إثبات بالإرهاق

البرهان بالاستنفاد ، المعروف أيضاً بالبرهان بالحالات ، أو تحليل البرهان بالحالات ، أو الاستقراء الكامل ، أو طريقة القوة الغاشمة ، هو أسلوب من أساليب البرهان الرياضي يتم فيه إثبات صحة عبارة رياضية بتقسيم الحجة إلى عدة حالات متميزة، وإثبات صحة العبارة في كل حالة. يجب أن تكون هذه الحالات شاملة لجميع الاحتمالات الممكنة، لضمان مراعاة جميع المواقف الممكنة. ^{[ 1 ]}

أدى انتشار الحواسيب الرقمية إلى زيادة كبيرة في سهولة استخدام طريقة الاستنفاد (على سبيل المثال، أول برهان بمساعدة الحاسوب لنظرية الألوان الأربعة عام 1976)، مع أن هذه الأساليب قد تُطعن فيها أيضًا من حيث دقتها الرياضية . ويمكن استخدام الأنظمة الخبيرة للوصول إلى إجابات للعديد من الأسئلة المطروحة عليها. نظريًا، يمكن استخدام طريقة الاستنفاد في البرهان عندما يكون عدد الحالات محدودًا. ومع ذلك، ولأن معظم المجموعات الرياضية غير محدودة، نادرًا ما تُستخدم هذه الطريقة لاستخلاص نتائج رياضية عامة. ^{[ 2 ]}

عادةً ما يتبع البرهان بالحالات هذه الخطوات: ^{[ 3 ]}

1. حدد جميع الحالات الممكنة التي تستنفد جميع الاحتمالات.
2. أثبت صحة العبارة في الحالة الأولى.
3. أثبت صحة العبارة في كل حالة من الحالات المتبقية.
4. استنتج أنه إذا ثبتت صحة جميع الحالات، فإن العبارة صحيحة. أما إذا خالفت إحدى الحالات العبارة، فإنها لا تصح.

يُستخدم البرهان بالحالات بشكل شائع عندما تنفصل المشكلة بشكل طبيعي إلى فئات متميزة، مثل: ^{[ 4 ]}

• الأعداد الزوجية والفردية
• القيم الموجبة والسالبة والصفرية
• فترات مختلفة من دالة

تُعد هذه الحجة مفيدة بشكل خاص عندما لا تستطيع حجة واحدة معالجة جميع المواقف المحتملة في وقت واحد.

أثبت أنه لأي عدد صحيح n، يكون العدد n ² زوجيًا إذا كان n زوجيًا، ويكون n ² فرديًا إذا كان n فرديًا.

دليل:

لنأخذ حالتين كمثال:

الحالة 1

• ن عدد زوجي
• ثم n=2k لعدد صحيح k
• إذن، ^n² = (2k) ^² = 4k² ⁼ 2(2k² ⁾ ، وهو عدد زوجي.

الحالة الثانية

• n فردي
• إذن n = 2k+1 لعدد صحيح k
• إذن ^{، n²} = (2k+1) ^² = 4k² ⁺ 4k + 1 = 2(2k² ⁺ 2k) + 1، وهو عدد فردي.

بما أن الحالتين قد تم إثباتهما، فإن العبارة صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة n.

أثبت أنه إذا كان عدد صحيح مكعبًا كاملاً ، فيجب أن يكون إما مضاعفًا للعدد 9، أو أكبر بواحد من مضاعف العدد 9، أو أصغر بواحد من مضاعف العدد 9. ^{[ 5 ]}

البرهان : كل مكعب كامل هو مكعب عدد صحيح n ، حيث n إما مضاعف للعدد 3، أو أكبر بواحد من مضاعف للعدد 3، أو أصغر بواحد من مضاعف للعدد 3. لذا فإن هذه الحالات الثلاث شاملة:

• الحالة 1: إذا كان n = 3 p ، فإن n ³ = 27 p ³ ، وهو مضاعف للعدد 9.
• الحالة الثانية: إذا كان n = 3p  +  1، فإن ^n³ = 27p³ + 27p² ^{+ 9p} + 1 ، وهو ما يزيد بمقدار 1 عن مضاعف العدد 9. على سبيل المثال، إذا كان n = 4 فإن n³ = 64 = ⁹ × 7 + 1.          
• الحالة الثالثة: إذا كان n = 3p - 1، فإن n³ = 27p³ - 27p² + 9p -  1  ، وهو أقل بواحد ^من مضاعفات العدد 9. على سبيل ^المثال ، إذا كان n = 5 ، فإن ^n³ = 125 = ⁹ × 14 - 1 .           

يفضل علماء الرياضيات تجنب البراهين المطولة التي تعتمد على عدد كبير من الحالات، إذ تُعتبر هذه البراهين غير أنيقة . ويمكن تعريف الأناقة الرياضية بأنها حكم شخصي على برهان رياضي بناءً على بساطته وفعاليته. وغالبًا ما تتجلى في إيجاد أبسط طريقة للتعبير عن مفهوم معقد. ^{[ 6 ]} أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل هذه الطريقة تُعتبر غير أنيقة رياضيًا هو أنها تُستخدم على أفضل وجه في السيناريوهات ذات عدد محدود من النتائج. أما السيناريوهات ذات عدد كبير، أو لا نهائي، من النتائج، فسيكون إثباتها بهذه الطريقة أكثر صعوبة. ^{[ 7 ]} ومن الأمثلة على عدم أناقة هذه البراهين، البرهان التالي الذي يثبت أن جميع دورات الألعاب الأولمبية الصيفية الحديثة تُقام في سنوات تقبل القسمة على 4:

البرهان : أُقيمت أول دورة ألعاب أولمبية صيفية حديثة عام ١٨٩٦، ثم كل أربع سنوات بعد ذلك (مع إهمال الظروف الاستثنائية مثل تعطل جدول الألعاب بسبب الحرب العالمية الأولى والثانية وجائحة كوفيد-١٩ ). بما أن ١٨٩٦ = ٤٧٤ × ٤ يقبل القسمة على ٤، فإن الأولمبياد التالي سيكون في عام ٤٧٤ × ٤ + ٤ = (٤٧٤ + ١) × ٤، وهو أيضاً يقبل القسمة على ٤، وهكذا (هذا برهان بالاستقراء الرياضي ). لذلك، تم إثبات العبارة.

يمكن إثبات هذه العبارة أيضًا بالاستنفاد، وذلك بسرد جميع السنوات التي أقيمت فيها دورة الألعاب الأولمبية الصيفية، والتأكد من إمكانية قسمة كل منها على أربعة. وبوجود 28 دورة أولمبية صيفية حتى عام 2016، يُعد هذا إثباتًا بالاستنفاد في 28 حالة.

إضافةً إلى كونها أقل أناقة، فإن البرهان بالاستنفاد يتطلب حالة إضافية في كل مرة تُقام فيها دورة ألعاب أولمبية صيفية جديدة. وهذا يختلف عن البرهان بالاستقراء الرياضي، الذي يثبت صحة العبارة إلى أجل غير مسمى في المستقبل.

لا يوجد حد أقصى لعدد الحالات المسموح بها في البرهان بالاستنفاد. أحيانًا لا يتجاوز عددها حالتين أو ثلاث، ولكن قد يصل إلى آلاف أو حتى ملايين الحالات. على سبيل المثال، قد يتطلب حل لغز نهاية لعبة الشطرنج بدقة النظر في عدد كبير جدًا من المواضع المحتملة في شجرة اللعبة .

كان أول برهان لنظرية الألوان الأربعة برهانًا بالاستنزاف، وشمل 1834 حالة. ^{[ 8 ]} أثار هذا البرهان جدلًا واسعًا لأن معظم الحالات تم فحصها بواسطة برنامج حاسوبي، وليس يدويًا. ولا يزال أقصر برهان معروف لنظرية الألوان الأربعة حتى اليوم يتضمن أكثر من 600 حالة.

بشكل عام، يزداد احتمال الخطأ في البرهان ككل مع ازدياد عدد الحالات. فالبرهان الذي يتضمن عددًا كبيرًا من الحالات يوحي بأن صحة النظرية محض صدفة، وليست نابعة من مبدأ أو رابط أساسي. وتُعتبر أنواع أخرى من البراهين، كالبرهان بالاستقراء الرياضي ، أكثر أناقة . مع ذلك، توجد بعض النظريات المهمة التي لم يُعثر لها على طريقة برهان أخرى، مثل...

• البرهان على عدم وجود مستوى إسقاطي محدود من الرتبة 10.
• تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية .
• تخمين كيبلر .
• مسألة الأعداد الثلاثية في نظرية فيثاغورس المنطقية .

• خوارزمية المتحف البريطاني
• التدقيق بمساعدة الحاسوب
• الاستقراء التعدادي
• الاستقراء الرياضي
• البرهان بالتناقض
• إزالة الانفصال