الأبعاد المشتركة

في الرياضيات ، يعد البعد المشترك فكرة هندسية أساسية تنطبق على الفضاءات الفرعية في الفضاءات المتجهة ، وعلى الفضاءات الفرعية في الفضاءات المتعددة ، والمجموعات الفرعية المناسبة من الأصناف الجبرية .

بالنسبة للأصناف الجبرية الأفينية والإسقاطية ، فإن البعد المشترك يساوي ارتفاع المثالي المحدد . ولهذا السبب، يُطلق على ارتفاع المثالي غالبًا اسم بعده المشترك.

المفهوم المزدوج هو البعد النسبي .

البُعد المشترك مفهوم نسبي : فهو يُعرَّف فقط لكائن داخل كائن آخر. لا يوجد "بُعد مشترك لفضاء متجهي (بمعزل عن غيره)"، بل يوجد فقط البُعد المشترك لفضاء متجهي فرعي .

إذا كان W فضاءً جزئياً خطياً من فضاء متجهي محدود الأبعاد V ، فإن البعد المشترك لـ W في V هو الفرق بين الأبعاد: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).}$

وهو مكمل بُعد W، بمعنى أنه مع بُعد W، يُضاف إليه بُعد الفضاء المحيط V:

${\displaystyle \dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).}$

وبالمثل، إذا كانت N متعددة شعب فرعية أو تنوعًا فرعيًا في M ، فإن البعد المشترك لـ N في M هو

${\displaystyle \operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).}$

تمامًا كما أن بُعد الفضاء الفرعي هو بُعد الحزمة المماسية (عدد الأبعاد التي يمكنك تحريكها على الفضاء الفرعي)، فإن البُعد المشترك هو بُعد الحزمة العادية (عدد الأبعاد التي يمكنك تحريكها خارج الفضاء الفرعي).

بشكلٍ أعم، إذا كان W فضاءً جزئيًا خطيًا من فضاء متجهي V (قد يكون ذا أبعاد لا نهائية) ، فإن البعد المشترك لـ W في V هو بُعد فضاء القسمة V / W (قد يكون لا نهائيًا) ، والذي يُعرف بشكلٍ أكثر تجريدًا باسم النواة المشتركة للتضمين. بالنسبة للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة، يتوافق هذا مع التعريف السابق.

${\displaystyle \operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),}$

وهو ثنائي البعد النسبي مثل بعد النواة .

غالباً ما تكون الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد المحدودة للفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية مفيدة في دراسة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية .

تكمن الخاصية الأساسية للبعد المشترك في علاقته بالتقاطع : إذا كان البعد المشترك لـ W1 هو _k1 ، وكان _البعد المشترك لـ W2 هو _k2 ، فإن U هو تقاطعهما ذو البعد المشترك j، وبالتالي _:

max( k ₁ , k ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂ .

في الواقع، يمكن أن تأخذ j أي قيمة عددية صحيحة ضمن هذا النطاق. هذا البيان أوضح من الترجمة من حيث الأبعاد، لأن الطرف الأيمن هو ببساطة مجموع الأبعاد المشتركة. بعبارة أخرى،

تُضاف الأبعاد المشتركة (على الأكثر) .

إذا تقاطعت الفضاءات الفرعية أو الفضاءات الفرعية بشكل عرضي (وهو ما يحدث بشكل عام )، فإن الأبعاد المشتركة تتجمع بالضبط.

يُطلق على هذا البيان اسم عد الأبعاد ، وخاصة في نظرية التقاطع .

فيما يتعلق بالفضاء الثنائي ، يتضح جليًا سبب جمع الأبعاد. يمكن تعريف الفضاءات الجزئية بانعدام عدد معين من الدوال الخطية ، والتي إذا افترضنا استقلالها الخطي ، فإن عددها هو البعد المشترك. بالتالي، نرى أن U يُعرَّف بأخذ اتحاد مجموعات الدوال الخطية التي تُعرِّف Wᵢ _. قد يُدخل هذا الاتحاد درجة من التبعية الخطية : تُعبِّر القيم الممكنة لـ j عن هذه التبعية، حيث يُمثِّل مجموع الطرف الأيمن حالة انعدام التبعية. يمتد هذا التعريف للبعد المشترك، بدلالة عدد الدوال اللازمة لاستبعاد فضاء جزئي، إلى الحالات التي يكون فيها كل من الفضاء المحيط والفضاء الجزئي لانهائي الأبعاد.

بعبارة أخرى، وهي أساسية لأي نوع من أنواع نظرية التقاطع ، فإننا نأخذ اتحاد عدد معين من القيود . لدينا ظاهرتان يجب الانتباه إليهما:

1. قد لا تكون مجموعتا القيود مستقلتين؛
2. قد لا تكون مجموعتا القيود متوافقتين.

يُعبَّر عن المبدأ الأول غالبًا بمبدأ عدّ القيود : إذا كان لدينا عدد N من المعاملات التي يجب ضبطها (أي لدينا N درجة حرية )، وكان القيد يعني أنه يتعين علينا "استهلاك" معامل لتحقيقه، فإن البُعد المشترك لمجموعة الحلول لا يتجاوز عدد القيود. لا نتوقع إيجاد حل إذا تجاوز البُعد المشترك المتوقع، أي عدد القيود المستقلة ، N (في حالة الجبر الخطي، يوجد دائمًا حل متجهي تافه ، وبالتالي يتم استبعاده).

أما الأمر الثاني فهو مسألة هندسية، على غرار الخطوط المتوازية ؛ وهو أمر يمكن مناقشته بالنسبة للمسائل الخطية باستخدام أساليب الجبر الخطي، وبالنسبة للمسائل غير الخطية في الفضاء الإسقاطي ، على حقل الأعداد المركبة .

للبعد المشترك دلالة واضحة في الطوبولوجيا الهندسية : ففي الفضاء المتشعب، يمثل البعد المشترك 1 بُعد الانفصال الطوبولوجي بواسطة فضاء فرعي، بينما يمثل البعد المشترك 2 بُعد التفرع ونظرية العقد . في الواقع، يمكن القول إن نظرية الفضاءات المتشعبة عالية الأبعاد، التي تبدأ من البعد 5 وما فوق، تبدأ من البعد المشترك 3، لأن الأبعاد المشتركة الأعلى تتجنب ظاهرة العقد. وبما أن نظرية الجراحة تتطلب العمل حتى البعد الأوسط، فبمجرد الوصول إلى البعد 5، يكون البعد المشترك لهذا البعد أكبر من 2، وبالتالي يتم تجنب العقد.

هذه الملاحظة ليست فارغة: إن دراسة التضمينات في البعد المشترك 2 هي نظرية العقد، وهي صعبة، في حين أن دراسة التضمينات في البعد المشترك 3 أو أكثر قابلة لأدوات الطوبولوجيا الهندسية عالية الأبعاد، وبالتالي فهي أسهل بكثير.

• مسرد مصطلحات الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا

• "Codimension" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• رومان، ستيفن (2008)، الجبر الخطي المتقدم ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ISBN 978-0-387-72828-5