الإطار الإسقاطي

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة الإسقاطية ، الإطار الإسقاطي أو الأساس الإسقاطي هو مجموعة من النقاط في فضاء إسقاطي تُستخدم لتعريف الإحداثيات المتجانسة في هذا الفضاء. بتعبير أدق، في فضاء إسقاطي ذي بُعد n ، يكون الإطار الإسقاطي مجموعة من n + 2 نقطة بحيث لا يحتوي أي مستوى فائق على n + 1 منها. يُطلق على الإطار الإسقاطي أحيانًا اسم " مُجَسَّم بسيط" ^{[ 1 ]،} مع العلم أن المُجَسَّم البسيط في فضاء ذي بُعد n يحتوي على n + 1 رأسًا على الأكثر .

في هذه المقالة، يتم النظر فقط في الفضاءات الإسقاطية على حقل K ، على الرغم من أنه يمكن تعميم معظم النتائج على الفضاءات الإسقاطية على حلقة القسمة .

ليكن P ( V ) فضاءً إسقاطيًا ذا بُعد n ، حيث V هو فضاء متجهي K ذو بُعد n + 1 .${\displaystyle p:V\setminus \{0\}\to \mathbf {P} (V)}$ليكن الإسقاط الكنسي الذي يرسم متجهًا غير صفري v إلى النقطة المقابلة لـ P ( V ) ، وهو خط المتجه الذي يحتوي على v .

يمكن كتابة كل إطار من P ( V ) على النحو التالي${\displaystyle \left(p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n+1})\right),}$بالنسبة لبعض المتجهات${\displaystyle e_{0},\dots ,e_{n+1}}$من V. ويشير التعريف إلى وجود عناصر غير صفرية من K بحيث${\displaystyle \lambda _{0}e_{0}+\cdots +\lambda _{n+1}e_{n+1}=0}$استبدال${\displaystyle e_{i}}$بواسطة${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}}$ل${\displaystyle i\leq n}$و${\displaystyle e_{n+1}}$بواسطة${\displaystyle -\lambda _{n+1}e_{n+1}}$، ومن ثم نحصل على التوصيف التالي للإطار:

تشكل n + 2 نقطة من P ( V ) إطارًا إذا وفقط إذا كانت صورة بواسطة p لأساس V ومجموع عناصره.

علاوة على ذلك، فإن قاعدتين تحددان نفس الإطار بهذه الطريقة، إذا وفقط إذا كانت عناصر القاعدة الثانية هي حاصل ضرب عناصر القاعدة الأولى بعنصر ثابت غير صفري من K.

بما أن التحويلات المتجانسة لـ P ( V ) تُستحث بواسطة التحويلات الخطية الداخلية لـ V ، فإنه يترتب على ذلك أنه، بالنظر إلى إطارين، يوجد تحويل متجانس واحد فقط يُسقط الأول على الثاني. وعلى وجه الخصوص، فإن التحويل المتجانس الوحيد الذي يُثبت نقاط الإطار هو دالة التطابق . وتُعد هذه النتيجة أكثر صعوبة في الهندسة التركيبية (حيث تُعرَّف الفضاءات الإسقاطية من خلال البديهيات). ويُطلق عليها أحيانًا اسم النظرية الأساسية الأولى للهندسة الإسقاطية . ^{[ 2 ]}

يمكن كتابة كل إطار على النحو التالي:${\displaystyle (p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n}),p(e_{0}+\cdots +e_{n})),}$أين${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_{n})}$هي أساس V. الإحداثيات الإسقاطية أو الإحداثيات المتجانسة لنقطة p ( v ) على هذا الإطار هي إحداثيات المتجه v على الأساس${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_{n}).}$إذا قام المرء بتغيير المتجهات التي تمثل النقطة p ( v ) وعناصر الإطار، فسيتم ضرب الإحداثيات بمعامل قياسي ثابت غير صفري.

عادةً، يُنظر إلى الفضاء الإسقاطي P _{_n} ( K ) = P ( K ^{_{n +1}} ) . يحتوي هذا الفضاء على إطار مرجعي يتكون من صورة الأساس المرجعي لـ K_{^{n +1}} (الذي يتكون من العناصر التي لها قيمة واحدة غير صفرية فقط، وهي 1) بواسطة p ، بالإضافة إلى (1، 1، ...، 1) . وبناءً على هذا الأساس، فإن الإحداثيات المتجانسة لـ p ( v ) هي ببساطة قيم (معاملات) v .

بفرض وجود فضاء إسقاطي آخر P ( V ) له نفس البعد n ، وإطار F خاص به، يوجد تحويل تجانسي واحد فقط h يُسقط F على الإطار القانوني لـ P ( Kn ^{+ 1} ) . الإحداثيات الإسقاطية لنقطة a على الإطار F هي الإحداثيات المتجانسة لـ h ( a ) على الإطار القانوني _لـ Pn ( K ) .

في حالة الخط الإسقاطي، يتكون الإطار من ثلاث نقاط متميزة. إذا تم تعريف النقطة P1(K) على أنها _K مضافًا إليها نقطة عند اللانهاية ∞ ، فإن إطارها القانوني هو (∞, 0, 1) _{. وبالنظر إلى أي إطار (a0 , a1 ,} a2 ) ، فإن الإحداثيات الإسقاطية لنقطة a ≠ a0 هي ( r , 1) _، حيث r هي النسبة التبادلية ( a , a2 ; a1 , a0 ) . إذا كانت _{a = a0} ، فإن _النسبة التبادلية هي اللانهاية، والإحداثيات الإسقاطية هي (1, _{0 )} .

• باير، راينهولد (2005). الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية . دار نشر كورير. رقم ISBN 978-0-486-44565-6.
• بيرغر، مارسيل (2009). الهندسة 1. برلين هايدلبرغ: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-11658-5.