مجموعة المستويات

النقاط عند شرائح ثابتة من x ₂ = f ( x ₁ ) .

الخطوط عند شرائح ثابتة من x ₃ = f ( x ₁ , x ₂ ) .

المستويات عند شرائح ثابتة من x ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

مجموعات المستوى ( n − 1) ذات الأبعاد للدوال من الشكل f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _n حيث a ₁ , a ₂ , …, a _n هي ثوابت، في الفضاء الإقليدي ( n + 1) ذي الأبعاد، لـ n = 1, 2, 3 .

النقاط عند شرائح ثابتة من x ₂ = f ( x ₁ ) .

منحنيات الكفاف عند شرائح ثابتة من x ₃ = f ( x ₁ , x ₂ ) .

الأسطح المنحنية عند شرائح ثابتة من x ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

مجموعات المستوى ( n − 1) ذات الأبعاد للدوال غير الخطية f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) في الفضاء الإقليدي ( n + 1) ذي الأبعاد ، لـ n = 1, 2, 3 .

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة المستوى لدالة حقيقية f ذات n متغير حقيقي بأنها مجموعة تأخذ فيها الدالة قيمة ثابتة معينة c ، أي:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

عندما يكون عدد المتغيرات المستقلة اثنين، تُسمى مجموعة المستوى منحنى المستوى ، ويُعرف أيضًا بخط الكفاف أو خط التساوي ؛ لذا فإن منحنى المستوى هو مجموعة جميع الحلول الحقيقية لمعادلة في متغيرين x1 و x2 . عندما n = 3 ، تُسمى مجموعة المستوى سطح المستوى (أو سطح التساوي )؛ لذا فإن سطح المستوى هو مجموعة جميع الجذور الحقيقية لمعادلة في ثلاثة متغيرات x1 و x2 و x3 . _{بالنسبة لقيم n} الأعلى ، _تُسمى مجموعة المستوى سطحًا فائقًا للمستوى ، وهو مجموعة جميع _الجذور الحقيقية لمعادلة في n > 3 متغيرات ( سطح فائق ذو أبعاد أعلى ).

مجموعة المستويات هي حالة خاصة من الألياف .

تظهر مجموعات المستويات في العديد من التطبيقات، وغالبًا ما تُعرف بأسماء مختلفة. على سبيل المثال، يُعد المنحنى الضمني منحنى مستوى، يُنظر إليه بشكل مستقل عن المنحنيات المجاورة له، مما يؤكد أن هذا المنحنى مُعرَّف بمعادلة ضمنية . وبالمثل، يُطلق على سطح المستوى أحيانًا اسم السطح الضمني أو السطح المتساوي .

يُستخدم أيضًا مصطلح "خط الكنتور المتساوي"، والذي يعني خط الكنتور ذي الارتفاع المتساوي. وفي مجالات تطبيقية مختلفة، أُطلقت على خطوط الكنتور المتساوية أسماء محددة، تشير غالبًا إلى طبيعة قيم الدالة المدروسة، مثل خط الضغط المتساوي ، وخط الحرارة المتساوي ، وخط التساوي، وخط الزمن المتساوي ، ومنحنى الإنتاج المتساوي ، ومنحنى السواء .

ضع في اعتبارك المسافة الإقليدية ثنائية الأبعاد:$${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$مجموعة مستويات${\displaystyle L_{r}(d)}$يتكون جزء من هذه الدالة من تلك النقاط التي تقع على مسافة${\displaystyle r}$من نقطة الأصل، تشكل دائرة . على سبيل المثال،${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$، لأن${\displaystyle d(3,4)=5}$هندسياً، هذا يعني أن النقطة${\displaystyle (3,4)}$تقع على دائرة نصف قطرها 5 ومركزها نقطة الأصل. وبشكل أعم، هي كرة في فضاء متري${\displaystyle (M,m)}$بنصف قطر${\displaystyle r}$مركزها في${\displaystyle x\in M}$يمكن تعريفها بأنها مجموعة المستويات${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$.

مثال آخر هو رسم دالة هيملبلاو الموضح في الشكل على اليمين. كل منحنى معروض هو منحنى مستوى للدالة، والمسافة بينها لوغاريتمية: إذا كان المنحنى يمثل${\displaystyle L_{x}}$يمثل المنحنى الموجود مباشرة "داخل"${\displaystyle L_{x/10}}$والمنحنى الواقع مباشرة "في الخارج" يمثل${\displaystyle L_{10x}}$.

النظرية : إذا كانتالدالة f قابلة للتفاضل ، فإن تدرج f عند نقطة ما يكون إما صفرًا، أو عموديًا على مجموعة المستوى لـ f عند تلك النقطة.

لفهم معنى ذلك، تخيّل أن اثنين من المتنزهين يقفان في نفس المكان على جبل. أحدهما جريء، فيقرر السير في الاتجاه الأكثر انحدارًا. أما الآخر فهو أكثر حذرًا، ولا يرغب في الصعود أو النزول، فيختار مسارًا يبقى على نفس الارتفاع. في مثالنا، تنص النظرية السابقة على أن المتنزهين سينطلقان في اتجاهين متعامدين.

من نتائج هذه النظرية (وبرهانها) أنه إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل، فإن مجموعة المستوى هي سطح فائق ومتشعب خارج النقاط الحرجة للدالة f . عند النقطة الحرجة، قد تُختزل مجموعة المستوى إلى نقطة (على سبيل المثال عند قيمة قصوى محلية للدالة f ) أو قد تحتوي على نقطة شاذة مثل نقطة تقاطع ذاتي أو نقطة مدببة .

مجموعة من الشكل

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

تُسمى مجموعة المستوى الفرعي لـ f (أو، بدلاً من ذلك، مجموعة المستوى الأدنى أو خندق لـ f ). مجموعة المستوى الفرعي الصارمة لـ f هي

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

بصورة مماثلة

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

تُسمى مجموعة المستوى الفائق لـ f (أو، بدلاً من ذلك، مجموعة المستوى الأعلى لـ f ). ومجموعة المستوى الفائق الصارمة لـ f هي

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

تُعدّ مجموعات المستويات الفرعية مهمة في نظرية التصغير . وبحسب نظرية فايرشتراس ، فإنّ محدودية بعض مجموعات المستويات الفرعية غير الفارغة ، واستمرارية الدالة من الأسفل، يستلزمان أن الدالة تصل إلى قيمتها الصغرى. ويُميّز تحدب جميع مجموعات المستويات الفرعية الدوال شبه المحدبة . ^{[ 2 ]}

• كتابة منقوشة
• طريقة تحديد المستوى
• مجموعة المستويات (هياكل البيانات)