتركو:Rن+م→Rم{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}}أن تكون دالة قابلة للتفاضل باستمرار . نفكر فيRن+م{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}كحاصل ضرب ديكارتيRن×Rم،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},}ونكتب نقطة من هذا المنتج على النحو التالي:(x،y)=(x1،...،xن،y1،...yم).{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).}انطلاقاً من الدالة المعطاةو{\displaystyle f}هدفنا هو بناء دالةز:Rن→Rم{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}الرسم البياني الخاص به(x،ز(x)){\displaystyle ({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))}هي بالضبط مجموعة كل(x،y){\displaystyle ({\textbf {x}},{\textbf {y}})}بحيثو(x،y)=0{\displaystyle f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}}.

كما ذكرنا سابقاً، قد لا يكون هذا ممكناً دائماً. لذلك سنقوم بتحديد نقطة معينة.(أ،ب)=(أ1،...،أن،ب1،...،بم){\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})}وهو ما يرضيو(أ،ب)=0{\displaystyle f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}}وسنطلبز{\displaystyle g}هذا يعمل بالقرب من النقطة(أ،ب){\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}بمعنى آخر، نريد مجموعة مفتوحةيو⊂Rن{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}يحتوي علىأ{\displaystyle {\textbf {a}}}مجموعة مفتوحةV⊂Rم{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}يحتوي علىب{\displaystyle {\textbf {b}}}ووظيفةز:يو→V{\displaystyle g:U\to V}بحيث يكون الرسم البياني لـز{\displaystyle g}يفي بالعلاقةو=0{\displaystyle f={\textbf {0}}}علىيو×V{\displaystyle U\times V}وأنه لا توجد نقاط أخرى في الداخليو×V{\displaystyle U\times V}افعل ذلك. بالرموز،

{(x،ز(x))|x∈يو}={(x،y)∈يو×V|و(x،y)=0}.{\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.}

لبيان نظرية الدالة الضمنية، نحتاج إلى مصفوفة جاكوبي لـو{\displaystyle f}، وهي مصفوفة المشتقات الجزئية لـو{\displaystyle f}اختصار(أ1،...،أن،ب1،...،بم){\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})}ل(أ،ب){\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}، مصفوفة جاكوبي هي

(دو)(أ،ب)=[∂و1∂x1(أ،ب)⋯∂و1∂xن(أ،ب)∂و1∂y1(أ،ب)⋯∂و1∂yم(أ،ب)⋮⋱⋮⋮⋱⋮∂وم∂x1(أ،ب)⋯∂وم∂xن(أ،ب)∂وم∂y1(أ،ب)⋯∂وم∂yم(أ،ب)]=[XY]{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]}

أينX{\displaystyle X}هي مصفوفة المشتقات الجزئية في المتغيراتxأنا{\displaystyle x_{i}}وY{\displaystyle Y}هي مصفوفة المشتقات الجزئية في المتغيراتyج{\displaystyle y_{j}}تنص نظرية الدالة الضمنية على أنه إذاY{\displaystyle Y}إذا كانت مصفوفة قابلة للعكس، فإن هناكيو{\displaystyle U}،V{\displaystyle V}، وز{\displaystyle g}كما هو مطلوب. كتابة جميع الفرضيات معًا تعطي العبارة التالية.

بيان النظرية

يتركو:Rن+م→Rم{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}}لتكن دالة قابلة للتفاضل باستمرار ، ولتكنRن+م{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}لديك إحداثيات(x،y){\displaystyle ({\textbf {x}},{\textbf {y}})}حدد نقطة(أ،ب)=(أ1،...،أن،ب1،...،بم){\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})}معو(أ،ب)=0{\displaystyle f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0} }، أين0∈Rم{\displaystyle \mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}}هو المتجه الصفري. إذا كانت مصفوفة جاكوبي (وهي اللوحة اليمنى من مصفوفة جاكوبي الموضحة في القسم السابق): جو،y(أ،ب)=[∂وأنا∂yج(أ،ب)]{\displaystyle J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]} إذا كانت قابلة للعكس ، فإنه يوجد مجموعة مفتوحةيو⊂Rن{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}يحتوي علىأ{\displaystyle {\textbf {a}}}بحيث توجد دالة فريدةز:يو→Rم{\displaystyle g:U\to \mathbb {R} ^{m}}بحيثز(أ)=ب{\displaystyle g(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }، وو(x،ز(x))=0 للجميع x∈يو{\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U}. علاوة على ذلك،ز{\displaystyle g}قابلة للتفاضل باستمرار، ونشير إلى اللوحة اليسرى من مصفوفة جاكوبي الموضحة في القسم السابق على النحو التالي: جو،x(أ،ب)=[∂وأنا∂xج(أ،ب)]،{\displaystyle J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],} مصفوفة جاكوبيان للمشتقات الجزئية لـز{\displaystyle g}فييو{\displaystyle U}يتم الحصول عليها من خلال حاصل ضرب المصفوفات : [ 3 ][∂زأنا∂xج(x)]م×ن=-[جو،y(x،ز(x))]م×م-1[جو،x(x،ز(x))]م×ن{\displaystyle \left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}}

يمكن الاطلاع على البرهان في مقالة نظرية الدالة العكسية . هنا، يتم تفصيل الحالة ثنائية الأبعاد.

المشتقات العليا

وإذا كان الأمر كذلك،و{\displaystyle f}هل هي تحليلية أم قابلة للتفاضل باستمرارك{\displaystyle k}مرات في حي(أ،ب){\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}ثم يمكن للمرء أن يختاريو{\displaystyle U}لكي ينطبق الأمر نفسه علىز{\displaystyle g}داخليو{\displaystyle U}[ 4 ] في الحالة التحليلية، يطلق على هذا اسم نظرية الدالة الضمنية التحليلية .

مثال الدائرة

لنعد إلى مثال دائرة الوحدة . في هذه الحالة ، n = m = 1 وو(x،y)=x2+y2-1{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1}مصفوفة المشتقات الجزئية هي مصفوفة من الرتبة 1 × 2، معطاة بالصيغة التالية: (دو)(أ،ب)=[∂و∂x(أ،ب)∂و∂y(أ،ب)]=[2أ2ب]{\displaystyle (Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}}

إذن، هنا، يُمثل Y في نص النظرية العدد 2b ؛ ويكون التحويل الخطي المُعرَّف به قابلاً للعكس إذا وفقط إذا كان b ≠ 0. وبحسب نظرية الدالة الضمنية ، نرى أنه يُمكننا كتابة الدائرة محليًا على الصورة y = g ( x ) لجميع النقاط التي يكون فيها y ≠ 0. أما بالنسبة للنقطة (±1, 0)، فنواجه مشكلة، كما ذُكر سابقًا. ومع ذلك، يُمكن تطبيق نظرية الدالة الضمنية على هاتين النقطتين، وذلك بكتابة x كدالة في y ، أي:x=ح(y){\displaystyle x=h(y)}الآن، سيكون رسم الدالة كالتالي:(ح(y)،y){\displaystyle \left(h(y),y\right)}، بما أن حيث b = 0 لدينا a = 1 ، فإن الشروط اللازمة للتعبير عن الدالة محليًا بهذا الشكل يتم استيفاؤها.

يمكن إيجاد المشتقة الضمنية لـ y بالنسبة إلى x ، والمشتقة الضمنية لـ x بالنسبة إلى y ، عن طريق الاشتقاق الكلي للدالة الضمنية.x2+y2-1{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}ويساوي صفرًا: 2xدx+2yدy=0،{\displaystyle 2x\,dx+2y\,dy=0,} أعطِ دyدx=-xy{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}} و دxدy=-yx.{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.}

التطبيق: تغيير الإحداثيات

لنفترض أن لدينا فضاءً ذا أبعاد m ، يتم تحديده بواسطة مجموعة من الإحداثيات(x1،...،xم){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}يمكننا تقديم نظام إحداثيات جديد(x1′،...،xم′){\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}من خلال توفير وظائف mح1...حم{\displaystyle h_{1}\ldots h_{m}}كل منها قابلة للتفاضل باستمرار. تسمح لنا هذه الدوال بحساب الإحداثيات الجديدة.(x1′،...،xم′){\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}بالنسبة لنقطة ما، بالنظر إلى إحداثياتها القديمة(x1،...،xم){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}استخدامx1′=ح1(x1،...،xم)،...،xم′=حم(x1،...،xم){\displaystyle x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})}قد يرغب المرء في التحقق مما إذا كان العكس ممكنًا: بالنظر إلى الإحداثيات(x1′،...،xم′){\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}هل يمكننا "العودة" وحساب الإحداثيات الأصلية لنفس النقطة؟(x1،...،xم){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}ستقدم نظرية الدالة الضمنية إجابةً لهذا السؤال. الإحداثيات (الجديدة والقديمة)(x1′،...،xم′،x1،...،xم){\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})}ترتبط هذه العلاقات بالعلاقة f = 0، مع و(x1′،...،xم′،x1،...،xم)=(ح1(x1،...،xم)-x1′،...،حم(x1،...،xم)-xم′).{\displaystyle f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).} الآن، مصفوفة جاكوبي للدالة f عند نقطة معينة ( a , b ) [حيثأ=(x1′،...،xم′)،ب=(x1،...،xم){\displaystyle a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})}] معطى بواسطة (دو)(أ،ب)=[-1⋯0⋮⋱⋮0⋯-1|∂ح1∂x1(ب)⋯∂ح1∂xم(ب)⋮⋱⋮∂حم∂x1(ب)⋯∂حم∂xم(ب)]=[-أنام|ج].{\displaystyle (Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].} حيث I <sub>m</sub> تُمثل مصفوفة الوحدة من الرتبة m × m ، و J هي مصفوفة المشتقات الجزئية من الرتبة m × m ، مُقيمة عند ( a , b ). (في المثال السابق، رُمز لهذه الكتل بـ X وY. وكما هو الحال، في هذا التطبيق المحدد للنظرية، لا تعتمد أي من المصفوفتين على a ). تنص نظرية الدالة الضمنية الآن على أنه يمكننا التعبير محليًا عن(x1،...،xم){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}كدالة لـ(x1′،...،xم′){\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}إذا كانت J قابلة للعكس. اشتراط أن تكون J قابلة للعكس يكافئ أن det J ≠ 0، وبالتالي نرى أنه يمكننا الرجوع من الإحداثيات المميزة بعلامة إلى الإحداثيات غير المميزة بعلامة إذا كان محدد جاكوبيان J غير صفري. تُعرف هذه العبارة أيضًا باسم نظرية الدالة العكسية .

مثال: الإحداثيات القطبية

كتطبيق بسيط لما سبق، لنفترض المستوى المُعطى بإحداثيات قطبية ( R , θ ) . يمكننا الانتقال إلى نظام إحداثيات جديد ( الإحداثيات الديكارتية ) بتعريف الدالتين x ( R , θ ) = R cos( θ ) و y ( R , θ ) = R sin( θ ) . هذا يُتيح لنا إيجاد الإحداثيات الديكارتية المناظرة ( x , y ) لأي نقطة ( R , θ ) . متى يُمكننا العودة وتحويل الإحداثيات الديكارتية إلى إحداثيات قطبية؟ في المثال السابق، يكفي أن يكون det J ≠ 0 ، مع ج=[∂x(R،θ)∂R∂x(R،θ)∂θ∂y(R،θ)∂R∂y(R،θ)∂θ]=[كوس⁡θ-Rالخطيئة⁡θالخطيئة⁡θRكوس⁡θ].{\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.} بما أن det J = R ، فإن التحويل العكسي إلى الإحداثيات القطبية ممكن إذا كان R ≠ 0. لذا يبقى التحقق من الحالة R = 0. من السهل ملاحظة أنه في حالة R = 0 ، فإن تحويل الإحداثيات غير قابل للعكس: عند نقطة الأصل، قيمة θ غير محددة بدقة.

التعميمات

نسخة باناش الفضائية

استنادًا إلى نظرية الدالة العكسية في فضاءات باناخ ، من الممكن تعميم نظرية الدالة الضمنية على التطبيقات ذات القيم في فضاءات باناخ. [ 5 ] [ 6 ]

لتكن X و Y و Z فضاءات باناخ . ولتكن الدالة f  : X × Y → Z قابلة للتفاضل بشكل مستمر وفقًا لـ Fréchet . إذا(x0،y0)∈X×Y{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in X\times Y}،و(x0،y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}، وy↦دو(x0،y0)(0،y){\displaystyle y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)}إذا كان تماثل فضاء باناخ من Y إلى Z ، فإنه توجد جوارات U لـ x ≠ 0 و V لـ y ≠ 0 ودالة قابلة للتفاضل من نوع فريشيه g  : U → V بحيث يكون f ( x , g ( x )) = 0 و f ( x , y ) = 0 إذا وفقط إذا كان y = g ( x )، لكل(x،y)∈يو×V{\displaystyle (x,y)\in U\times V}.

الدوال الضمنية من الدوال غير القابلة للتفاضل

توجد صيغ مختلفة لنظرية الدالة الضمنية في حالة عدم قابلية الدالة f للتفاضل. ومن المتعارف عليه أن الرتابة الصارمة المحلية كافية في بُعد واحد. [ 7 ] وقد أثبت كوماجاي الصيغة الأكثر عمومية التالية بناءً على ملاحظة جيتورنتروم. [ 8 ] [ 9 ]

لنفترض دالة متصلةو:Rن×Rم→Rن{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}بحيثو(x0،y0)=0{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}إذا كانت هناك أحياء مفتوحةأ⊂Rن{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}وب⊂Rم{\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}}من x 0 و y 0 على التوالي، بحيث يكون ذلك لجميع قيم y في B ،و(⋅،y):أ→Rن{\displaystyle f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}}إذا كانت العلاقة محلية فردية، فستكون هناك أحياء مفتوحةأ0⊂Rن{\displaystyle A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}وب0⊂Rم{\displaystyle B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}}من x 0 و y 0 ، بحيث، لجميعy∈ب0{\displaystyle y\in B_{0}}المعادلة f ( x , y ) = 0 لها حل وحيد x=ز(y)∈أ0،{\displaystyle x=g(y)\in A_{0},} حيث g دالة متصلة من B 0 إلى A 0 .

مشعبات قابلة للانهيار

يمكن فهم نظرية بيرلمان للانهيار بالنسبة للمتشعبات ثلاثية الأبعاد ، والتي تمثل حجر الزاوية في برهانه على حدسية ثورستون الهندسية ، على أنها امتداد لنظرية الدالة الضمنية. [ 10 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُعرف أيضًا باسم نظرية ديني في مدرسة بيزا بإيطاليا. في الأدبيات الإنجليزية، تُعتبر نظرية ديني نظرية مختلفة في التحليل الرياضي.

مراجع

  1. ↑ تشيانغ، ألفا سي. (1984). الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات 204-206 . ISBN  0-07-010813-7.
  2. ↑ كرانز، ستيفن؛ باركس، هارولد (2003). نظرية الدالة الضمنية . كلاسيكيات بيركهاوزر الحديثة. بيركهاوزر. ISBN 0-8176-4285-4.
  3. ↑ دي أوليفيرا، أوزوالدو (2013). "نظريات الدوال الضمنية والمعكوسة: براهين سهلة". تبادل التحليل الحقيقي . 39 (1): 214-216 . arXiv : 1212.2066 . doi : 10.14321/realanalexch.39.1.0207 . S2CID 118792515 . 
  4. ^ فريتش، ك. جراويرت، هـ. (2002). من الدوال المجسمة إلى المتشعبات المعقدة . سبرينغر. ص. 34. ردمك  9780387953953.
  5. ↑ لانغ، سيرج (1999). أساسيات الهندسة التفاضلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. نيويورك: سبرينغر. ص 15-21 . ISBN  0-387-98593-X.
  6. ↑ إدواردز، تشارلز هنري (1994) [1973]. حساب التفاضل والتكامل المتقدم لعدة متغيرات . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. الصفحات 417-418 . ISBN  0-486-68336-2.
  7. ↑ كودريافتسيف، ليف ديميترييفيتش (2001) [1994]، "الدالة الضمنية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  8. ↑ جيتورنتروم، ك. (1978). "نظرية الدالة الضمنية". مجلة نظرية التطبيقات الأمثلية . 25 (4): 575-577 . doi : 10.1007/BF00933522 . S2CID 121647783 . 
  9. ↑ كوماجاي، س. (1980). "نظرية الدالة الضمنية: تعليق". مجلة نظرية التطبيقات الأمثلية . 31 (2): 285-288 . doi : 10.1007/BF00934117 . S2CID 119867925 . 
  10. ^ تساو، جيانجو؛ جي جيان (2011). “دليل بسيط على نظرية انهيار بيرلمان لثلاثة متشعبات”. جيه جيوم. الشرج . 21 (4): 807– 869. أرخايف : 1003.2215 . دوى : 10.1007/s12220-010-9169-5 . S2CID 514106 . 

١١- نظرية الدالة الضمنية المعممة، مجلة الجمعية الرياضية الإندونيسية، DOI:10.22.342، الإصدار 3211.1551، رخصة CCBY-NC-ND-4.0. تناقش هذه المقالة نظرية الدالة الضمنية للفضاءات الطوبولوجية X وY وZ، حيث X فضاء طوبولوجي، وY فضاء باناخ، وZ فضاء متجهي طوبولوجي.

للمزيد من القراءة