الفضاء الإسقاطي

من منظور الرسم البياني ، تتقاطع الخطوط المتوازية (الأفقية) في المستوى عند نقطة التلاشي (على الأفق ).

في الرياضيات ، نشأ مفهوم الفضاء الإسقاطي من التأثير البصري للمنظور ، حيث تبدو الخطوط المتوازية وكأنها تلتقي عند اللانهاية . وبالتالي، يمكن اعتبار الفضاء الإسقاطي امتدادًا للفضاء الإقليدي ، أو بشكل أعم، فضاءً أفينيًا بنقاط عند اللانهاية ، بحيث توجد نقطة واحدة عند اللانهاية في كل اتجاه من اتجاهات الخطوط المتوازية .

يُعاب على هذا التعريف للفضاء الإسقاطي أنه ليس متناحٍ ، إذ يحتوي على نوعين مختلفين من النقاط، يجب دراستهما بشكل منفصل في البراهين. لذا، تُفضّل عمومًا تعريفات أخرى. يوجد نوعان من التعريفات. في الهندسة التركيبية ، تُعتبر النقطة والخط كيانين أساسيين مرتبطين بعلاقة التلاقي "النقطة تقع على خط" أو "الخط يمر بنقطة"، وهي علاقة تخضع لبديهيات الهندسة الإسقاطية . بالنسبة لبعض هذه البديهيات، ثبت أن الفضاءات الإسقاطية المُعرّفة تُكافئ تلك الناتجة عن التعريف التالي، وهو الأكثر شيوعًا في الكتب الدراسية الحديثة.

باستخدام الجبر الخطي ، يُعرَّف الفضاء الإسقاطي ذو البُعد $n$ بأنه مجموعة الخطوط المتجهة (أي الفضاءات الجزئية المتجهة ذات البُعد واحد) في فضاء متجهي $V$ ذي البُعد $n + 1.$ وبصورة مكافئة، هو مجموعة خارج قسمة V $\ {0}$ وفقًا لعلاقة التكافؤ "الوقوع على نفس الخط المتجه". وبما أن الخط المتجه يتقاطع مع كرة الوحدة في $V$ في نقطتين متقابلتين ، يمكن تعريف الفضاءات الإسقاطية بصورة مكافئة على أنها كرات تُحدَّد فيها النقاط المتقابلة. الفضاء الإسقاطي ذو البُعد 1 هو خط إسقاطي ، والفضاء الإسقاطي ذو البُعد 2 هو مستوى إسقاطي .

تُستخدم الفضاءات الإسقاطية على نطاق واسع في الهندسة ، مما يُتيح صياغة عبارات وبراهين أبسط. على سبيل المثال، في الهندسة الأفينية ، يتقاطع خطان مختلفان في مستوى واحد في نقطة واحدة على الأكثر، بينما في الهندسة الإسقاطية ، يتقاطعان في نقطة واحدة فقط. كذلك، يوجد نوع واحد فقط من القطوع المخروطية ، والتي يمكن تمييزها فقط من خلال نقاط تقاطعها مع الخط عند اللانهاية: نقطتا تقاطع للقطع الزائد ؛ نقطة واحدة للقطع المكافئ ، الذي يكون مماسًا للخط عند اللانهاية؛ ولا توجد نقطة تقاطع حقيقية للقطع الناقص .

في علم الطوبولوجيا ، وبشكل أكثر تحديداً في نظرية المتشعبات ، تلعب الفضاءات الإسقاطية دوراً أساسياً، كونها أمثلة نموذجية للمتشعبات غير القابلة للتوجيه .

تحفيز

كما ذُكر أعلاه، استُخدمت الفضاءات الإسقاطية لصياغة عبارات مثل " يتقاطع خطان مستويان في نقطة واحدة فقط، وتقع هذه النقطة في اللانهاية إذا كان الخطان متوازيين ". وتُستقى هذه العبارات من دراسة المنظور ، الذي يُمكن اعتباره إسقاطًا مركزيًا للفضاء ثلاثي الأبعاد على مستوى (انظر نموذج الكاميرا ذات الثقب ). وبشكل أدق، فإن بؤبؤ دخول الكاميرا أو عين المُشاهد هو مركز الإسقاط ، وتتكون الصورة على مستوى الإسقاط .

رياضيًا، مركز الإسقاط هو النقطة $O$ في الفضاء (نقطة تقاطع المحاور في الشكل)؛ ومستوى الإسقاط ( $P2 ،$ باللون الأزرق في الشكل) هو مستوى لا يمر بالنقطة $O$ ، وغالبًا ما يُختار ليكون مستوى المعادلة $z = 1$ عند استخدام الإحداثيات الديكارتية . عندئذٍ، يُسقط الإسقاط المركزي النقطة $P$ على نقطة تقاطع الخط $OP مع مستوى الإسقاط. يوجد هذا التقاطع إذا وفقط إذا$ $كانت$ النقطة $P$ لا تنتمي إلى المستوى ( $P1$ ، باللون الأخضر في الشكل) الذي يمر بالنقطة $O$ ويوازي $المستوى$ $P2$ .

يستنتج من ذلك أن الخطوط المارة بالنقطة $O$ تنقسم إلى مجموعتين فرعيتين منفصلتين: الخطوط غير الموجودة في $المستوى$ $P1$ ، والتي تتطابق تطابقًا تامًا مع نقاط المستوى $P2$ $،$ والخطوط الموجودة في $المستوى P1$ ، والتي تتطابق تطابقًا تامًا مع اتجاهات الخطوط المتوازية في $المستوى$ $P2$ $.$ يشير هذا إلى تعريف نقاط المستوى الإسقاطي (والتي تُسمى هنا بالنقاط الإسقاطية للتوضيح) بأنها الخطوط المارة بالنقطة $O.$ يتكون الخط الإسقاطي في هذا المستوى من جميع النقاط الإسقاطية (وهي خطوط) الموجودة في مستوى يمر بالنقطة $O.$ وبما أن تقاطع مستويين يمران بالنقطة $O$ $هو$ خط يمر بها، $فإن$ تقاطع خطين إسقاطيين مختلفين يتكون من نقطة إسقاطية واحدة. يُعرّف المستوى $P1$ خطًا إسقاطيًا يُسمى خط اللانهاية في المستوى $P2$ . وبتحديد كل نقطة في $المستوى$ $P2$ بالنقطة الإسقاطية المقابلة لها، يمكن القول إن المستوى الإسقاطي هو اتحاد منفصل للمستوى $P2$ مع خط اللانهاية (الإسقاطي $)$ $.$

بما أن الفضاء الأفيني ذو النقطة المميزة $O$ يمكن تعريفه بفضائه المتجهي المرتبط به (انظر: الفضاء الأفيني § الفضاءات المتجهة كفضاءات أفينية )، فإن البناء السابق يتم عمومًا بالبدء من فضاء متجهي ويُسمى الإسقاط . كما يمكن إجراء هذا البناء بالبدء من فضاء متجهي ذي أي بُعد موجب.

لذا، يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي ذي البعد $n$ بأنه مجموعة الخطوط المتجهة (الفضاءات الفرعية المتجهة ذات البعد واحد) في فضاء متجهي ذي البعد $n + 1.$ كما يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي بأنه عناصر أي مجموعة تتوافق بشكل طبيعي مع مجموعة الخطوط المتجهة هذه.

يمكن أن تكون هذه المجموعة هي مجموعة فئات التكافؤ في إطار علاقة التكافؤ بين المتجهات المعرفة بـ "متجه هو حاصل ضرب الآخر في عدد قياسي غير صفري". بعبارة أخرى، هذا يعني تعريف الفضاء الإسقاطي على أنه مجموعة خطوط المتجهات التي تم فيها حذف المتجه الصفري.

التعريف الثالث المكافئ هو تعريف الفضاء الإسقاطي ذي البعد $n$ على أنه مجموعة أزواج النقاط المتقابلة في كرة ذات بعد $n$ (في فضاء ذي بعد $n + 1$ ).

تعريف

بالنظر إلى فضاء متجهي $V$ على حقل $K$ ، فإن الفضاء الإسقاطي $P (V)$ هو مجموعة فئات التكافؤ لـ $V \ {0}$ تحت علاقة التكافؤ $~$ المعرفة بـ $x ~ y$ إذا وُجد عنصر غير صفري $λ$ من $K$ بحيث $x = λy$ . إذا كان $V$ فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا ، فإن فضاء القسمة $P (V)$ هو فضاء طوبولوجي ، مزود بطوبولوجيا القسمة لطوبولوجيا الفضاء الجزئي لـ $V \ {0}$ . هذا هو الحال عندما يكون $K$ هو حقل الأعداد الحقيقية R $أو$ حقل الأعداد المركبة C. $إذا$ كان $V$ محدود الأبعاد، فإن $بُعد$ P ( $V$ $)$ $هو$ بُعد $V$ ناقص واحد.

في الحالة الشائعة حيث $V = K n +1$ ، يُرمز للفضاء الإسقاطي $P (V) بالرمز$ $Pn (K)$ (وكذلك $K Pn$ أو $Pn (K) ، مع$ $العلم$ أن هذا الرمز قد يُخلط مع الأس). يُطلق على الفضاء $Pn ($ $K$ $)$ $غالبًا$ اسم الفضاء الإسقاطي ذي البُعد $n$ على $K$ ، أو الفضاء الإسقاطي $n$ $،$ لأن جميع الفضاءات الإسقاطية ذات البُعد $n$ متماثلة معه (لأن كل فضاء متجهي K ذي بُعد n $+$ $1$ $متماثل مع$ K $n +1)$ .

تُسمى عناصر الفضاء الإسقاطي $P (V) عادةً$ بالنقاط . إذا تم اختيار أساس للفضاء $V$ ، وبالأخص إذا كان $V = K n+ 1$ ، فإن الإحداثيات الإسقاطية لنقطة P هي إحداثيات أي عنصر من فئة التكافؤ المناظرة على أساس هذا الأساس. يُرمز لهذه الإحداثيات عادةً بالرمز $[x 0 : ... : x n]$ ، حيث تُستخدم النقطتان الرأسيتان والأقواس للتمييز بينها وبين الإحداثيات العادية، وللتأكيد على أنها فئة تكافؤ، مُعرَّفة حتى الضرب بثابت غير صفري. أي، إذا كانت $[x 0 : ... : x n]$ إحداثيات إسقاطية لنقطة ما، فإن $[λx 0 : ... : λx n]$ هي أيضًا إحداثيات إسقاطية لنفس النقطة، لأي قيمة غير صفرية $λ$ في $K.$ كذلك، يُشير التعريف أعلاه إلى أن $[x 0 : ... : x n]$ هي إحداثيات إسقاطية لنقطة ما إذا وفقط إذا كانت إحدى الإحداثيات على الأقل غير صفرية.

إذا كان $K$ حقل الأعداد الحقيقية أو المركبة، يُسمى الفضاء الإسقاطي فضاءً إسقاطيًا حقيقيًا أو فضاءً إسقاطيًا مركبًا ، على التوالي. وإذا كان $n$ يساوي واحدًا أو اثنين، يُسمى الفضاء الإسقاطي ذو البعد $n$ خطًا إسقاطيًا أو مستوى إسقاطيًا ، على التوالي. ويُسمى الخط الإسقاطي المركب أيضًا كرة ريمان .

$تُعمَّم$ جميع هذه التعريفات بشكل طبيعي على الحالة التي تكون فيها $K$ حلقة قسمة ؛ انظر، على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي الرباعي . يُستخدم الرمز $PG(n, K) أحيانًا للدلالة على$ $Pn (K)$ . ^{[ 1 ]} إذا كان $K$ حقلًا منتهيًا يحتوي على $q$ عنصرًا، فغالبًا ما يُرمز إلى $Pn (K) بالرمز$ $PG(n, q)$ (انظر PG(3,2) ⁾ . ^[^أ $]$

مفاهيم ذات صلة

الفضاء الفرعي

ليكن $P (V)$ فضاءً إسقاطيًا، حيث $V$ فضاء متجهي على حقل $K$ ، و $p:V\setminus \{0\}\to \mathbf {P} (V)$ ليكن الخريطة الأساسية التي تربط متجهًا غير صفري $v$ بفئة التكافؤ الخاصة به، وهي خط المتجهات الذي يحتوي على $v$ .

كل فضاء جزئي خطي $W$ من $V$ هو اتحاد خطوط. ويترتب على ذلك أن $p (W)$ هو فضاء إسقاطي، والذي يمكن تحديده مع $P (W)$ .

وبالتالي فإن الفضاء الإسقاطي هو فضاء إسقاطي يتم الحصول عليه عن طريق تقييد علاقة التكافؤ التي تحدد $P (V)$ إلى فضاء خطي .

إذا كانت $p (v)$ و $p (w)$ نقطتين مختلفتين على $P (V)$ ، فإن المتجهين $v$ و $w$ مستقلان خطيًا . ويترتب على ذلك ما يلي:

يوجد خط إسقاطي واحد فقط يمر بنقطتين مختلفتين من $P (V)$ ، و
تعتبر مجموعة جزئية من $P (V)$ فضاءً إسقاطيًا جزئيًا إذا وفقط إذا كانت تحتوي، عند إعطاء أي نقطتين مختلفتين، على الخط الإسقاطي الكامل الذي يمر عبر هاتين النقطتين.

في الهندسة التركيبية ، حيث تكون الخطوط الإسقاطية كائنات أولية، فإن الخاصية الأولى هي بديهية، والثانية هي تعريف الفضاء الإسقاطي الفرعي.

فترة

كل تقاطع بين فضاءات جزئية إسقاطية هو فضاء جزئي إسقاطي. وبناءً على ذلك، فإنه لكل مجموعة جزئية $S$ من فضاء إسقاطي، يوجد أصغر فضاء جزئي إسقاطي يحتوي على $S$ ، وهو تقاطع جميع الفضاءات الجزئية الإسقاطية التي تحتوي على $S.$ يُسمى هذا الفضاء الجزئي الإسقاطي الفضاء الإسقاطي الممتد لـ $S$ ، و $S$ هي مجموعة مولدة له.

تُسمى مجموعة النقاط $S$ مستقلة إسقاطيًا إذا لم يكن امتدادها امتدادًا لأي مجموعة جزئية فعلية من $S.$ إذا كانت $S$ مجموعة مولدة للفضاء الإسقاطي $P$ ، فإنه توجد مجموعة جزئية من $S$ تولد $P$ وتكون مستقلة إسقاطيًا (وهذا ناتج عن نظرية مماثلة للفضاءات المتجهة). إذا كان بُعد $P$ هو $n$ ، فإن هذه المجموعة المولدة المستقلة تحتوي على $n + 1$ عنصرًا.

على عكس حالتي الفضاءات المتجهة والفضاءات الأفينية ، لا تكفي مجموعة توليد مستقلة لتحديد الإحداثيات. نحتاج إلى نقطة إضافية، انظر القسم التالي.

إطار

الإطار الإسقاطي أو الأساس الإسقاطي هو مجموعة مرتبة من النقاط في فضاء إسقاطي تسمح بتحديد الإحداثيات. ^{[ 2 ]} وبشكل أدق، في فضاء إسقاطي ذي $n$ بُعد، يكون الإطار الإسقاطي عبارة عن مجموعة من $n + 2$ نقطة بحيث تكون أي $n + 1$ منها مستقلة؛ أي أنها لا تقع ضمن مستوى فائق .

إذا كان $V$ فضاءً متجهيًا ذا بُعد (n + 1)، وكان $p هو الإسقاط المتعارف عليه من V إلى P(V)، فإن الإطار (p(e₀), ..., p(eₙ₊₁$ $)) يكون$ $إطارًا$ $إسقاطيًا$ إذا $وفقط$ $إذا$ كان $(e₀, ...$ , $eₙ$ $) أساسًا لـ V$ $وكانت$ $جميع$ $معاملات$ $eₙ₊₁$ $على$ $هذا$ $الأساس$ غير $صفرية . بإعادة قياس المتجهات$ $n$ الأولى $،$ يمكن $إعادة$ $كتابة$ أي $إطار$ $على$ $الصورة$ ( $p$ $(e'₀), ... , p($ $e'ₙ₊₁$ $)$ $)$ $بحيث$ يكون $e'ₙ₊₁$ $= e'₀ + ... + e'ₙ ؛ هذا$ التمثيل فريد حتى ضرب جميع $e'ᵢ$ $بعامل$ مشترك غير $صفري$ $.$

الإحداثيات الإسقاطية أو الإحداثيات المتجانسة لنقطة $p (v)$ على إطار $(p (e0), ..., p (en + 1))$ حيث $e + 1 = e0 + ... + en$ هي إحداثيات $v$ على الأساس $(e0, ...,$ $en$ $)$ $. وهي معرفة فقط حتى تغيير$ المقياس بمعامل مشترك غير صفري $.$

يتكون الإطار الكنسي للفضاء الإسقاطي $P n (K)$ من صور $p$ لعناصر الأساس الكنسي لـ $K n +1$ (أي، المجموعات التي تحتوي على مدخل واحد غير صفري فقط، يساوي 1)، وصورة $p$ لمجموعها.

الهندسة الإسقاطية

في الرياضيات ، تُعنى الهندسة الإسقاطية بدراسة الخصائص الهندسية الثابتة تحت التحويلات الإسقاطية . وهذا يعني أن الهندسة الإسقاطية، مقارنةً بالهندسة الإقليدية الأساسية ، لها إطار مختلف ( الفضاء الإسقاطي ) ومجموعة مختارة من المفاهيم الهندسية الأساسية. وتتلخص البديهيات الأساسية في أن الفضاء الإسقاطي يحتوي على نقاط أكثر من الفضاء الإقليدي ، عند بُعد مُحدد، وأن التحويلات الهندسية المسموح بها تُحوّل النقاط الإضافية (المسماة " نقاط اللانهاية ") إلى نقاط إقليدية، والعكس صحيح.

تُراعى الخصائص ذات الدلالة في الهندسة الإسقاطية في هذا المفهوم الجديد للتحويل، الذي يُعدّ أكثر جذرية في تأثيراته مما يُمكن التعبير عنه بواسطة مصفوفة التحويل والإزاحات ( التحويلات الأفينية ). يتمثل التحدي الأول أمام علماء الهندسة في تحديد نوع الهندسة المناسب لحالة جديدة. فعلى عكس الهندسة الإقليدية ، لا ينطبق مفهوم الزاوية في الهندسة الإسقاطية، إذ لا يوجد قياس للزوايا ثابت بالنسبة للتحويلات الإسقاطية، كما هو الحال في الرسم المنظوري من منظور متغير. في الواقع، كانت نظرية المنظور أحد مصادر الهندسة الإسقاطية. وثمة اختلاف آخر عن الهندسة الابتدائية يتمثل في كيفية التقاء الخطوط المتوازية في نقطة عند اللانهاية ، بمجرد ترجمة المفهوم إلى مصطلحات الهندسة الإسقاطية. ويستند هذا المفهوم أيضًا إلى أساس بديهي، مثل التقاء خطوط السكك الحديدية عند الأفق في الرسم المنظوري. للاطلاع على أساسيات الهندسة الإسقاطية ثنائية الأبعاد، يُرجى مراجعة قسم "المستوى الإسقاطي" .

على الرغم من أن الأفكار كانت متاحة سابقًا، إلا أن الهندسة الإسقاطية كانت في الأساس نتاجًا لتطور القرن التاسع عشر. وشمل ذلك نظرية الفضاء الإسقاطي المركب، حيث كانت الإحداثيات المستخدمة ( الإحداثيات المتجانسة ) أعدادًا مركبة. وقد استُلهمت العديد من فروع الرياضيات الأكثر تجريدًا (بما في ذلك نظرية الثوابت ، والمدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية ، وبرنامج إرلانجن لفيلكس كلاين الذي أدى إلى دراسة المجموعات الكلاسيكية ) من الهندسة الإسقاطية. كما كان هذا المجال محط اهتمام العديد من الباحثين لذاته، باعتباره هندسة تركيبية . ومن المواضيع الأخرى التي تطورت من الدراسات البديهية للهندسة الإسقاطية الهندسة المنتهية .

ينقسم موضوع الهندسة الإسقاطية الآن إلى العديد من المواضيع الفرعية البحثية، ومن الأمثلة على ذلك الهندسة الجبرية الإسقاطية (دراسة الأصناف الإسقاطية ) والهندسة التفاضلية الإسقاطية (دراسة الثوابت التفاضلية للتحويلات الإسقاطية).

التحويل الإسقاطي

في الهندسة الإسقاطية ، يُعرَّف التماثل الهندسي بأنه تماثل بين الفضاءات الإسقاطية، ناتج عن تماثل بين الفضاءات المتجهة التي تُشتق منها هذه الفضاءات. ^{[ 3 ]} وهو تقابل يُسقط الخطوط على بعضها، وبالتالي فهو تماثل خطي . عمومًا، بعض التماثلات الخطية ليست تماثلات هندسية، لكن النظرية الأساسية للهندسة الإسقاطية تُثبت أن هذا لا ينطبق على الفضاءات الإسقاطية الحقيقية ذات البُعد اثنين على الأقل. ومن المرادفات: الإسقاطية، والتحويل الإسقاطي، والتماثل الخطي الإسقاطي.

تاريخيًا، استُخدمت التحويلات المتماثلة (والفضاءات الإسقاطية) لدراسة المنظور والإسقاطات في الهندسة الإقليدية ، ويعود مصطلح التحويل المتماثل ، الذي يعني لغويًا تقريبًا "الرسم المتشابه"، إلى ذلك الوقت. في نهاية القرن التاسع عشر، طُرحت تعريفات رسمية للفضاءات الإسقاطية، والتي وسّعت الفضاءات الإقليدية والخطية بإضافة نقاط جديدة تُسمى نقاط اللانهاية . نشأ مصطلح "التحويل الإسقاطي" من هذه البنى المجردة. تنقسم هذه البنى إلى فئتين ثبت تكافؤهما. يمكن بناء الفضاء الإسقاطي كمجموعة خطوط فضاء متجهي فوق حقل مُعطى (يستند التعريف أعلاه إلى هذه الصيغة)؛ يُسهّل هذا البناء تعريف الإحداثيات الإسقاطية ويسمح باستخدام أدوات الجبر الخطي لدراسة التحويلات المتماثلة. أما النهج البديل فيتمثل في تعريف الفضاء الإسقاطي من خلال مجموعة من البديهيات، التي لا تتضمن أي حقل بشكل صريح ( هندسة الوقوع ، انظر أيضًا الهندسة التركيبية ). في هذا السياق، يكون تعريف التطابقات أسهل من تعريف التماثلات، ويتم تعريف التماثلات على أنها تطابقات محددة، وبالتالي تسمى "التطابقات الإسقاطية".

لتبسيط الأمور، ما لم يُذكر خلاف ذلك، يُفترض أن الفضاءات الإسقاطية المذكورة في هذه المقالة مُعرَّفة على حقل (تبادلي) . وبالمثل، يُفترض صحة نظرية بابوس السداسية ونظرية ديزارج . ويبقى جزء كبير من النتائج صحيحًا، أو يمكن تعميمه على الهندسات الإسقاطية التي لا تنطبق عليها هذه النظريات.

الطوبولوجيا

الفضاء الإسقاطي هو فضاء طوبولوجي ، كما هو مزود بطوبولوجيا القسمة لطوبولوجيا فضاء متجه حقيقي محدود الأبعاد.

لتكن $S$ هي كرة الوحدة في فضاء متجه معياري $V$ ، ولنعتبر الدالة $\pi :S\to \mathbf {P} (V)$ تُسقط هذه الدالة نقطةً من الفضاء $S$ على خط متجه يمر بها. هذه الدالة متصلة وشاملة. الصورة العكسية لكل نقطة من $P (V)$ تتكون من نقطتين متقابلتين . وبما أن الكرات فضاءات متراصة ، فإنه يترتب على ذلك ما يلي:

الفضاء الإسقاطي (ذي الأبعاد المحدودة) يكون مضغوطاً .

لكل نقطة $P$ في الفضاء $S$ ، فإن تقييد $π$ على جوار $P$ هو تماثل شكلي على صورتها، بشرط أن يكون هذا الجوار صغيرًا بما يكفي لعدم احتوائه على أي زوج من النقاط المتقابلة. هذا يُبين أن الفضاء الإسقاطي هو متعدد الشعب. ويمكن تقديم أطلس بسيط على النحو التالي.

بمجرد اختيار أساس لـ $V$ ، يمكن تحديد أي متجه بإحداثياته على هذا الأساس، ويمكن تحديد أي نقطة من $P (V)$ بإحداثياتها المتجانسة . بالنسبة لـ $i = 0، ...، n$ ، فإن المجموعة $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}$ هي مجموعة جزئية مفتوحة من $P (V)$ ، و $\mathbf {P} (V)=\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$ بما أن كل نقطة من $P (V)$ لها إحداثية واحدة على الأقل غير صفرية.

يرتبط بكل $U i$ مخطط ، وهو عبارة عن التشاكلات الموضعية ${\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n}&\to U_{i}\\(y_{0},\dots ,{\widehat {y_{i}}},\dots ,y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end{aligned}}$ بحيث $\varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots :x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\dots ,{\widehat {\frac {x_{i}}{x_{i}}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right),$ حيث تعني كلمة hats أن المصطلح المقابل مفقود.

تشكل هذه المخططات أطلسًا ، وبما أن خرائط الانتقال هي دوال تحليلية ، فإن ذلك ينتج عنه أن الفضاءات الإسقاطية هي مشعبات تحليلية .

على سبيل المثال، في حالة $n = 1$ ، أي في حالة الخط الإسقاطي، يوجد فقط عنصران $U i$ ، يمكن تعريف كل منهما بنسخة من الخط الحقيقي . في كلا الخطين، يكون تقاطع المخططين هو مجموعة الأعداد الحقيقية غير الصفرية، وخريطة الانتقال هي $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ في كلا الاتجاهين. تمثل الصورة الخط الإسقاطي كدائرة حيث يتم تحديد النقاط المتقابلة، وتُظهر التشاكلين المتماثلين لخط حقيقي مع الخط الإسقاطي؛ فعند تحديد النقاط المتقابلة، يتم تمثيل صورة كل خط كنصف دائرة مفتوحة، والتي يمكن تحديدها مع الخط الإسقاطي بعد إزالة نقطة واحدة.

بنية معقدة CW

تتمتع الفضاءات الإسقاطية الحقيقية ببنية معقدة بسيطة من نوع CW ، حيث يمكن الحصول على $P n (R) من$ $P n -1 (R)$ عن طريق إرفاق خلية $n$ مع إسقاط القسمة $S n -1 \to P n -1 (R)$ كخريطة إرفاق.

الهندسة الجبرية

في الأصل، كان علم الهندسة الجبرية يدرس الأصفار المشتركة لمجموعات كثيرات الحدود متعددة المتغيرات . تُسمى هذه الأصفار المشتركة بالأصناف الجبرية ، وهي تنتمي إلى فضاء أفيني . وسرعان ما اتضح أنه في حالة المعاملات الحقيقية، يجب مراعاة جميع الأصفار المركبة للحصول على نتائج دقيقة. على سبيل المثال، تنص النظرية الأساسية للجبر على أن كثيرة الحدود أحادية المتغير الخالية من المربعات من الدرجة $n$ لها $n$ جذرًا مركبًا بالضبط. في حالة كثيرات الحدود متعددة المتغيرات، يلزم أيضًا مراعاة الأصفار المركبة، ولكنها غير كافية: يجب أيضًا مراعاة الأصفار عند اللانهاية . على سبيل المثال، تنص نظرية بيزو على أن تقاطع منحنيين جبريين مستويين من الدرجتين $d$ و $e على التوالي يتكون من$ $de$ نقطة بالضبط إذا تم اعتبار النقاط المركبة في المستوى الإسقاطي، وإذا تم حساب النقاط بتعددها. ^{[ ب ]} مثال آخر هو صيغة الجنس والدرجة التي تسمح بحساب جنس منحنى جبري مستو من نقاطه الشاذة في المستوى الإسقاطي المركب .

إذن، التنوع الإسقاطي هو مجموعة النقاط في الفضاء الإسقاطي، والتي تكون إحداثياتها المتجانسة أصفارًا مشتركة لمجموعة من كثيرات الحدود المتجانسة . ^{[ ج ]}

يمكن إكمال أي تنوع أفيني ، بطريقة فريدة، إلى تنوع إسقاطي عن طريق إضافة نقاطه عند اللانهاية ، وهو ما يتكون من تجانس كثيرات الحدود المحددة، وإزالة المكونات الموجودة في المستوى الفائق عند اللانهاية، عن طريق التشبع بالنسبة لمتغير التجانس.

من الخصائص المهمة للفضاءات الإسقاطية والأصناف الإسقاطية أن صورة الصنف الإسقاطي تحت تشاكل الأصناف الجبرية تكون مغلقة في طوبولوجيا زاريسكي (أي أنها مجموعة جبرية ). وهذا تعميم لخاصية التراص في الفضاء الإسقاطي الحقيقي والمركب على كل حقل أساسي.

الفضاء الإسقاطي هو نفسه نوع إسقاطي، كونه مجموعة أصفار متعددة الحدود الصفرية.

نظرية المخططات

تُتيح نظرية المخططات، التي قدمها ألكسندر غروتينديك خلال النصف الثاني من القرن العشرين، تعريف تعميم للأصناف الجبرية، يُسمى المخططات ، وذلك بربط أجزاء أصغر تُسمى المخططات الأفينية ، على غرار بناء المتشعبات بربط مجموعات مفتوحة من $Rⁿ .$ ويُعرف بناء Proj بأنه بناء مخطط الفضاء الإسقاطي، وبشكل أعم، أي صنف إسقاطي، بربط المخططات الأفينية. وفي حالة الفضاءات الإسقاطية، يمكن اعتبار هذه المخططات الأفينية هي المخططات الأفينية المرتبطة بالخرائط (الفضاءات الأفينية) المذكورة أعلاه للفضاء الإسقاطي كمتشعب.

الهندسة التركيبية

في الهندسة التركيبية ، يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي $S$ بشكل بديهي على أنه مجموعة $P$ (مجموعة النقاط)، بالإضافة إلى مجموعة $L$ من المجموعات الفرعية لـ $P$ (مجموعة الخطوط)، والتي تحقق هذه البديهيات: ^{[ 4 ]}

كل نقطتين مختلفتين $p$ و $q$ تقعان على خط واحد بالضبط.
بديهية فيبلين: [ ^{د ] إذا} كانت $a$ و $b$ و $c$ و $d$ نقاطًا متميزة وتلتقي الخطوط المارة $بـ ab$ و $cd$ ، فإن الخطوط المارة بـ $ac$ و $bd$ تلتقي أيضًا .
أي خط يحتوي على 3 نقاط على الأقل.

تُزيل البديهية الأخيرة الحالات القابلة للاختزال التي يمكن كتابتها كاتحاد منفصل للفضاءات الإسقاطية مع خطوط ثنائية النقاط تصل بين أي نقطتين في فضاءات إسقاطية مختلفة. وبشكل أكثر تجريدًا، يمكن تعريفها على أنها بنية وقوع $(P ، L ، I)$ تتكون من مجموعة $P$ من النقاط، ومجموعة $L$ من الخطوط، وعلاقة وقوع $I$ التي تحدد النقاط الواقعة على كل خط.

تُعدّ البنى المُعرَّفة بهذه البديهيات أكثر عمومية من تلك المُستمدة من بناء الفضاء المتجهي المذكور أعلاه. إذا كان البُعد (الإسقاطي) ثلاثة على الأقل، فلا فرق، وفقًا لنظرية فيبلين-يونغ . مع ذلك، في البُعد الثاني، توجد أمثلة تُحقق هذه البديهيات ولا يُمكن بناؤها من الفضاءات المتجهة (أو حتى من الوحدات النمطية على حلقات القسمة). لا تُحقق هذه الأمثلة نظرية ديزارغ ، وتُعرف باسم المستويات غير الديزارغية . في البُعد الأول، تُحقق أي مجموعة تحتوي على ثلاثة عناصر على الأقل البديهيات، لذا من المعتاد افتراض بنية إضافية للخطوط الإسقاطية المُعرَّفة بديهيًا. ^{[ 5 ]}

يمكن تجنب الحالات الإشكالية في الأبعاد المنخفضة بإضافة أو تعديل البديهيات التي تُعرّف الفضاء الإسقاطي. يُقدّم كوكسيتر (1969 ، ص 231) امتدادًا من هذا القبيل يُنسب إلى باخمان. ^[⁶^] ولضمان أن يكون البُعد اثنين على الأقل، استبدل بديهية النقاط الثلاث لكل خط المذكورة أعلاه بما يلي:

توجد أربع نقاط، لا توجد ثلاث منها على خط مستقيم واحد.

لتجنب المستويات غير الديزارغيسية، قم بتضمين نظرية بابوس كمسلمة؛ ^{[ هـ ]}

إذا كانت رؤوس الشكل السداسي الستة تقع بالتناوب على خطين، فإن نقاط التقاطع الثلاثة لأزواج الأضلاع المتقابلة تكون على خط مستقيم واحد.

ولضمان تعريف الفضاء المتجهي على حقل لا يمتلك خاصية زوجية، يتم تضمين بديهية فانو ؛ ^{[ f ]}

لا تقع النقاط القطرية الثلاث للشكل الرباعي الكامل على خط مستقيم واحد أبدًا.

الفضاء الجزئي من الفضاء الإسقاطي هو مجموعة جزئية $X$ ، بحيث يكون أي خط يحتوي على نقطتين من $X$ مجموعة جزئية من $X$ (أي أنه مُحتوى بالكامل في $X$ ). الفضاء الكامل والفضاء الفارغ هما دائمًا فضاءان جزئيان.

يُقال إن البعد الهندسي للفضاء هو $n$ إذا كان هذا هو أكبر عدد توجد عنده سلسلة تصاعدية صارمة من الفضاءات الفرعية من هذا الشكل: $\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.$

يُقال إن الفضاء الجزئي $Xᵢ في مثل هذه السلسلة له بُعد (هندسي)$ $i$ . تُسمى الفضاءات الجزئية ذات البُعد 0 نقاطًا ، وتلك ذات البُعد 1 خطوطًا ، وهكذا. إذا كان للفضاء الكامل بُعد $n،$ $فإن$ أي فضاء جزئي ذي بُعد n - 1 يُسمى مستوىً فائقًا .

تسمح الفضاءات الإسقاطية بصياغة مكافئة من حيث نظرية الشبكات . توجد علاقة تقابلية بين الفضاءات الإسقاطية والشبكات الهندسية المعيارية، أي الشبكات غير القابلة للاختزال بشكل مباشر ، والمولدة بشكل مضغوط ، والمكملة ، والنمطية . ^{[ 7 ]}

تصنيف

البعد 0 (بدون خطوط): المساحة عبارة عن نقطة واحدة.
البعد 1 (خط واحد بالضبط): تقع جميع النقاط على الخط الفريد.
البُعد الثاني: يوجد على الأقل خطان، ويلتقي أي خطين. الفضاء الإسقاطي لـ $n = 2$ يُكافئ مستوى إسقاطي . يصعب تصنيف هذه المستويات، إذ لا تتماثل جميعها مع مستوى إسقاطي $PG(d, K)$ . تُحقق المستويات الديزارجية (المتماثلة مع مستوى إسقاطي $PG(2, K))$ نظرية ديزارج ، وهي مستويات إسقاطية فوق حلقات القسمة، ولكن توجد مستويات غير ديزارجية كثيرة .
البعد 3 على الأقل: يوجد خطان غير متقاطعين. أثبت فيبلين ويونغ (1965) نظرية فيبلين-يونغ ، والتي تنص على أن كل فضاء إسقاطي ذي بُعد n $\geq 3$ متماثل مع $PG(n, K)$ ، وهو الفضاء الإسقاطي ذو البعد $n$ فوق حلقة قسمة $K.$

الفضاءات والمستويات الإسقاطية المحدودة

الفضاء الإسقاطي المنتهي هو فضاء إسقاطي حيث $P$ مجموعة منتهية من النقاط. في أي فضاء إسقاطي منتهٍ، يحتوي كل خط على نفس عدد النقاط، ويُعرَّف ترتيب الفضاء بأنه أقل بواحد من هذا العدد المشترك. بالنسبة للفضاءات الإسقاطية المنتهية ذات البعد ثلاثة على الأقل، تنص نظرية ويدربورن على أن حلقة القسمة التي يُعرَّف عليها الفضاء الإسقاطي يجب أن تكون حقلاً منتهياً ، $GF(q)$ ، ترتيبه (أي عدد عناصره) هو $q$ (قوة عدد أولي). يحتوي الفضاء الإسقاطي المنتهي المُعرَّف على مثل هذا الحقل المنتهي على $q + 1$ نقطة على كل خط، لذا يتطابق مفهوما الترتيب. يُكتب $PG(n, GF(q)) عادةً على النحو التالي:$ $PG(n, q)$ .

جميع الحقول المنتهية من نفس الرتبة متماثلة، لذا، حتى التماثل، يوجد فضاء إسقاطي منتهٍ واحد فقط لكل بُعد أكبر من أو يساوي ثلاثة، على حقل منتهٍ مُعطى. مع ذلك، في البُعد الثاني توجد مستويات غير ديزارغيسية. حتى التماثل توجد

1، 1، 1، 1، 0، 1، 1، 4، 0، ... (التسلسل A001231 في OEIS )

المستويات الإسقاطية المحدودة من الرتب 2، 3، 4، ...، 10 على التوالي. أما الأعداد التي تتجاوز ذلك، فيصعب حسابها للغاية، ولا يمكن تحديدها إلا في حالة وجود بعض القيم الصفرية بسبب نظرية بروك-رايزر .

أصغر مستوى إسقاطي هو مستوى فانو ، $PG(2, 2)،$ الذي يحتوي على 7 نقاط و7 خطوط. أما أصغر فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد فهو $PG(3, 2)$ ، الذي يحتوي على 15 نقطة و35 خطًا و15 مستوى.

المورفيزمات

تؤدي التطبيقات الخطية المتباينة $T \in L (V, W)$ بين فضاءين متجهيين $V$ و $W$ على نفس الحقل $K$ إلى إحداث تطبيقات للفضاءات الإسقاطية المقابلة $P$ $($ $V$ $) \to$ $P$ $($ $W$ $)$ عبر:

[v] \to [T (v)]

,

حيث $v$ عنصر غير صفري من $V،$ و[...] تشير إلى فئات التكافؤ لمتجه تحت تعريف الفضاءات الإسقاطية المعنية. بما أن عناصر فئة التكافؤ تختلف بعامل قياسي، والتحويلات الخطية تحافظ على العوامل القياسية، فإن هذا التحويل المستحث مُعرَّف جيدًا . (إذا لم يكن $T$ تحويلًا أحاديًا، فإنه يمتلك فضاءً صفريًا أكبر من ${0}$ ؛ في هذه الحالة، يصبح معنى فئة $T (v)$ إشكاليًا إذا كان $v$ غير صفري ويقع في الفضاء الصفري. في هذه الحالة، نحصل على ما يُسمى بالتحويل الكسري ، انظر أيضًا الهندسة الثنائية الكسرية .)

يُنتج تطبيقان خطيان $S$ و $T$ في $L (V, W)$ نفس التطبيق بين $P (V)$ و $P (W)$ إذا وفقط إذا اختلفا بمضاعف قياسي، أي إذا كان $T = λS$ لبعض $λ \neq 0.$ وبالتالي، إذا اعتبرنا المضاعفات القياسية لتطبيق التطابق مع الحقل الأساسي $K$ ، فإن مجموعة التشكلات الخطية $K$ من $P$ $($ $V$ $)$ إلى $P$ $($ $W$ $)$ هي ببساطة $P$ $($ $L$ $($ $V$ $,$ $W$ $))$ .

يمكن وصف التشاكلات الذاتية $P (V) \to P (V)$ بشكل أكثر تحديدًا. (نتعامل فقط مع التشاكلات الذاتية التي تحافظ على الحقل الأساسي $K$ ). باستخدام مفهوم الحزم المولدة بواسطة المقاطع العامة ، يمكن إثبات أن أي تشاكل ذاتي جبري (ليس بالضرورة خطيًا) يجب أن يكون خطيًا، أي ناتجًا عن تشاكل ذاتي (خطي) للفضاء المتجهي $V.$ تشكل هذه الأخيرة المجموعة GL $($ $V$ $)$ . من خلال تحديد التطبيقات التي تختلف بمقدار قياسي، نستنتج أن

Aut(P (V)) = Aut(V) / K \times = GL(V) / K \times =: PGL(V)

,

الزمرة الخارجة من $GL(V)$ بتردد المصفوفات التي هي مضاعفات قياسية للوحدة. (تشكل هذه المصفوفات مركز Aut ( $V))$ . تُسمى الزمر $PGL$ بالزمر الخطية الإسقاطية . تُسمى التشاكلات الذاتية للخط الإسقاطي المركب $P1$ $(C) بتحويلات$ موبيوس .

فضاء إسقاطي مزدوج

عند تطبيق البناء المذكور أعلاه على الفضاء الثنائي $V *$ بدلاً من $V$ ، نحصل على الفضاء الإسقاطي الثنائي، والذي يمكن تحديده بشكل قانوني مع فضاء المستويات الفائقة المار بنقطة الأصل في $V.$ أي، إذا كان V $ذا بُعد$ $n$ ، فإن $P (V *)$ هو فضاء غراسمان لـ $n -1$ مستوى في $V.$

في الهندسة الجبرية، يتيح هذا البناء مرونة أكبر في إنشاء الحزم الإسقاطية. يُفضّل ربط فضاء إسقاطي بكل حزمة شبه متماسكة $E$ على مخطط $Y$ ، وليس فقط الحزم الحرة محليًا. للمزيد من التفاصيل، انظر EGA _{II ، الفصل الثاني، الفقرة 4.}

التعميمات

البعد: يتم تعميم الفضاء الإسقاطي، باعتباره "فضاء" جميع الفضاءات الخطية أحادية البعد لفضاء متجه معين $V$ ، إلى مشعب غراسمان ، الذي يقوم بتحديد معلمات الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى (ذات البعد الثابت) من $V.$
سلسلة من الفضاءات الفرعية: بشكل عام، تعد فضاءات الأعلام هي فضاء الأعلام، أي سلاسل من الفضاءات الفرعية الخطية لـ $V.$
أصناف فرعية أخرى: وبشكل أكثر عمومية، فإن فضاءات المعاملات تحدد معلمات الأشياء مثل المنحنيات الإهليلجية من نوع معين.
خواتم أخرى: إن التعميم على الحلقات الترابطية (بدلاً من الحقول فقط) ينتج عنه، على سبيل المثال، الخط الإسقاطي فوق حلقة .
ترقيع: يؤدي تجميع الفضاءات الإسقاطية معًا إلى تكوين حزم الفضاء الإسقاطي .

تعد أصناف سيفيري-براور أصنافًا جبرية على حقل $K$ ، والتي تصبح متماثلة مع الفضاءات الإسقاطية بعد تمديد الحقل الأساسي $K.$

ومن التعميمات الأخرى للفضاءات الإسقاطية الفضاءات الإسقاطية الموزونة ؛ وهذه في حد ذاتها حالات خاصة من الأصناف التوريكية . ^{[ 8 ]}

انظر أيضاً

الجبر الهندسي

التعميمات

الهندسة الإسقاطية

ملحوظات

↑ إن عدم وجود مسافة بعد الفاصلة أمر شائع في هذه الصيغة.
↑ إن التعريف الصحيح للتعددية ليس بالأمر السهل، ويعود تاريخه إلى منتصف القرن العشرين فقط.
↑ التجانس مطلوب لكي يبقى الصفر صفرًا عند ضرب الإحداثيات المتجانسة في عدد قياسي غير صفري.
↑ يُشار إليه أيضًا باسم بديهية فيبلين-يونغ ، ويُخطئ البعض في تسميته بديهية باش ( بيوتلسباشر وروزنباوم 1998 ، ص 6-7). كان باش مهتمًا بالفضاء الإسقاطي الحقيقي، وكان يسعى إلى إرساء النظام، وهو ما لا يندرج ضمن اهتمامات بديهية فيبلين-يونغ.
↑ بما أن نظرية بابوس تستلزم نظرية ديزارج، فإن هذا يلغي المستويات غير الديزارجية ويستلزم أيضًا أن الفضاء معرف على حقل (وليس حلقة قسمة).
↑ يسمح هذا القيد باستخدام الحقول الحقيقية والمركبة (خاصية الصفر) ولكنه يزيل مستوى فانو والمستويات الأخرى التي تظهر سلوكًا غير نمطي.

الاقتباسات

^ ماورو بيليوتي، فيكرام جها، نورمان إل. جونسون (2001) أسس مستويات الترجمة ، ص. 506، مارسيل ديكر ISBN 0-8247-0609-9
↑ بيرغر 2009 ، الفصل 4.4. القواعد الإسقاطية.
↑ بيرغر 2009 ، الفصل 4
^ بيوتلسباخر وروزنباوم 1998 ، ص 6-7
↑ باير 2005 ، ص 71
^ باخمان، ف. (1959)، Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaftern، 96، Berlin: Springer، pp. 76– 77
↑ بيتر كرولي وروبرت ب. ديلورث ، 1973. النظرية الجبرية للشبكات . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-022269-5، ص 109.
↑ موكاي 2003 ، مثال 3.72

مراجع

أفاناسيف، ف. ف. (2001) [1994]، "الفضاء الإسقاطي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
باير، راينهولد (2005) [نُشر لأول مرة عام 1952]، الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية ، دوفر، ISBN 978-0-486-44565-6
بيرغر، مارسيل (2009)، الهندسة 1 ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-11658-5ترجمة من النسخة الفرنسية الأصلية لعام 1977 بقلم م. كول وس. ليفي، الطبعة الرابعة من الترجمة الإنجليزية لعام 1987
بيوتلسباشر، ألبريشت؛ روزنباوم، أوتي (1998)، الهندسة الإسقاطية: من الأسس إلى التطبيقات ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-48277-6MR 1629468
كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1974)، مقدمة في الهندسة ، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-18283-4
كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1969)، الهندسة الإسقاطية ، تورنتو، أونتاريو: مطبعة جامعة تورنتو، ISBN 0-8020-2104-2، MR 0346652 ، OCLC 977732
Dembowski، P. (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، Band 44، Berlin، New York: Springer-Verlag ، ISBN 3-540-61786-8، MR 0233275
جرينبيرج، إم جيه؛ الهندسات الإقليدية وغير الإقليدية ، الطبعة الثانية. فريمان (1980).
هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 وخاصة الفصول I.2 و I.7 و II.5 و II.7
هيلبرت، د. وكوهن-فوسن، س.؛ الهندسة والخيال ، الطبعة الثانية. تشيلسي (1999).
موكاي، شيغيرو (2003)، مقدمة في الثوابت والمعاملات ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-80906-1
فيبلين، أوزوالد ؛ يونغ، جون ويسلي (1965)، الهندسة الإسقاطية. المجلدان 1 و2 ، دار نشر بلايسديل، جين وشركاه، نيويورك-تورنتو-لندن، MR 0179666 (إعادة طبع طبعة عام 1910)

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "الفضاء الإسقاطي" . عالم الرياضيات .
الفضاء الإسقاطي في بلانيت ماث .
المستويات الإسقاطية ذات الرتبة الصغيرة

[2] إن عدم وجود مسافة بعد الفاصلة أمر شائع في هذه الصيغة.

[5] إن التعريف الصحيح للتعددية ليس بالأمر السهل، ويعود تاريخه إلى منتصف القرن العشرين فقط.

[6] التجانس مطلوب لكي يبقى الصفر صفرًا عند ضرب الإحداثيات المتجانسة في عدد قياسي غير صفري.

[8] يُشار إليه أيضًا باسم بديهية فيبلين-يونغ ، ويُخطئ البعض في تسميته بديهية باش ( بيوتلسباشر وروزنباوم 1998 ، ص 6-7). كان باش مهتمًا بالفضاء الإسقاطي الحقيقي، وكان يسعى إلى إرساء النظام، وهو ما لا يندرج ضمن اهتمامات بديهية فيبلين-يونغ.

[11] بما أن نظرية بابوس تستلزم نظرية ديزارج، فإن هذا يلغي المستويات غير الديزارجية ويستلزم أيضًا أن الفضاء معرف على حقل (وليس حلقة قسمة).

[12] يسمح هذا القيد باستخدام الحقول الحقيقية والمركبة (خاصية الصفر) ولكنه يزيل مستوى فانو والمستويات الأخرى التي تظهر سلوكًا غير نمطي.

[1] ماورو بيليوتي، فيكرام جها، نورمان إل. جونسون (2001) أسس مستويات الترجمة ، ص. 506، مارسيل ديكر ISBN 0-8247-0609-9

[FOOTNOTEBerger2009chapter_4.4._Projective_bases-3] بيرغر 2009 ، الفصل 4.4. القواعد الإسقاطية.

[4] بيرغر 2009 ، الفصل 4

[7] بيوتلسباخر وروزنباوم 1998 ، ص 6-7

[9] باير 2005 ، ص 71

[10] باخمان، ف. (1959)، Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaftern، 96، Berlin: Springer، pp. 76– 77

[13] بيتر كرولي وروبرت ب. ديلورث ، 1973. النظرية الجبرية للشبكات . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-022269-5، ص 109.

[14] موكاي 2003 ، مثال 3.72

[ 1 ]

)

[ 2 ]

[ 3 ]

[ ب ]

[ ج ]

[ 4 ]

د ] إذا

[ 5 ]

[

[ هـ ]

[ f ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗