دالة هولومورفية

في الرياضيات ، الدالة التحليلية هي دالة ذات قيم مركبة لمتغير مركب واحد أو أكثر ، وتكون قابلة للتفاضل المركب في جوار كل نقطة في مجال في فضاء الإحداثيات المركبة .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يُعدّ وجود مشتقة عقدية في جوارٍ ما شرطًا قويًا للغاية، إذ يُشير إلى أن الدالة التحليلية قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية ، وأنها تُساوي محليًا متسلسلة تايلور الخاصة بها(أي أنها تحليلية ). وتُعتبر الدوال التحليلية من أهمّ المواضيع التي تُدرس في التحليل العقدي .

على الرغم من أن مصطلح الدالة التحليلية يُستخدم غالبًا كمرادف لمصطلح "الدالة التامة الشكل"، فإن كلمة "تحليلية" تُعرَّف بمعنى أوسع للدلالة على أي دالة (حقيقية، أو مركبة، أو من نوع أكثر عمومية) يمكن كتابتها كمتسلسلة قوى متقاربة في جوار كل نقطة في مجالها . إن كون جميع الدوال التامة الشكل دوالًا تحليلية مركبة، والعكس صحيح، يُعدّ نظريةً رئيسيةً في التحليل المركب . ^{[ 1 ]}

تُعرف الدوال التحليلية أحيانًا بالدوال المنتظمة . ^{[ 2 ]} تُسمى الدالة التحليلية التي يكون مجالها المستوى العقدي بأكمله دالة كاملة . ويُستخدم مصطلح "تحليلية عند نقطة " للدلالة على ذلك.${\displaystyle z_{0}}$" تعني ليس فقط قابلاً للتفاضل عند${\displaystyle z_{0}}$، ولكنها قابلة للتفاضل في كل مكان ضمن جوار قريب من${\displaystyle z_{0}}$في المستوى المركب.

بفرض دالة ذات قيم مركبة${\displaystyle f}$لمتغير مركب واحد، مشتقة${\displaystyle f}$عند نقطة ما${\displaystyle z_{0}}$يتم تعريفها في نطاقها على أنها النهاية ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

هذا هو نفس تعريف مشتقة الدالة الحقيقية ، باستثناء أن جميع الكميات مركبة. وعلى وجه الخصوص، تُؤخذ النهاية على أنها العدد المركب .${\displaystyle z}$يميل إلى​${\displaystyle z_{0}}$وهذا يعني أنه يتم الحصول على نفس القيمة لأي سلسلة من القيم المركبة لـ${\displaystyle z}$وهذا يميل إلى${\displaystyle z_{0}}$إذا كان الحد موجودًا ،${\displaystyle f}$يقال إنها قابلة للتفاضل بشكل معقد عند${\displaystyle z_{0}}$يشترك مفهوم قابلية التفاضل المركب هذا في العديد من الخصائص مع ^قابلية التفاضل الحقيقي : فهو خطي ويخضع لقاعدة الضرب ، وقاعدة القسمة ، وقاعدة السلسلة . [ ^{4 ]}

الدالة هي دالة تحليلية على مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$إذا كانت قابلة للتفاضل عند كل نقطة من${\displaystyle U}$دالة​​${\displaystyle f}$يكون الشكلي عندنقطة ما${\displaystyle z_{0}}$إذا كانت دالة شكلية على جوار ما من${\displaystyle z_{0}}$[ ⁵ ] الدالة هي ^{دالة تحليلية} على مجموعة غير مفتوحة .${\displaystyle A}$إذا كانت دالة شكلية عند كل نقطة من${\displaystyle A}$⁠ .

قد تكون الدالة قابلة للتفاضل المركب عند نقطة ما، ولكنها ليست تامة الشكل عند هذه النقطة. على سبيل المثال، الدالة ⁠${\displaystyle \textstyle f(z)=\vert z\vert {\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$⁠ قابلة للتفاضل بشكل معقد عند ⁠${\displaystyle 0}$، لكنها ليست قابلة للتفاضل في أي مكان آخر، وخاصةً في أي مكان ليس قريبًا من${\displaystyle 0}$( انظر معادلات كوشي-ريمان أدناه). لذا، فهي ليست تامة الشكل عند${\displaystyle 0}$⁠ .

العلاقة بين قابلية التفاضل الحقيقية وقابلية التفاضل المركبة هي كالتالي: إذا كانت الدالة المركبة${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$إذا كان الشكل هولومورفيًا، فإن${\displaystyle u}$و​​${\displaystyle v}$⁠ لها مشتقات جزئية أولى بالنسبة إلى ⁠${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$، وتفي بمعادلات كوشي-ريمان : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

أو، بصورة مكافئة، مشتق ويرتينجر لـ${\displaystyle f}$فيما يتعلق بـ${\displaystyle {\bar {z}}}$، المركب المرافق لـ​${\displaystyle z}$، يساوي صفرًا: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

أي أن ذلك، بشكل تقريبي ،${\displaystyle f}$مستقل وظيفيًا عن${\displaystyle {\bar {z}}}$، المركب المرافق لـ${\displaystyle z}$⁠ .

إذا لم تُثبت الاستمرارية، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. ومثال بسيط على العكس هو أنه إذا ⁠${\displaystyle u}$و​​${\displaystyle v}$إذا كانت الدوال لها مشتقات جزئية أولى متصلة وتفي بمعادلات كوشي-ريمان، فإن${\displaystyle f}$الدالة تامة الشكل. أما العكس الأكثر إرضاءً، والذي يصعب إثباته، فهو نظرية لومان-مينشوف : إذا كانت${\displaystyle f}$متصل ،​${\displaystyle u}$و​​${\displaystyle v}$إذا كانت الدوال لها مشتقات جزئية أولى (ولكن ليس بالضرورة أن تكون متصلة)، وكانت تحقق معادلات كوشي-ريمان، فإن${\displaystyle f}$هو هولومورفي. ^{[ 8 ]}

تتمثل إحدى النتائج المفيدة المباشرة لمعادلات كوشي-ريمان المذكورة أعلاه في إمكانية تعريف المشتقة المركبة بشكل صريح بدلالة المشتقات الجزئية الحقيقية. إذا${\displaystyle f(z)}$هي دالة مركبة قابلة للتفاضل المركب حول نقطة${\displaystyle z=x+iy}$ثم (كما فعلنا سابقًا في المقال) يمكننا أن نكتب${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ويمكن كتابة المشتقة المركبة للدالة على النحو التالي :${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}}$[ ⁹ ]^​​

استُخدم مصطلح "هولومورفيك" لأول مرة عام 1875 من قِبل شارل بريو وجان كلود بوكيه ، وهما اثنان من تلاميذ أوغستين لويس كوشي ، وهو مشتق من الكلمتين اليونانيتين ὅλος ( هولوس ) بمعنى "الكل"، و μορφή ( مورفي ) بمعنى "الشكل" أو "المظهر" أو "النمط"، وذلك على عكس مصطلح "ميرومورفيك" المشتق من μέρος ( ميروس ) بمعنى "الجزء". تشبه الدالة الهولومورفية دالة كاملة ("الكل") في مجال المستوى المركب، بينما تشبه الدالة الميرومورفية (المعرفة بأنها هولومورفية باستثناء بعض الأقطاب المعزولة ) جزءًا نسبيًا ("جزءًا") من دوال كاملة في مجال المستوى المركب. ^{[ 10 ]} وكان كوشي قد استخدم مصطلح "سينيكتيك" بدلاً من ذلك . ^{[ 11 ]}

يُفضّل اليوم أحيانًا استخدام مصطلح "الدالة التحليلية" بدلًا من "الدالة التحليلية". ومن النتائج المهمة في التحليل المركب أن كل دالة تحليلية هي دالة تحليلية مركبة، وهي حقيقة لا تتضح بديهيًا من التعريفات. ومع ذلك، فإن مصطلح "التحليلية" شائع الاستخدام أيضًا.

لأن التفاضل المركب خطي ويخضع لقواعد الضرب والقسمة والسلسلة، فإن مجموع وضرب وتركيب الدوال التحليلية يكون تحليليًا، ويكون خارج قسمة دالتين تحليليتين تحليليًا حيثما لا يساوي المقام صفرًا. ^{[ 12 ]} أي، إذا كانت الدوال${\displaystyle f}$و​​${\displaystyle g}$تكون متماثلة الشكل في نطاق ما${\displaystyle U}$إذن ، كذلك هم${\displaystyle f+g}$،​​${\displaystyle f-g}$،​​${\displaystyle fg}$، و​${\displaystyle f\circ g}$علاوة على ذلك ،${\displaystyle f/g}$تكون الدالة هولومورفية إذا${\displaystyle g}$لا يحتوي على أصفار في${\displaystyle U}$; وإلا فهو ميرومورفي .

إذا حدد المرء${\displaystyle \mathbb {C} }$مع الطائرة الحقيقية​${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ ، ثم تتطابق الدوال الهولومورفية مع تلك الدوال لمتغيرين حقيقيين ذات مشتقات أولى متصلة والتي تحل معادلات كوشي-ريمان ، وهي مجموعة من معادلتين تفاضليتين جزئيتين . ^{[ 6 ]}

يمكن فصل كل دالة هولومورفية إلى أجزائها الحقيقية والخيالية .${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$وكل منها دالة توافقية على${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$( كل منها يحقق معادلة لابلاس )${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$) , مع${\displaystyle v}$المرافق التوافقي لـ​​${\displaystyle u}$[ ^{13 ] على العكس} من ذلك ، كل دالة توافقية${\displaystyle u(x,y)}$في نطاق متصل ببساطة​${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$يمثل الجزء الحقيقي من دالة تحليلية: إذا${\displaystyle v}$⁠ هو المرافق التوافقي لـ ⁠${\displaystyle u}$، فريدة حتى قيمة ثابتة، ثم${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$هو هولومورفي.

تنص نظرية كوشي التكاملية على أن التكامل المحيطي لكل دالة هولومورفية على طول حلقة يتلاشى: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

هنا​${\displaystyle \gamma }$⁠ هو مسار قابل للتصحيح في مجال معقد بسيط الاتصال ⁠${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$نقطة بدايته تساوي نقطة نهايته ، و${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$هي دالة هولومورفية.

تنص صيغة كوشي التكاملية على أن كل دالة تامة الشكل داخل قرص ما تُحدد تمامًا بقيمها على حدود القرص. ^{[ 14 ]} علاوة على ذلك: لنفترض${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$هو مجال معقد ،${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$هي دالة تحليلية والقرص المغلق${\displaystyle D\equiv \{z:\vert z-z_{0}\vert \leq r\}}$⁠ موجود بالكامل في ⁠${\displaystyle U}$. ليكن​${\displaystyle \gamma }$لتكن الدائرةالتي تشكل حدود${\displaystyle D}$ثم لكل​${\displaystyle a}$في داخل​​​${\displaystyle D}$⁠ :

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

حيث يتم حساب التكامل الكفافي عكس اتجاه عقارب الساعة .

المشتق ⁠${\displaystyle {f'}(a)}$يمكن كتابة ⁠ كتكامل كفافي ^{[ 14 ]} باستخدام صيغة التفاضل لكوشي :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

لأي حلقة بسيطة ملفوفة بشكل إيجابي مرة واحدة حول${\displaystyle a}$، و

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

للحلقات الموجبة متناهية الصغر${\displaystyle \gamma }$حول​​${\displaystyle a}$⁠ .

في المناطق التي لا تكون فيها المشتقة الأولى صفرًا، تكون الدوال التحليلية مطابقة : فهي تحافظ على الزوايا وشكل (ولكن ليس حجم) الأشكال الصغيرة. ^{[ 15 ]}

كل دالة تحليلية هي دالة تحليلية . أي أن الدالة التحليلية${\displaystyle f}$لها مشتقات من كل رتبة عند كل نقطة${\displaystyle a}$في نطاقها، ويتزامن ذلك مع سلسلة تايلور الخاصة بها عند${\displaystyle a}$في حي من${\displaystyle a}$في الواقع ،${\displaystyle f}$يتزامن ذلك مع سلسلة تايلور الخاصة بها في${\displaystyle a}$في أي قرص متمركز عند تلك النقطة ويقع ضمن نطاق الدالة.

من وجهة نظر جبرية، فإن مجموعة الدوال التحليلية على مجموعة مفتوحة هي حلقة تبديلية وفضاء متجهي عقدي . بالإضافة إلى ذلك، فإن مجموعة الدوال التحليلية في مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$تكون مجموعة مفتوحةمجالًا تكامليًا إذا وفقط إذا كانت${\displaystyle U}$[ ^{7 ]} متصلة.في الواقع، إنها فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا ، حيثتكون المعايير شبهية هي القيم العليا على المجموعات الفرعية ^{المدمجة} .

من منظور هندسي، دالة${\displaystyle f}$يكون هولومورفيًا عند${\displaystyle z_{0}}$إذا وفقط إذا كان مشتقها الخارجي${\displaystyle \mathrm {d} f}$في حي​${\displaystyle U}$من​​${\displaystyle z_{0}}$يساوي​​${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$لبعض الدوال المتصلة${\displaystyle f'}$. ويترتب على ذلك

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

ذلك​${\displaystyle \mathrm {d} f'}$وهي تتناسب أيضًا مع${\displaystyle \mathrm {d} z}$، مما يعني أن المشتق${\displaystyle \mathrm {d} f'}$هو نفسه هولومورفي، وبالتالي فإن${\displaystyle f}$الدالة قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. وبالمثل ،${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$وهذا يعني أن أي دالة${\displaystyle f}$أي أنها دالة تامة الشكل على المنطقة المتصلة ببساطة${\displaystyle U}$كما يمكن دمجه على${\displaystyle U}$⁠ .

للحصول على مسار${\displaystyle \gamma }$من​​${\displaystyle z_{0}}$إلى​​${\displaystyle z}$يقع بالكامل في${\displaystyle U}$، تعريف

⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z.}$⁠

في ضوء نظرية منحنى جوردان ونظرية ستوكس المعممة ،${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$مستقل عن الاختيار المحدد للمسار${\displaystyle \gamma }$وبالتالي​​${\displaystyle F(z)}$هي دالة معرفة جيدًا على${\displaystyle U}$امتلاك​​${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle f=\mathrm {d} F/\mathrm {d} z}$⁠ .

جميع الدوال متعددة الحدود في${\displaystyle z}$الدوال ذات المعاملات المركبةهي دوال كاملة (هولومورفية في المستوى المركب بأكمله ).${\displaystyle \mathbb {C} }$وكذلك الدالة الأسية​${\displaystyle \exp z}$والدوال المثلثية​​${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$و​​${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$( انظر صيغة أويلر ). الفرع الرئيسي لدالةاللوغاريتم المركب${\displaystyle \log z}$يكون هولومورفيًا على المجال${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$يمكن تعريف دالةالجذر التربيعي على النحو التالي :${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$وبالتالي يكون شكليًا أينما كان اللوغاريتم${\displaystyle \log z}$الدالة المقلوبة​​${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$⁠ هولومورفي على ⁠${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$( الدالة المقلوبة، وأي دالة كسرية أخرى ، هي دالة ميرومورفية على${\displaystyle \mathbb {C} }$. )

نتيجةً لمعادلات كوشي-ريمان ، يجب أن تكون أي دالة تحليلية حقيقية القيمة ثابتة . لذلك، فإن القيمة المطلقة${\displaystyle \vert z\vert }$، الحجة​​${\displaystyle \arg z}$الجزء الحقيقي​​${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$والجزء الخيالي ​​${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$الدوال المتصلة ليست دوالًا تحليلية. ومن الأمثلة النموذجية الأخرى على الدوال المتصلة غير التحليلية المرافق المركب .${\displaystyle {\bar {z}}}$. (المركب المترافق مضاد للتماثل .)

يمكن تعميم تعريف الدالة التحليلية على عدة متغيرات مركبة بطريقة مباشرة. الدالة${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$في​​${\displaystyle n}$تكون المتغيرات المركبة تحليلية عند نقطة معينة .${\displaystyle p}$إذا وُجدت جوار لـ${\displaystyle p}$حيث​​${\displaystyle f}$يساوي متسلسلة قوى متقاربة في${\displaystyle n}$المتغيرات المركبة ؛ ^{[ 16 ]} الدالة${\displaystyle f}$⁠ هولومورفي في مجموعة جزئية مفتوحة ⁠${\displaystyle U}$من​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$إذا كانت تحليلية عند كل نقطة في${\displaystyle U}$تُظهر ليمّة أوسجود ( باستخدام صيغة كوشي التكاملية متعددة المتغيرات) أنه بالنسبة لدالة متصلة${\displaystyle f}$وهذا يعادل​${\displaystyle f}$كونها هولومورفية في كل متغير على حدة (بمعنى أنه إذا كان أي${\displaystyle n-1}$إذا تم تثبيت الإحداثيات، فإن تقييد${\displaystyle f}$( دالة تحليلية للإحداثي المتبقي). تثبت نظرية هارتوغز الأكثر عمقًا أن فرضية الاستمرارية غير ضرورية :${\displaystyle f}$تكون الدالة تامة الشكل إذا وفقط إذا كانت تامة الشكل في كل متغير على حدة.

وبشكل أكثر عمومية، فإن الدالة المكونة من عدة متغيرات معقدة والتي تكون قابلة للتكامل التربيعي على كل مجموعة فرعية مضغوطة من مجالها تكون تحليلية إذا وفقط إذا كانت تحقق معادلات كوشي-ريمان بمعنى التوزيعات.

تُعدّ الدوال ذات المتغيرات المركبة المتعددة، من بعض النواحي الأساسية، أكثر تعقيدًا من الدوال ذات المتغير المركب الواحد. فعلى سبيل المثال، لا تُمثّل منطقة تقارب متسلسلة القوى بالضرورة كرة مفتوحة؛ بل هي مناطق محدبة لوغاريتميًا من نوع راينهارت ، وأبسط مثال عليها هو القرص المتعدد . ومع ذلك، فهي تخضع أيضًا لبعض القيود الأساسية. فعلى عكس الدوال ذات المتغير المركب الواحد، فإنّ المجالات الممكنة التي توجد عليها دوال تحليلية لا يمكن توسيعها إلى مجالات أكبر محدودة للغاية. تُسمى هذه المجموعة مجال التحليل .

معادلات تفاضلية معقدة${\displaystyle (p,0)}$-form​​${\displaystyle \alpha }$تكون الدالة تامة الشكل إذا وفقط إذا كان مشتق دولبو المضاد لها يساوي صفرًا :${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$⁠ .

يمكن توسيع مفهوم الدالة التحليلية ليشمل الفضاءات اللانهائية الأبعاد للتحليل الوظيفي . على سبيل المثال، يمكن استخدام مشتقة فريشيه أو جاتو لتعريف مفهوم الدالة التحليلية على فضاء باناخ فوق حقل الأعداد المركبة.

• بلاكي، جوزيف (1958). الرياضيات الجامعية (  الطبعة الثانية). لندن، المملكة المتحدة: بلاكي وأولاده. OCLC 2370110 . 

• "الدالة التحليلية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]