بروفونكتور

تعريف مكافئ للدالة الأولية${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$هي فئة تكون عناصرها عبارة عن اتحاد منفصل لعناصر${\displaystyle C}$وأهداف${\displaystyle D}$، والتي تكون مورفيزماتها مورفيزمات لـ${\displaystyle C}$وتشكلات${\displaystyle D}$بالإضافة إلى صفر أو أكثر من التشكلات الإضافية من كائنات${\displaystyle D}$إلى أشياء${\displaystyle C}$المجموعات المذكورة في التعريف الرسمي أعلاه هي مجموعات التماثل بين كائنات${\displaystyle D}$وأشياء${\displaystyle C}$(تُعرف هذه أيضًا باسم المجموعات غير المتجانسة، لأن التشكلات المقابلة لها يمكن تسميتها تشكلات غير متجانسة ). يمكن استعادة التعريف السابق بتقييد دالة التجانس.${\displaystyle \phi ^{\text{op}}\times \phi \to \mathbf {Set} }$ل${\displaystyle D^{\text{op}}\times C}$.

وهذا يوضح أيضاً أنه يمكن اعتبار الدالة المساعدة علاقة بين موضوعات${\displaystyle C}$وأهداف${\displaystyle D}$حيث يرتبط كل عنصر من عناصر العلاقة بمجموعة من التشكلات. الدالة هي حالة خاصة من الدالة الجزئية، تمامًا كما أن الدالة هي حالة خاصة من العلاقة.

المركب${\displaystyle \psi \phi }$من اثنين من المؤثرات

${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$و${\displaystyle \psi :D\nrightarrow E}$

يُعطى بواسطة

${\displaystyle \psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}}$

أين${\displaystyle \mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})}$هو امتداد كان الأيسر للدالة${\displaystyle {\hat {\psi }}}$على طول دالة يونيدا${\displaystyle Y_{D}:D\to {\hat {D}}}$ل${\displaystyle D}$(الذي ينطبق على كل شيء)${\displaystyle d}$ل${\displaystyle D}$يربط الدالة${\displaystyle D(-,d):D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set} }$).

يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\left(\coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim }$

أين${\displaystyle \sim }$هي أقل علاقة تكافؤ بحيث${\displaystyle (y',x')\sim (y,x)}$كلما وُجد تشاكل${\displaystyle v}$في${\displaystyle D}$بحيث

${\displaystyle y'=vy\in \psi (e,d')}$ و ${\displaystyle x'v=x\in \phi (d,c)}$.

وبالمثل، يمكن كتابة تركيب الدوال باستخدام نهاية مشتركة

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)}$

تركيب الدوال الجزئية يكون ترابطيًا فقط حتى التشاكل (لأن الضرب ليس ترابطيًا تمامًا في المجموعة ). لذلك، فإن أفضل ما يمكن توقعه هو بناء فئة ثنائية Prof التي

• الخلايا الصفرية هي فئات صغيرة ،
• الخلايا المكونة من 1 خلية بين فئتين صغيرتين هي الدوال المساعدة بين هاتين الفئتين.
• الخلايا الثنائية بين اثنين من المؤثرات الأولية هي التحولات الطبيعية بين تلك المؤثرات الأولية.

دالة${\displaystyle F:C\to D}$يمكن اعتباره وظيفة وظيفية${\displaystyle \phi _{F}:C\nrightarrow D}$عن طريق التركيب اللاحق باستخدام دالة يونيدا:

${\displaystyle \phi _{F}=Y_{D}\circ F}$.

يمكن إثبات أن مثل هذا المؤثر${\displaystyle \phi _{F}}$له مرافق أيمن . علاوة على ذلك، هذه سمة: دالة أولية${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$يكون له مرافق أيمن إذا وفقط إذا${\displaystyle {\hat {\phi}}:C\to {\hat {D}}}$العوامل من خلال إتمام كوشي لـ${\displaystyle D}$أي أن هناك دالة${\displaystyle F:C\to D}$بحيث${\displaystyle {\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F}$.