متجه الاحتمالية

في الرياضيات والإحصاء ، متجه الاحتمال أو المتجه العشوائي هو متجه يحتوي على مدخلات غير سالبة مجموعها يساوي واحدًا.

يكمن وراء كل متجه احتمالي تجربةٌ يمكن أن تُنتج نتيجةً ما. ولربط هذه التجربة بالرياضيات، نُعرّف متغيرًا عشوائيًا منفصلًا ، وهو دالة تُسند قيمةً عدديةً لكل نتيجةٍ مُحتملة. على سبيل المثال، إذا كانت التجربة تتكون من رمي نرد واحد، فإن القيم المُحتملة لهذا المتغير العشوائي هي الأعداد الصحيحة 1، 2، ...، 6. ويتكون متجه الاحتمال المرتبط به من ستة عناصر، يُمثل كلٌ منها احتمال الحصول على النتيجة المُقابلة. وبشكلٍ أعم، يُمثل متجه الاحتمال ذو الطول n توزيع الاحتمالات عبر النتائج العددية n المُحتملة لمتغير عشوائي. ^{[ 1 ]}

يعطينا المتجه دالة الكتلة الاحتمالية لهذا المتغير العشوائي، وهي الطريقة القياسية لوصف التوزيع الاحتمالي المنفصل . ^{[ 2 ]}

فيما يلي بعض الأمثلة على متجهات الاحتمالية. يمكن أن تكون المتجهات إما أعمدة أو صفوف. ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.}$

• متوسط ​​مكونات أي متجه احتمالي هو${\displaystyle 1/n}$[ ^{4 ]​}

• يرتبط الطول الإقليدي لمتجه الاحتمال بتباين مكوناته من خلال ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \|p\|={\sqrt {\,n\sigma ^{2}+{\tfrac {1}{n}}\,}}}$.

• تصل هذه الصيغة الخاصة بالطول إلى قيمتها الدنيا وهي:${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}}$عندما تتساوى جميع المكونات، مع${\displaystyle p_{i}=1/n}$[ ^{3 ]​}
• أطول متجه احتمالي له القيمة 1 في مكون واحد و 0 في جميع المكونات الأخرى، ويبلغ طوله 1. ^{[ 3 ]}
• يمثل أقصر متجه أقصى قدر من عدم اليقين، بينما يمثل أطول متجه أقصى قدر من اليقين.
• التباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$متجه احتمالي${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$يرضي:

${\displaystyle \sigma ^{2}\in \left[\,0,\,{\tfrac {n-1}{n^{2}}}\,\right].}$

يتحقق الحد الأدنى عندما تتساوى جميع المكونات${\displaystyle p_{i}=1/n}$والحد الأعلى عندما يساوي أحد المكونات${\displaystyle 1}$والباقي هم${\displaystyle 0}$[ ^{6 ]​}

تُظهر حدود التباين أنه كلما زاد عدد النتائج المحتملة${\displaystyle n}$مع ازدياد قيمة ، يتناقص التباين بالضرورة نحو الصفر. ونتيجة لذلك، يزداد عدم اليقين المرتبط بأي نتيجة منفردة لأن مكونات متجه الاحتمالية تصبح أكثر تقاربًا. في الدراسات التجريبية، غالبًا ما يحفز هذا الأمر تصنيف النتائج لتقليل${\displaystyle n}$على الرغم من أن هذا يتجاهل بعض المعلومات الواردة في النتائج الأصلية، إلا أنه يسمح بالكشف عن البنية العامة للتوزيع. ويقل التباين مع زيادة${\displaystyle n}$ويعكس ذلك نفس الميل نحو التوحيد الذي يكمن وراء مفهوم الإنتروبيا في نظرية المعلومات والميكانيكا الإحصائية . ^{[ 7 ]}

المجسم البسيط هو أبسط شكل هندسي يشغل بالكامل منطقة ذات بُعد معين محددة برؤوسه. ويتم بناؤه على شكل الغلاف المحدب لـ n نقطة مستقلة خطيًا: لـ${\displaystyle n=2}$إنها قطعة مستقيمة، لأن${\displaystyle n=3}$مثلث، من أجل${\displaystyle n=4}$هرم رباعي الأوجه ، وهكذا.

يُعدّ مُركّب الاحتمال ( أو المُركّب القياسي ) المثال النموذجي للمُركّب. ويتم الحصول عليه بأخذ n من متجهات الأساس القياسية${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0),\quad e_{2}=(0,1,0,\ldots ,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0,\ldots ,0),\ \ldots }$ كرؤوس وتشكيل غلافها المحدب: ${\displaystyle \Delta _{n-1}=\{\,p\in \mathbb {R} ^{n}\mid p_{i}\geq 0,\ \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1\,\}.}$

هذا${\displaystyle (n-1)}$مجسم بسيط ذو أبعاد يقع على المستوى الفائق الأفيني${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$متغير عشوائي ذو${\displaystyle n}$تكمن النتائج المحتملة بشكل طبيعي في هذا${\displaystyle (n-1)}$-simplex بدلاً من${\displaystyle n}$-simplex، لأن الشرط الذي ينص على أن مجموع جميع الاحتمالات يساوي 1 يزيل درجة واحدة من درجات الحرية.

المكونات${\displaystyle p_{i}}$تُستخدم إحداثيات مركزية ، مما يُعطي هذا المُجسم تفسيرًا مباشرًا في نظرية الاحتمالات: كل رأس يُقابل نتيجة مُحددة، وكل نقطة داخلية تُمثل مزيجًا أو توزيعًا على النتائج المُحتملة . كل توزيع احتمالي مُنفصل مُمكن على النتائج المُحتملة يُقابل نقطة واحدة فقط في هذا المُجسم، وبالعكس، تُحدد كل نقطة في المُجسم توزيعًا فريدًا. التحرك نحو رأس على طول الإحداثيات المركزية يُقابل زيادة في اليقين بشأن النتيجة، بينما التحرك نحو المركز يُمثل زيادة في عدم اليقين الناتج عن توزيع أكثر انتظامًا.

يُعدّ مُركّب الاحتمالية بمثابة المُركّب الأساسي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بما أنه يمكن الحصول على أي شكل بسيط آخر منه عن طريق تحويل خطي ، مما يجعله المرجع القياسي للتحليلات الهندسية والاحتمالية. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يقع كل متجه احتمالي ذو بُعد n داخل مُجَسَّم بسيط ذي بُعد ( n - 1). لا يُشكِّل الغلاف المحدب لهذا المُجَسَّم البسيط سطحًا أملسًا مُتغيرًا تدريجيًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بدلاً من ذلك، يحتوي على رؤوس حادة وحواف مستقيمة وأسطح مسطحة.

• احتمالية صفر:

إن إسناد احتمال صفري لنتيجة ما يتوافق مع الانتقال إلى وجه ذي أبعاد أقل من المجسم البسيط، لأن تلك النتيجة لم تعد ممكنة.

• إضافة رأس:

تؤدي إضافة نتيجة محتملة جديدة إلى المتغير العشوائي إلى زيادة قيمة n بمقدار واحد، مما يُدخل بُعدًا متعامدًا جديدًا. يظهر رأس جديد في هذا البُعد، ويتحد كل وجه من أوجه المُجسم البسيط السابق مع هذا الرأس لتشكيل وجه جديد ذي بُعد أعلى. على سبيل المثال، عندما يكتسب مثلث (مُجسم بسيط ثنائي الأبعاد) رأسًا جديدًا، فإن توصيله بكل ضلع من أضلاعه الثلاثة يُنتج ثلاثة أوجه مثلثية جديدة، مُشكلاً هرمًا رباعي الأوجه. في الخطوة التالية، تُنتج إضافة رأس آخر مُجسمًا بسيطًا رباعي الأبعاد، وتكون أوجهه أهرامات رباعية الأوجه.

• المستوى الفائق الأفيني:

يقع مُركب الاحتمالية على المستوى الفائق الأفيني${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متجهها العمودي هو${\displaystyle a=(1,1,\ldots ,1)}$مع المعيار${\displaystyle \|a\|={\sqrt {n}}}$وبالتالي، تقع جميع النقاط على المستوى الفائق داخل الربع الموجب على نفس المسافة العمودية.${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$من نقطة الأصل. وذلك لأن إسقاط أي نقطة على المستوى الفائق على متجهها العمودي${\displaystyle a}$ثابت - بحكم تعريف المستوى. تتغير المسافة الإقليدية من نقطة الأصل إلى كل نقطة على المستوى، لكن طول إسقاطها العمودي (المركبة على طول${\displaystyle a}$يظل ثابتًا. الاستقلال الأفيني يعني أن النقاط المحددة في الفضاء الفائق تقع بالنسبة لبعضها البعض، وليس بالنسبة لنقطة الأصل كما هو الحال في الاستقلال الخطي. وهذا يسمح للأجسام المستقلة أفينيًا بأن "تطفو" بالنسبة لنقطة الأصل، لأن معادلتها المحددة تتضمن حدًا ثابتًا يحدد إزاحتها على طول الاتجاه العمودي. تغيير هذا الثابت ينقل الجسم بأكمله موازيًا لنفسه، محافظًا على علاقاته الداخلية مع تغيير موضعه في الفضاء.

• المركز الهندسي:

المركز، الذي يتوافق مع التوزيع المنتظم، هو ${\displaystyle u=(1/n,1/n,\ldots ,1/n)}$يقع على مسافة إقليدية وعمودية${\displaystyle \|u\|=1/{\sqrt {n}}}$من نقطة الأصل، لأن الخط الواصل من نقطة الأصل إلى مركز الشكل الهندسي يتطابق مع متجه العمودي على السطح الهندسي. كل رأس على مسافة إقليدية متساوية${\displaystyle {\sqrt {(n-1)/n}}}$من مركز الثقل.

• يحتوي على مكعب فائق:

يقع مُجسم الاحتمال ذو البُعد ( ن - ١) بالكامل داخل المكعب الفائق ذي البُعد ن . يحتوي هذا المكعب الفائق على محتوى (أو قياس) إجمالي يساوي وحدة واحدة. ومع ذلك، يتغير معنى هذا القياس بتغير البُعد: فالمربع ذو البُعد ٢ مساحته تساوي وحدة واحدة (١ × ١ = ١)، والمكعب ذو البُعد ٣ حجمه يساوي وحدة واحدة (١ × ١ × ١ = ١)، والمكعب الفائق ذو البُعد ٤ قياسه يساوي وحدة واحدة (١⁴ = ١)، وهكذا. على الرغم من أن المحتوى الإجمالي يظل ثابتًا، إلا أن طول القطر الإقليدي للمكعب يزداد مع البُعد.${\displaystyle {\sqrt {n}}}$وبالتالي، يصبح المكعب الفائق "أقل كثافة" هندسيًا ^{[ 10 ]} مع ازدياد قيمة n ، حيث تتباعد زواياه أكثر على الرغم من ثبات محتواه. ويشغل مُجسم الاحتمالية شريحة رقيقة ذات ( n -1) بُعد عبر هذا المكعب الفائق، مُشكلاً مقطعًا عرضيًا على مسافة عمودية من${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$من الأصل. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• المجلد (المحتوى):

ال${\displaystyle (n-1)}$يمكن حساب المحتوى (الحجم) ذي الأبعاد n للمجسم الاحتمالي القياسي باستخدام صيغة غرام-المحدد لحجم المجسم. اختيار الرأس${\displaystyle e_{n}}$تُحدد الرؤوس المتبقية، كنقطة أساسية، متجهات الحواف.

${\displaystyle v_{i}=e_{i}-e_{n},\qquad i=1,\dots ,n-1,}$

والتي تقع في${\displaystyle (n-1)}$مستوى فائق أفيني ذو أبعاد حيث الإحداثيات${\displaystyle p_{i}}$مجموعها يساوي واحدًا. متوازي المستطيلات الذي تشكله هذه المتجهات له محتوى

${\displaystyle \operatorname {Vol} _{\mathrm {para} }={\sqrt {\det(G)}},}$

أين${\displaystyle G}$هي مصفوفة غرام${\displaystyle G_{ij}=v_{i}\cdot v_{j}}$تحتوي مصفوفة غرام هذه على محدد${\displaystyle n}$[ ^{11 ] [ 12 ]} بما أن هذا المجسم البسيط ^يشغل بالضبط${\displaystyle 1/(n-1)!}$من حجم متوازي المستطيلات، يكون محتواه

${\displaystyle V_{n-1}={\frac {\sqrt {n}}{(n-1)!}}.}$

تتناقص هذه الكمية بشكل عاملي مع${\displaystyle n}$لذلك، على الرغم من أن المعقد البسيط يقع داخل الوحدة${\displaystyle n}$عندما يكون حجم المكعب (الذي يساوي 1)، فإن نسبة حجم المكعب الفائق الموجودة في المجسم البسيط تصبح صغيرة بشكل كبير جدًا.${\displaystyle n}$يزداد.

• المصفوفة العشوائية
• توزيع ديريشليه