إحداثيات متجانسة

في الرياضيات ، تُعرف الإحداثيات المتجانسة أو الإحداثيات الإسقاطية ، التي قدمها أوغست فرديناند موبيوس في كتابه "حساب مركز الثقل " عام 1827 ، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]،} بأنها نظام إحداثيات يُستخدم في الهندسة الإسقاطية ، تمامًا كما تُستخدم الإحداثيات الديكارتية في الهندسة الإقليدية . تتميز هذه الإحداثيات بإمكانية تمثيل إحداثيات النقاط، بما في ذلك النقاط عند اللانهاية ، باستخدام إحداثيات محدودة. غالبًا ما تكون الصيغ التي تتضمن الإحداثيات المتجانسة أبسط وأكثر تناظرًا من نظيراتها الديكارتية. للإحداثيات المتجانسة تطبيقات واسعة، تشمل رسومات الحاسوب والرؤية الحاسوبية ثلاثية الأبعاد ، حيث تُسهّل تمثيل التحويلات الأفينية ، والتحويلات الإسقاطية عمومًا، باستخدام مصفوفة . كما تُستخدم أيضًا في خوارزميات التشفير الأساسية للمنحنيات الإهليلجية . ^{[ 4 ]}

إذا ضُربت الإحداثيات المتجانسة لنقطة ما بعدد قياسي غير صفري ، فإن الإحداثيات الناتجة تُمثل النقطة نفسها. وبما أن الإحداثيات المتجانسة تُعطى أيضًا للنقاط في اللانهاية، فإن عدد الإحداثيات اللازمة للسماح بهذا الامتداد يزيد بواحد عن بُعد الفضاء الإسقاطي قيد الدراسة. على سبيل المثال، يلزم إحداثيان متجانسان لتحديد نقطة على الخط الإسقاطي، وثلاثة إحداثيات متجانسة لتحديد نقطة في المستوى الإسقاطي.

يمكن اعتبار المستوى الإسقاطي الحقيقي بمثابة المستوى الإقليدي مع إضافة نقاط إضافية تُسمى نقاط اللانهاية ، وتُعتبر هذه النقاط واقعة على خط جديد يُسمى خط اللانهاية . توجد نقطة في اللانهاية تُقابل كل اتجاه (يُحدد عدديًا بميل الخط)، وتُعرف هذه النقطة بشكل غير رسمي بأنها نهاية النقطة التي تتحرك في ذلك الاتجاه بعيدًا عن نقطة الأصل. يُقال إن الخطوط المتوازية في المستوى الإقليدي تتقاطع عند نقطة في اللانهاية تُقابل اتجاهها المشترك. بفرض نقطة${\displaystyle (x,y)}$على المستوى الإقليدي، لأي عدد حقيقي غير صفري${\displaystyle Z}$الثلاثية${\displaystyle (xZ,yZ,Z)}$تُسمى هذه المجموعة مجموعة إحداثيات متجانسة للنقطة. وبناءً على هذا التعريف، فإن ضرب الإحداثيات المتجانسة الثلاث بعامل مشترك غير صفري يُعطي مجموعة جديدة من الإحداثيات المتجانسة لنفس النقطة. على وجه الخصوص،${\displaystyle (x,y,1)}$هل هذا نظام إحداثيات متجانسة للنقطة؟${\displaystyle (x,y)}$على سبيل المثال، النقطة الديكارتية${\displaystyle (1,2)}$يمكن تمثيلها في إحداثيات متجانسة على النحو التالي:${\displaystyle (1,2,1)}$أو${\displaystyle (2,4,2)}$تُستعاد الإحداثيات الديكارتية الأصلية بقسمة أول موضعين على الموضع الثالث. وبالتالي، على عكس الإحداثيات الديكارتية، يمكن تمثيل نقطة واحدة بعدد لا نهائي من الإحداثيات المتجانسة.

معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل${\displaystyle (0,0)}$قد يكتب${\displaystyle nx+my=0}$أين${\displaystyle n}$و${\displaystyle m}$ليس كلاهما${\displaystyle 0}$يمكن كتابة ذلك في شكل بارامتري${\displaystyle x=mt,y=-nt}$. يترك${\displaystyle Z=1/t}$لذا يمكن كتابة إحداثيات نقطة على الخط على النحو التالي${\displaystyle (m/Z,-n/Z)}$في الإحداثيات المتجانسة يصبح هذا${\displaystyle (m,-n,Z)}$في النهاية، كما${\displaystyle t}$بمعنى آخر، كلما ابتعدت النقطة عن نقطة الأصل، تقترب من اللانهاية.${\displaystyle Z}$الأساليب${\displaystyle 0}$وتصبح الإحداثيات المتجانسة للنقطة${\displaystyle (m,-n,0)}$وهكذا نُعرّف${\displaystyle (m,-n,0)}$باعتبارها الإحداثيات المتجانسة للنقطة عند اللانهاية التي تتوافق مع اتجاه الخط${\displaystyle nx+my=0}$بما أن أي خط من المستوى الإقليدي موازٍ لخط يمر عبر نقطة الأصل، وبما أن الخطوط المتوازية لها نفس النقطة عند اللانهاية، فقد تم إعطاء النقطة اللانهائية على كل خط من المستوى الإقليدي إحداثيات متجانسة.

باختصار:

• أي نقطة في المستوى الإسقاطي يتم تمثيلها بثلاثية${\displaystyle (X,Y,Z)}$وتسمى هذه الإحداثيات "الإحداثيات المتجانسة" أو "الإحداثيات الإسقاطية" للنقطة، حيث${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$ليست كلها${\displaystyle 0}$.
• تظل النقطة التي تمثلها مجموعة معينة من الإحداثيات المتجانسة دون تغيير إذا تم ضرب الإحداثيات بعامل مشترك.
• وعلى العكس من ذلك، فإن مجموعتين من الإحداثيات المتجانسة تمثلان نفس النقطة إذا وفقط إذا تم الحصول على إحداهما من الأخرى عن طريق ضرب جميع الإحداثيات بنفس الثابت غير الصفري.
• متى${\displaystyle Z}$ليس${\displaystyle 0}$النقطة الممثلة هي النقطة${\displaystyle (X/Z,Y/Z)}$في المستوى الإقليدي.
• متى${\displaystyle Z}$يكون${\displaystyle 0}$النقطة الممثلة هي نقطة في اللانهاية.

الثلاثي${\displaystyle (0,0,0)}$تم حذفها ولا تمثل أي نقطة. يتم تمثيل أصل المستوى الإقليدي بواسطة${\displaystyle (0,0,1)}$[ ^{5 ]​}

ينطبق النقاش الوارد في القسم السابق بشكل مماثل على الفضاءات الإسقاطية الأخرى غير المستوى. لذا، يمكن تمثيل النقاط على الخط الإسقاطي بأزواج من الإحداثيات.${\displaystyle (x,y)}$ليس كلاهما صفرًا. في هذه الحالة، النقطة عند اللانهاية هي${\displaystyle (1,0)}$وبالمثل، فإن النقاط في الإسقاط${\displaystyle n}$يتم تمثيل المسافات بواسطة${\displaystyle (n+1)}$-tuples. ^{[ 9 ]}

يُتيح استخدام الأعداد الحقيقية الحصول على إحداثيات متجانسة للنقاط في الحالة الكلاسيكية للفضاءات الإسقاطية الحقيقية، ومع ذلك، يُمكن استخدام أي حقل ، وخاصةً الأعداد المركبة في الفضاء الإسقاطي المركب . على سبيل المثال، يستخدم الخط الإسقاطي المركب إحداثيتين مركبتين متجانستين، ويُعرف باسم كرة ريمان . كما يُمكن استخدام حقول أخرى، بما في ذلك الحقول المنتهية .

يمكن أيضًا إنشاء إحداثيات متجانسة للفضاءات الإسقاطية باستخدام عناصر من حلقة القسمة (حقل معكوس). ومع ذلك، في هذه الحالة، يجب مراعاة أن عملية الضرب قد لا تكون تبديلية . ^{[ 10 ]}

بالنسبة للحلقة العامة A ، يمكن تعريف خط إسقاطي فوق A بعوامل متجانسة تعمل على اليسار ومجموعة خطية إسقاطية تعمل على اليمين.

يمكن تقديم تعريف آخر للمستوى الإسقاطي الحقيقي بدلالة فئات التكافؤ . بالنسبة للعناصر غير الصفرية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، يُعرِّف${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})\sim (x_{2},y_{2},z_{2})}$بمعنى أن هناك قيمة غير صفرية${\displaystyle \lambda }$لهذا السبب.${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})=(\lambda x_{2},\lambda y_{2},\lambda z_{2})}$. ثم${\displaystyle \sim }$هي علاقة تكافؤ ، ويمكن تعريف المستوى الإسقاطي على أنه فئات التكافؤ لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}.}$لو${\displaystyle (x,y,z)}$يُعد أحد عناصر فئة التكافؤ${\displaystyle p}$ثم تُعتبر هذه إحداثيات متجانسة لـ${\displaystyle p}$.

تُعرَّف الخطوط في هذا الفضاء بأنها مجموعات من حلول المعادلات من الشكل${\displaystyle ax+by+cz=0}$حيث لا يكون كل${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$تساوي صفرًا. تحقق الشرط${\displaystyle ax+by+cz=0}$يعتمد فقط على فئة التكافؤ لـ${\displaystyle (x,y,z),}$إذن، تحدد المعادلة مجموعة من النقاط في المستوى الإسقاطي.${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,1)}$يُعرّف هذا المفهوم عملية تضمين من المستوى الإقليدي إلى المستوى الإسقاطي، ومُكمّل الصورة هو مجموعة النقاط التي${\displaystyle z=0}$المعادلة${\displaystyle z=0}$هي معادلة خط في المستوى الإسقاطي ( انظر تعريف الخط في المستوى الإسقاطي )، وتسمى الخط عند اللانهاية.

فئات التكافؤ،${\displaystyle p}$هي الخطوط المارة بنقطة الأصل بعد إزالة نقطة الأصل. لا تلعب نقطة الأصل دورًا أساسيًا في المناقشة السابقة، لذا يمكن إضافتها مرة أخرى دون تغيير خصائص المستوى الإسقاطي. ينتج عن ذلك تعريف مختلف، وهو أن المستوى الإسقاطي يُعرَّف بأنه مجموعة الخطوط في ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$التي تمر عبر نقطة الأصل وإحداثيات عنصر غير صفري${\displaystyle (x,y,z)}$ تُعتبر إحداثيات الخط متجانسة بالنسبة له. وتُفسَّر هذه الخطوط الآن على أنها نقاط في المستوى الإسقاطي.

ومرة أخرى، ينطبق هذا النقاش بشكل مماثل على الأبعاد الأخرى. لذا يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي ذي البعد n على أنه مجموعة الخطوط المارة بنقطة الأصل في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$[ ^{11 ]​}

لا يتم تحديد الإحداثيات المتجانسة بشكل فريد بواسطة نقطة، لذا فإن الدالة المعرفة على الإحداثيات، على سبيل المثال ${\displaystyle f(x,y,z)}$لا يحدد هذا الشرط دالة معرفة على النقاط كما هو الحال مع الإحداثيات الديكارتية.${\displaystyle f(x,y,z)=0}$يُحدد تعريف الدالة على الإحداثيات، كما هو الحال عند وصف منحنى، شرطًا على النقاط لتحديد ما إذا كانت الدالة متجانسة . على وجه التحديد، لنفترض وجود${\displaystyle k}$بحيث

$${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z).}$$

إذا كانت مجموعة من الإحداثيات تمثل نفس النقطة مثل${\displaystyle (x,y,z)}$ثم يمكن كتابتها ${\displaystyle (\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$لبعض القيم غير الصفرية لـ${\displaystyle \lambda }$. ثم

$${\displaystyle f(x,y,z)=0\iff f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)=0.}$$

متعدد الحدود${\displaystyle g(x,y)}$درجة علمية${\displaystyle k}$يمكن تحويلها إلى متعددة حدود متجانسة عن طريق استبدال${\displaystyle x}$مع${\displaystyle x/z}$،${\displaystyle y}$مع${\displaystyle y/z}$والضرب في${\displaystyle z^{k}}$بمعنى آخر، من خلال تعريف

$${\displaystyle f(x,y,z)=z^{k}g(x/z,y/z).}$$

الدالة الناتجة${\displaystyle f}$هي دالة متعددة الحدود، لذا من المنطقي توسيع نطاقها ليشمل الثلاثيات حيث${\displaystyle z=0}$يمكن عكس العملية عن طريق ضبط${\displaystyle z=1}$، أو

$${\displaystyle g(x,y)=f(x,y,1).}$$

المعادلة${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ويمكن اعتبارها بعد ذلك الشكل المتجانس لـ ${\displaystyle g(x,y)=0}$وهي تُحدد المنحنى نفسه عند تقييدها بالمستوى الإقليدي. على سبيل المثال، الشكل المتجانس لمعادلة الخط${\displaystyle ax+by+c=0}$يكون${\displaystyle ax+by+cz=0.}$^{[ 12 ]}

يمكن التعبير عن معادلة الخط المستقيم في المستوى الإسقاطي على النحو التالي:${\displaystyle sx+ty+uz=0}$أين${\displaystyle s}$، ${\displaystyle t}$و${\displaystyle u}$هي ثوابت. كل ثلاثية${\displaystyle (s,t,u)}$يحدد خطًا، ويبقى الخط المحدد دون تغيير إذا ضُرب في عدد قياسي غير صفري، وواحد على الأقل مما يلي:${\displaystyle s}$،${\displaystyle t}$و${\displaystyle u}$يجب أن يكون غير صفري. لذا فإن الثلاثية${\displaystyle (s,t,u)}$يمكن اعتبارها إحداثيات متجانسة لخط في المستوى الإسقاطي، أي إحداثيات خطية وليست إحداثيات نقطية. إذا كان في${\displaystyle sx+ty+uz=0}$الحروف${\displaystyle s}$،${\displaystyle t}$و${\displaystyle u}$تُعتبر متغيرات و ${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$إذا اعتبرنا هذه القيم ثوابت، فإن المعادلة تصبح معادلة لمجموعة من الخطوط في فضاء جميع الخطوط في المستوى. هندسيًا، تمثل هذه المعادلة مجموعة الخطوط التي تمر بالنقطة.${\displaystyle (x,y,z)}$ويمكن تفسيرها على أنها معادلة النقطة في إحداثيات الخط. وبالمثل، يمكن إعطاء المستويات في الفضاء ثلاثي الأبعاد مجموعات من أربع إحداثيات متجانسة، وهكذا بالنسبة للأبعاد الأعلى. ^{[ 13 ]}

العلاقة نفسها،${\displaystyle sx+ty+uz=0}$يمكن اعتبار المعادلة إما معادلة خط مستقيم أو معادلة نقطة. عمومًا، لا يوجد فرق، جبريًا أو منطقيًا، بين الإحداثيات المتجانسة للنقاط والخطوط. لذا، فإن الهندسة المستوية التي تُعتبر فيها النقاط العناصر الأساسية والهندسة المستوية التي تُعتبر فيها الخطوط العناصر الأساسية متكافئتان باستثناء التفسير. يقودنا هذا إلى مفهوم الازدواجية في الهندسة الإسقاطية، وهو مبدأ إمكانية تبديل أدوار النقاط والخطوط في نظرية في الهندسة الإسقاطية، وستكون النتيجة أيضًا نظرية. وبالمثل، فإن نظرية النقاط في الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد هي نظيرة لنظرية المستويات في الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد، وهكذا بالنسبة للأبعاد الأعلى. ^{[ 14 ]}

يُعدّ تحديد إحداثيات الخطوط في الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد أكثر تعقيدًا، إذ يبدو ظاهريًا أنه يتطلب ثماني إحداثيات، إما إحداثيات نقطتين تقعان على الخط أو إحداثيات مستويين يتقاطعان مع الخط. لكنّ طريقةً مفيدةً، من ابتكار يوليوس بلوكر ، تُنشئ مجموعةً من ست إحداثيات كمحددات. ${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}(1\leq i<j\leq 4)}$من الإحداثيات المتجانسة لنقطتين${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$و${\displaystyle (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})}$على الخط. يُعد تضمين بلوكر تعميمًا لهذا لإنشاء إحداثيات متجانسة لعناصر من أي بُعد${\displaystyle m}$في فضاء إسقاطي ذي بُعد${\displaystyle n}$[ ^{15 ] [ 16 ]​}

الصيغة المتجانسة لمعادلة الدائرة في المستوى الإسقاطي الحقيقي أو المركب هي ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+2axz+2byz+cz^{2}=0}$يمكن إيجاد نقطة تقاطع هذا المنحنى مع الخط عند اللانهاية عن طريق وضع${\displaystyle z=0}$وهذا ينتج عنه المعادلة ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$والتي لها حلان على الأعداد المركبة، مما يؤدي إلى ظهور النقاط ذات الإحداثيات المتجانسة${\displaystyle (1,i,0)}$و${\displaystyle (1,-i,0)}$في المستوى الإسقاطي المركب. تُسمى هذه النقاط بالنقاط الدائرية عند اللانهاية ، ويمكن اعتبارها نقاط التقاطع المشتركة لجميع الدوائر. ويمكن تعميم ذلك على المنحنيات ذات الرتب الأعلى كمنحنيات جبرية دائرية . ^{[ 17 ]}

كما أن اختيار المحاور في نظام الإحداثيات الديكارتية أمرٌ اعتباطي إلى حدٍ ما، فإن اختيار نظام إحداثيات متجانسة واحد من بين جميع الأنظمة الممكنة هو أيضاً أمرٌ اعتباطي إلى حدٍ ما. لذلك، من المفيد معرفة كيفية ارتباط الأنظمة المختلفة ببعضها البعض.

يترك${\displaystyle (x,y,z}$) إحداثيات متجانسة لنقطة في المستوى الإسقاطي. مصفوفة ثابتة $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}},}$$بمحدد غير صفري ، يُعرّف نظام إحداثيات جديد.${\displaystyle (X,Y,Z)}$بحسب المعادلة $${\displaystyle {\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$$ ضرب${\displaystyle (x,y,z)}$ينتج عن ضرب عدد قياسي في${\displaystyle (X,Y,Z)}$بنفس المقياس، و${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$لا يمكن أن يكون كل شيء${\displaystyle 0}$إلا إذا${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$جميعها أصفار لأن${\displaystyle A}$غير منفرد. لذا${\displaystyle (X,Y,Z)}$هي نظام جديد من الإحداثيات المتجانسة لنفس النقطة في المستوى الإسقاطي.

حددت صياغة موبيوس الأصلية للإحداثيات المتجانسة موقع نقطة ما على أنه مركز كتلة (أو مركز ثقل) نظام مكون من ثلاث كتل نقطية موضوعة عند رؤوس مثلث ثابت. تُمثل النقاط داخل المثلث بكتل موجبة، بينما تُمثل النقاط خارجه بكتل سالبة. لا يؤثر ضرب الكتل في النظام بعدد قياسي على مركز الكتلة، لذا تُعد هذه حالة خاصة من نظام الإحداثيات المتجانسة.

يترك${\displaystyle l}$،${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$لنفترض ثلاثة خطوط في المستوى ونحدد مجموعة من الإحداثيات${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$نقطة ${\displaystyle p}$حيث أن المسافات المحددة من${\displaystyle p}$إلى هذه الخطوط الثلاثة. وتسمى هذه الإحداثيات ثلاثية الخطوط لـ${\displaystyle p}$ بالنسبة للمثلث الذي تمثل رؤوسه نقاط تقاطع الخطوط. وبالمعنى الدقيق، هذه ليست متجانسة، لأن قيم${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$يتم تحديدها بدقة، وليس فقط بنسبة تناسبية. ومع ذلك، توجد علاقة خطية بينهما، لذا يمكن جعل هذه الإحداثيات متجانسة عن طريق السماح بمضاعفات ${\displaystyle (X,Y,Z)}$لتمثيل نفس الفكرة. وبشكل أعم،${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$و${\displaystyle Z}$يمكن تعريفها على أنها ثوابت${\displaystyle p}$،${\displaystyle r}$و${\displaystyle q}$مضروبة في المسافات إلى${\displaystyle l}$،${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$مما ينتج عنه نظام إحداثيات متجانسة مختلف مع نفس مثلث المرجع. وهذا، في الواقع، هو النوع الأكثر عمومية لنظام الإحداثيات المتجانسة للنقاط في المستوى إذا لم يكن أي من الخطوط هو الخط الموجود في اللانهاية. ^{[ 18 ]}

عرض توضيحي لتحويل مصفوفة الإحداثيات المتجانسة. اضبط الأرقام في المصفوفة لتطبيق هذا التحويل على الصورة.

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

تُعدّ الإحداثيات المتجانسة شائعة الاستخدام في رسومات الحاسوب، لأنها تسمح بتمثيل عمليات المتجهات الشائعة ، مثل الإزاحة والدوران والتحجيم والإسقاط المنظوري، كمصفوفة يُضرب بها المتجه. وبحسب قاعدة السلسلة ، يمكن ضرب أي تسلسل من هذه العمليات في مصفوفة واحدة، مما يُتيح معالجة بسيطة وفعّالة. في المقابل، باستخدام الإحداثيات الديكارتية، لا يمكن التعبير عن الإزاحات والإسقاط المنظوري كعمليات ضرب مصفوفات، على الرغم من إمكانية التعبير عن عمليات أخرى. تستفيد بطاقات الرسومات الحديثة OpenGL و Direct3D من الإحداثيات المتجانسة لتنفيذ مُظلِّل الرؤوس بكفاءة باستخدام معالجات المتجهات ذات سجلات رباعية العناصر. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

على سبيل المثال، في الإسقاط المنظوري، يُربط موضع في الفضاء بالخط الواصل بينه وبين نقطة ثابتة تُسمى مركز الإسقاط . ثم تُسقط هذه النقطة على مستوى ثنائي الأبعاد من خلال إيجاد نقطة تقاطع هذا المستوى مع الخط. ينتج عن ذلك تمثيل دقيق لكيفية ظهور جسم ثلاثي الأبعاد للعين. في أبسط الحالات، يكون مركز الإسقاط هو نقطة الأصل، وتُسقط النقاط على المستوى الثنائي الأبعاد.${\displaystyle z=1}$أعمل حاليًا باستخدام الإحداثيات الديكارتية. بالنسبة لنقطة معينة في الفضاء،${\displaystyle (x,y,z)}$النقطة التي يتقاطع عندها الخط والمستوى هي${\displaystyle (x/z,y/z,1)}$. إسقاط ما أصبح الآن زائداً عن الحاجة${\displaystyle z}$يصبح هذا التنسيق${\displaystyle (x/z,y/z)}$في الإحداثيات المتجانسة، النقطة${\displaystyle (x,y,z)}$يمثلها${\displaystyle (xw,yw,zw,w)}$والنقطة التي تُمثلها على المستوى يتم تمثيلها بواسطة${\displaystyle (xw,yw,zw)}$لذا يمكن تمثيل الإسقاط في شكل مصفوفة كما يلي: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$$ يمكن دمج المصفوفات التي تمثل تحويلات هندسية أخرى مع هذه المصفوفة ومع بعضها البعض عن طريق ضرب المصفوفات . ونتيجة لذلك، يمكن تمثيل أي إسقاط منظور للفضاء كمصفوفة واحدة. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

• بوشيه، ماكسيم (1907). مقدمة في الجبر العالي . ماكميلان. ص  11 وما بعدها.
• بريو، تشارلز؛ بوكيه، جان كلود (1896). عناصر الهندسة التحليلية ثنائية الأبعاد . ترجمة جيه إتش بويد. شركة ويرنر للكتب المدرسية. ص 380 . 
• كوكس، ديفيد أ .؛ ليتل، جون ب .؛ أوشيا، دونال (2007). المُثُل، والأنواع، والخوارزميات . سبرينغر. ص  357. ISBN 978-0-387-35650-1.
• غارنر، لين إي. (1981)، موجز في الهندسة الإسقاطية ، نورث هولاند، ISBN 0-444-00423-8
• جونز، ألفريد كليمنت (1912). مقدمة في الهندسة الجبرية . كلارندون.
• ميراندا، ريك (1995). المنحنيات الجبرية وأسطح ريمان . مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص  13. ISBN 0-8218-0268-2.
• ويلكزينسكي، إرنست يوليوس (1906). الهندسة التفاضلية الإسقاطية للمنحنيات والأسطح المسطرة . بي جي توبنر.
• وودز، فريدريك س. (1922). الهندسة العليا . جين وشركاه. ص  27 وما بعدها.

• ستيلويل، جون (2002). الرياضيات وتاريخها . سبرينغر. ص  134 وما بعدها. ISBN 0-387-95336-1.

• روغرز، ديفيد ف. (1976). العناصر الرياضية لرسومات الحاسوب . ماكجرو هيل. ISBN 0070535272.

• جول بلومنتال وجون روكن، الإحداثيات المتجانسةأُرشف بتاريخ 26 فبراير 2021 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
• تشينغ كوانغ شين، إحداثيات متجانسة
• وولفرام ماث وورلد