الاختزال إلى العبث

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

رجل دين مسيحي أبيض ملتحٍ يرتدي ملابس حمراء يتجادل مع رجل دين مسيحي أبيض مسن متأمل يرتدي ملابس سوداء.
لوحة "الاختزال إلى العبث" للفنان جون بيتي ، عُرضت في الأكاديمية الملكية عام 1884

في المنطق ، يُعرف البرهان بالتناقض ( أو الاختزال إلى التناقض)، أو الحجة إلى التناقض ، أو البرهان بالتناقض ، بأنه أسلوبٌ يسعى إلى إثبات ادعاءٍ ما من خلال إظهار أن اتباع منطق قضيةٍ أو حجةٍ مناقضةٍ له سيؤدي إلى التناقض . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ورغم شيوع استخدامه في البراهين الرياضية ، إلا أن هذا النوع من البراهين غير البنّاء لا يُقبل في جميع المدارس الفكرية الرياضية . [ 5 ]

يعود أصل هذا الأسلوب في الاستدلال إلى الفلسفة اليونانية القديمة ، وقد استُخدم عبر التاريخ في كلٍّ من الاستدلال الرياضي والفلسفي الرسمي، وكذلك في المناظرات. في الرياضيات، تُعرف هذه التقنية باسم البرهان بالتناقض. أما في المنطق الصوري، فتُجسّد هذه التقنية بقاعدة الاستدلال بالبرهان بالتناقض .

بشكل أوسع، يُعدّ البرهان بالتناقض أي شكل من أشكال الاستدلال الذي يُثبت صحة عبارة ما بالوصول إلى تناقض معها، حتى وإن لم يكن الافتراض الأولي هو نفي العبارة المراد إثباتها. وبهذا المعنى العام، يُعرف البرهان بالتناقض أيضاً بالبرهان غير المباشر ، والبرهان بافتراض العكس ، [ 6 ] والبرهان بالاستحالة . [ 7 ]

وصف جي إتش هاردي البرهان بالتناقض بأنه "أحد أفضل أسلحة عالم الرياضيات"، قائلاً: "إنها مناورة أدق بكثير من أي مناورة في الشطرنج : قد يقدم لاعب الشطرنج تضحية بيدق أو حتى قطعة ، لكن عالم الرياضيات يقدم اللعبة." [ 8 ]

أمثلة

يمكن أن تتخذ النتيجة "العبثية" لحجة الاختزال إلى العبث أشكالاً متعددة، كما يتضح من الأمثلة التالية على الدحض بالتناقض:

  • لا يمكن أن تكون الأرض مسطحة ؛ وإلا، بما أن الأرض يفترض أنها محدودة في امتدادها، فسنجد الناس يسقطون من الحافة.
  • لا يوجد أصغر عدد نسبي موجب ؛ إذاq{\displaystyle q}إذا كانت أصغر عدد نسبي موجب، فإنq/2{\displaystyle q/2}سيكون عددًا نسبيًا موجبًا أصغر منq{\displaystyle q}لأنه يساوي نصفq{\displaystyle q}ولن يكون أصغر منq{\displaystyle q}لأن​​q{\displaystyle q}يُفترض أن يكون أصغر عدد نسبي موجب.

يُجادل المثال الأول بأن إنكار المقدمة سيؤدي إلى نتيجة سخيفة، تتعارض مع الأدلة الحسية ( الأدلة التجريبية ). [ 9 ] أما المثال الثاني فهو برهان رياضي بالتناقض (يُعرف أيضًا بالبرهان غير المباشر [ 10 ] )، والذي يُجادل بأن إنكار المقدمة سيؤدي إلى تناقض منطقي .q/2{\displaystyle q/2}أصغر من وليس أصغر منq{\displaystyle q}) . [ 11 ]

عادةً ما يتم البرهان الرياضي الذي يستخدم البرهان بالتناقض على النحو التالي:

  1. القضية المطلوب إثباتها هي P.
  2. نفترض أن P خاطئة، أي نفترض أن ¬P .
  3. ثم يُبين أن ¬P يستلزم الكذب. ويتم ذلك عادةً عن طريق استنتاج عبارتين متناقضتين، Q و ¬Q ، والاستناد إلى قانون عدم التناقض .
  4. بما أن افتراض أن P خاطئ يؤدي إلى تناقض، فإنه يتم استنتاج أن P صحيح في الواقع.

ومن الحالات الخاصة المهمة إثبات الوجود بالتناقض: من أجل إثبات أن كائنًا ما له خاصية معينة موجود، نستنتج تناقضًا من افتراض أن جميع الكائنات تحقق نفي الخاصية.

الفلسفة اليونانية

استُخدمت حجة البرهان بالخلف (Reductio ad absurdum) على نطاق واسع في الفلسفة اليونانية . ويُمكن العثور على أقدم مثال على هذه الحجة في قصيدة ساخرة تُنسب إلى زينوفانيس الكولوفوني (حوالي 570 - 475 قبل الميلاد ). [ 12 ] إذ ينتقد زينوفانيس نسبة هوميروس للعيوب البشرية إلى الآلهة، فيقول إن البشر يعتقدون أيضاً أن أجساد الآلهة تتخذ هيئة بشرية. ولكن لو كان بإمكان الخيول والثيران الرسم، لرسمت الآلهة بأجساد خيول وثيران. [ 13 ] ولا يمكن للآلهة أن تتخذ كلا الهيئتين، وهذا تناقض. وبالتالي، فإن نسبة الصفات البشرية الأخرى إلى الآلهة، كالعيوب البشرية، هي أيضاً خاطئة.

أثبت علماء الرياضيات اليونانيون قضايا أساسية باستخدام البرهان بالخلف . ويُعد كل من إقليدس الإسكندري (منتصف القرن الرابع - منتصف القرن الثالث قبل الميلاد) وأرخميدس السرقوسي (حوالي 287 - حوالي 212 قبل الميلاد) مثالين مبكرين للغاية. [ 14 ]

أثارت حوارات أفلاطون المبكرة (424-348 قبل الميلاد)، التي ربطت خطابات سقراط ، استخدامَ حجج الإثبات العكسي (reductio) ضمن منهج جدلي رسمي ( elenchus )، يُعرف أيضًا بالمنهج السقراطي . [ 15 ] عادةً، كان خصم سقراط يُدلي بما يبدو أنه ادعاء غير ضار. فيرد سقراط، عبر سلسلة متدرجة من الاستدلال، مُدخلاً افتراضات أساسية أخرى، ليُجبر الشخص على الاعتراف بأن ادعاءه أدى إلى نتيجة عبثية أو متناقضة، مما يُجبره على التخلي عن ادعائه وتبني موقف الحيرة ( aporia) . [ 10 ]

يعتمد الرد الجدلي على فرضية ثنائية ، يمكن تقسيمها إلى جزأين متنافيين تمامًا ، أحدهما فقط قد يكون صحيحًا. ثم يشرع سقراط في إثبات عكس الجزء المقبول عمومًا باستخدام قانون عدم التناقض. ووفقًا لغريغوري فلاستوس [ 16 ] ، تتضمن هذه الطريقة الخطوات التالية:

  1. يؤكد محاور سقراط على أطروحة، على سبيل المثال، "الشجاعة هي صبر النفس"، والتي يعتبرها سقراط خاطئة ويستهدفها للدحض.
  2. يحصل سقراط على موافقة محاوره على مزيد من المقدمات، على سبيل المثال، "الشجاعة شيء جيد" و"الصبر على الجهل ليس شيئًا جيدًا".
  3. ثم يجادل سقراط، ويوافقه المحاور، بأن هذه المقدمات الإضافية تعني عكس الأطروحة الأصلية، وفي هذه الحالة، تؤدي إلى: "الشجاعة ليست قدرة النفس على التحمل".
  4. ثم يدعي سقراط أنه أثبت أن أطروحة محاوره خاطئة وأن نفيها صحيح.

كانت هذه التقنية أيضًا محور عمل أرسطو (384-322 قبل الميلاد)، لا سيما في تحليلاته السابقة حيث أشار إليها على أنها إثبات للمستحيل ( اليونانية القديمة : ἡ εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπόδειξις ، أشعل. " إثبات المستحيل " ، 62 ب). [ 4 ]

مثال آخر على هذه التقنية موجود في مفارقة سوريتس ، ​​حيث قيل إنه إذا شكل مليون حبة رمل كومة، وإذا أزيلت حبة واحدة من كومة ما أبقتها كومة، فإن حبة رمل واحدة (أو حتى لا توجد حبات) تشكل كومة. [ 17 ]

الفلسفة البوذية

يرتكز جزء كبير من فلسفة المادْياماكا البوذية على إظهار كيف أن مختلف الأفكار الجوهرية تنتهي بنتائج عبثية من خلال حجج البرهان بالخلف (المعروفة باسم براسانغا ، أي "النتيجة" في اللغة السنسكريتية). في كتاب مولامادْياماكاكاريكا ، تُستخدم حجج البرهان بالخلف التي استخدمها ناغارجونا لإثبات أن أي نظرية عن الجوهر أو الماهية غير قابلة للاستمرار، وبالتالي، فإن الظواهر ( الدارما ) مثل التغيير والسببية والإدراك الحسي خالية ( سونيا ) من أي وجود جوهري. غالبًا ما يرى الباحثون أن الهدف الرئيسي لناغارجونا هو دحض جوهرية بعض مدارس الأبهيدارما البوذية (وخاصةً مدرسة فايبهاشيكا ) التي طرحت نظريات عن سفابهافا (الطبيعة الجوهرية)، وكذلك مدارس نيايا وفايشيشيكا الهندوسية التي طرحت نظرية عن المواد الأنطولوجية ( درافاتاس ). [ 18 ]

في الفقرة 13:5، يُريد ناجارجونا أن يُبيّن عواقب افتراض وجود الأشياء جوهريًا أو ذاتيًا، مُشيرًا إلى أنه إذا كان "الشاب" موجودًا في ذاته، فإنه يترتب على ذلك أنه لا يُمكن أن يشيخ (لأنه لن يكون "شابًا" بعد ذلك). عندما نحاول فصل الإنسان عن خصائصه (الشباب)، نجد أن كل شيء عُرضة للتغيير اللحظي، ولا يتبقى لنا شيء سوى الاصطلاح التعسفي الذي تعتمد عليه كيانات مثل "الشاب".

الشيء في ذاته لا يتغير.
الشيء المختلف لا يتغير.
لأن الشاب لا يشيخ.
ولأن الرجل العجوز لا يشيخ أيضاً. [ 19 ]

الفلسفة الحديثة

استخدم الفلاسفة المعاصرون أيضاً حجة التناقض في أعمالهم البحثية. ومن بين هؤلاء:

العلاقة بمبدأ عدم التناقض

أوضح أرسطو العلاقة بين التناقض والزيف في مبدأ عدم التناقض ، الذي ينص على أنه لا يمكن أن تكون القضية صحيحة وخاطئة في آن واحد. [ 28 ] [ 29 ] أي أن القضيةسؤال{\displaystyle Q}ونفيها¬سؤال{\displaystyle \lnot Q}لا يمكن أن يكون كل من (ليس- س ) صحيحًا. لذلك، إذا كانت القضية ونفيها متضمنين في مقدمة ما، فإن المقدمة خاطئة. هذه التقنية هي الطريقة الأكثر شيوعًا للوصول إلى تناقض في الحجج الرياضية.

الإضفاء الطابع الرسمي

يمكن التعبير عن المبدأ رسميًا بالصيغة الافتراضية ¬¬ P ⇒ P ، أو بشكل مكافئ (¬ P ⇒ ⊥) ⇒ P ، والتي تنص على: "إذا كان افتراض أن P خاطئ يستلزم الكذب، فإن P صحيح".

في الاستدلال الطبيعي، يتخذ المبدأ شكل قاعدة الاستدلال.

⊢¬¬P⊢P{\displaystyle {\cfrac {\vdash \lnot \lnot P}{\vdash P}}}

والتي تنص على: "إذا¬¬P{\displaystyle \lnot \lnot P}إذا ثبت ذلك، فـP{\displaystyle P}قد يتم التوصل إلى استنتاج.

في حساب المتتابعات، يُعبَّر عن المبدأ بالمتتابعة.

Γ،¬¬P⊢P،Δ{\displaystyle \Gamma ,\lnot \lnot P\vdash P,\Delta }

والتي تنص على: "الفرضياتΓ{\displaystyle \Gamma }و¬¬P{\displaystyle \lnot \lnot P}يستتبع ذلك الاستنتاجP{\displaystyle P}أوΔ{\displaystyle \Delta }"

التبرير

في المنطق الكلاسيكي، يمكن تبرير هذا المبدأ من خلال فحص جدول الصواب للقضية ¬¬P ⇒ P ، مما يثبت أنها تحصيل حاصل :

P¬P¬¬P¬¬P ⇒ P
تيFتيتي
FتيFتي

ثمة طريقة أخرى لتبرير هذا المبدأ وهي اشتقاقه من قانون الوسط المرفوع ، كما يلي: نفترض أن P غير مرفوعة ونسعى لإثباتها . وبحسب قانون الوسط المرفوع، فإن P إما مرفوعة أو غير مرفوعة.

  1. إذا كانت العبارة P صحيحة، فبالتأكيد ستكون العبارة P صحيحة.
  2. إذا كان ¬P صحيحًا، فإننا نستنتج الزيف من خلال تطبيق قانون عدم التناقض على ¬P و ¬¬P ، وبعد ذلك يسمح لنا مبدأ الانفجار باستنتاج P.

في كلتا الحالتين، أثبتنا P. واتضح أنه، على العكس من ذلك، يمكن استخدام البرهان بالتناقض لاستنتاج قانون الوسط المرفوع.

في حساب التتابعات الكلاسيكي، يمكن استنتاج برهان LK بالتناقض من قواعد الاستدلال الخاصة بالنفي:

 Γ،P⊢P،Δ(أنا)Γ،⊢¬P،P،Δ(¬R)Γ،¬¬P⊢P،Δ(¬ل){\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\ }{\Gamma ,P\vdash P,\Delta }}\;(I)}{\Gamma ,\vdash \lnot P,P,\Delta }}\;({\lnot }R)}{\Gamma ,\lnot \lnot P\vdash P,\Delta }}\;({\lnot }L)}

العلاقة مع تقنيات الإثبات الأخرى

الرد بالتناقض

إن البرهان بالتناقض يشبه الدحض بالتناقض ، [ 30 ] [ 31 ] والمعروف أيضًا باسم برهان النفي ، والذي ينص على أن ¬P يتم إثباته على النحو التالي:

  1. القضية المطلوب إثباتها هي ¬P .
  2. افترض أن P.
  3. استنباط الزيف.
  4. اختتم ¬P .

في المقابل، يتم إثبات التناقض على النحو التالي:

  1. القضية المطلوب إثباتها هي P.
  2. افترض أن ¬P .
  3. استنباط الزيف.
  4. اختتم بـ P.

من الناحية الرسمية، لا يتطابق هذان المفهومان، إذ لا يُطبَّق الدحض بالتناقض إلا عند نفي القضية المراد إثباتها، بينما يمكن تطبيق البرهان بالتناقض على أي قضية كانت. [ 32 ] في المنطق الكلاسيكي، حيثP{\displaystyle P}و¬¬P{\displaystyle \neg \neg P}يمكن استخدام المصطلحين بشكل متبادل، إلا أن التمييز بينهما غير واضح إلى حد كبير. ولذلك، في الممارسة الرياضية، يُشار إلى كلا المبدأين باسم "البرهان بالتناقض".

البرهان بالتناقض في المنطق الحدسي

في المنطق الحدسي، لا يُعدّ البرهان بالتناقض صحيحًا بشكل عام، على الرغم من إمكانية استنباط بعض الحالات الخاصة. في المقابل، يُعدّ كلٌّ من برهان النفي ومبدأ عدم التناقض صحيحين حدسيًا. [ 33 ]

يقدم تفسير بروير-هيتينغ-كولموغوروف للبرهان بالتناقض شرط الصلاحية الحدسية التالي: إذا لم تكن هناك طريقة لإثبات أن القضية خاطئة، فهناك طريقة لإثبات أن القضية صحيحة.

إذا اعتبرنا "الطريقة" تعني الخوارزمية ، فإن الشرط غير مقبول، لأنه سيسمح لنا بحل مشكلة التوقف . ولتوضيح ذلك، لننظر إلى العبارة H(M) التي تنص على أن " آلة تورينغ M تتوقف أو لا تتوقف". ونفيها ¬H(M) ينص على أن " M لا تتوقف ولا لا تتوقف"، وهو أمر خاطئ وفقًا لقانون عدم التناقض (وهو صحيح حدسيًا). لو كان البرهان بالتناقض صحيحًا حدسيًا، لحصلنا على خوارزمية لتحديد ما إذا كانت آلة تورينغ M تتوقف أم لا، مما ينتهك البرهان (الصحي حدسيًا) على عدم قابلية حل مشكلة التوقف .

القضية P التي تحقق¬¬P⇒P{\displaystyle \lnot \lnot P\Rightarrow P}يُعرف هذا النوع من القضايا بالقضايا المستقرة . لذا، في المنطق الحدسي، لا يكون البرهان بالتناقض صالحًا بشكل عام، بل يُطبق فقط على القضايا المستقرة. وتُعدّ القضية القابلة للتقرير مثالًا على هذه القضايا، أي التي تحقق الشرط التالي:P∨¬P{\displaystyle P\lor \lnot P}في الواقع، يمكن إعادة استخدام البرهان المذكور أعلاه، والذي ينص على أن قانون الوسط المرفوع يستلزم البرهان بالتناقض، لإظهار أن القضية القابلة للتقرير مستقرة من النوع ¬¬. ومن الأمثلة النموذجية على القضايا القابلة للتقرير عبارة يمكن التحقق منها عن طريق الحساب المباشر، مثل:ن{\displaystyle n}هو عدد أولي" أو "أ{\displaystyle a}يقسمب{\displaystyle b}".

أمثلة على البراهين بالتناقض

عناصر إقليدس

يمكن العثور على مثال مبكر للبرهان بالتناقض في كتاب العناصر لإقليدس ، الكتاب الأول، القضية 6: [ 34 ]

إذا كانت زاويتان في المثلث متساويتين، فإن الأضلاع المقابلة للزاويتين المتساويتين تكون متساوية أيضاً.

تعتمد البرهنة على افتراض أن الطرفين المتقابلين غير متساويين، وتستنتج تناقضًا. وبالمثل، تستخدم العديد من البراهين الأخرى الواردة في كتاب الأصول لإقليدس نفس استراتيجية البرهان، كما هو الحال في الكتاب السابع، القضية 33: [ 35 ]

إذا تم جمع ضلع السداسي وضلع العشاري المرسوم داخل نفس الدائرة، فإن الخط المستقيم بأكمله قد تم قطعه بنسبة قصوى ومتوسطة، ويكون الجزء الأكبر منه هو ضلع السداسي.

نظرية هيلبرت الصفرية

قدّم ديفيد هيلبرت برهانًا مؤثرًا بالتناقض . تنصّ حجته الصفرية (Nullstellensatz) على ما يلي :

لوو1،...،وك{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}إذا كانت كثيرات الحدود في n غير محددة بمعاملات مركبة ، وليس لها أصفار مركبة مشتركة ، فإنه يوجد كثيرات حدودز1،...،زك{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}بحيثو1ز1+...+وكزك=1.{\displaystyle f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}=1.}

أثبت هيلبرت صحة العبارة بافتراض عدم وجود كثيرات حدود من هذا القبيلز1،...،زك{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}وخلص إلى تناقض. [ 36 ]

عدد لا نهائي من الأعداد الأولية

تنص نظرية إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. في كتاب إقليدس " الأصول "، وردت النظرية في الكتاب التاسع، القضية 20: [ 37 ]

الأعداد الأولية أكبر من أي مجموعة محددة من الأعداد الأولية.

بحسب الصيغة الرسمية للعبارة السابقة، يتخذ البرهان المعتاد إما شكل البرهان بالتناقض أو شكل الدحض بالتناقض. نعرض هنا الشكل الأول، ونوضح أدناه كيفية إجراء البرهان كدحض بالتناقض.

إذا عبّرنا رسمياً عن نظرية إقليدس على أنها تقول أنه لكل عدد طبيعين{\displaystyle n}إذا كان هناك عدد أولي أكبر منه، فإننا نستخدم البرهان بالتناقض، كما يلي.

بإعطاء أي عددن{\displaystyle n}نسعى لإثبات وجود عدد أولي أكبر منن{\displaystyle n}لنفترض، على العكس من ذلك، أنه لا يوجد عدد أولي p (تطبيق للبرهان بالتناقض). عندئذٍ، تكون جميع الأعداد الأولية أصغر من أو تساوين{\displaystyle n}ويمكننا تشكيل القائمةص1،...،صك{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}من بينهم جميعًا. دعP=ص1⋅...⋅صك{\displaystyle P=p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{k}}أن يكون ناتج ضرب جميع الأعداد الأولية وسؤال=P+1{\displaystyle Q=P+1}. لأنسؤال{\displaystyle Q}إذا كان أكبر من جميع الأعداد الأولية، فهو ليس عددًا أوليًا، وبالتالي يجب أن يكون قابلاً للقسمة على أحدها، على سبيل المثالصأنا{\displaystyle p_{i}}الآن كلاهماP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}قابلة للقسمة علىصأنا{\displaystyle p_{i}}وبالتالي فإن اختلافهما كذلكسؤال-P=1{\displaystyle QP=1}لكن هذا غير ممكن لأن 1 لا يقبل القسمة على أي عدد أولي. ومن ثم، لدينا تناقض، وبالتالي يوجد عدد أولي أكبر منن{\displaystyle n}.

أمثلة على الردود بالتناقض

تُعرف الأمثلة التالية عادةً باسم البراهين بالتناقض، ولكنها تستخدم رسميًا أسلوب الدحض بالتناقض (وبالتالي فهي صحيحة حدسيًا). [ 38 ]

عدد لا نهائي من الأعداد الأولية

تنص نظرية إقليدس ، في كتابه الأصول التاسع، القضية 20، على ما يلي: [ 37 ]

الأعداد الأولية أكبر من أي مجموعة محددة من الأعداد الأولية.

يمكننا تفسير العبارة على أنها تعني أنه لكل قائمة منتهية من الأعداد الأولية، يوجد عدد أولي آخر غير موجود في تلك القائمة، وهو ما يُعدّ أقرب إلى صياغة إقليدس الأصلية، بل ويتوافق معها في جوهرها. في هذه الحالة، يستخدم برهان إقليدس أسلوب التناقض في خطوة واحدة، كما يلي.

بالنظر إلى أي قائمة منتهية من الأعداد الأوليةص1،...،صن{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}، سيتم إثبات وجود عدد أولي إضافي واحد على الأقل غير موجود في هذه القائمة. ليكنP=ص1⋅ص2⋯صن{\displaystyle P=p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}}أن يكون نتاج جميع الأعداد الأولية المدرجة وص{\displaystyle p}عامل رئيسي منP+1{\displaystyle P+1}ربماP+1{\displaystyle P+1}نفسها. ندعي ذلك.ص{\displaystyle p}ليس هذا العدد ضمن قائمة الأعداد الأولية المعطاة. لنفترض، على العكس من ذلك، أنه موجود (تطبيق لمبدأ الدحض بالتناقض). عندئذٍص{\displaystyle p}سيؤدي ذلك إلى تقسيم كليهماP{\displaystyle P}و P+1{\displaystyle P+1}وبالتالي فإن اختلافهما أيضاً هو1{\displaystyle 1}وهذا يُعطي تناقضاً، حيث لا يوجد عدد أولي يقسم 1.

لا عقلانية الجذر التربيعي للعدد 2

البرهان الكلاسيكي على أن الجذر التربيعي للعدد 2 عدد غير نسبي هو برهان بالتناقض. [ 39 ] في الواقع، شرعنا في إثبات النفي ¬ ∃ a, b ∈شمال{\displaystyle \mathbb {N} }. a/b = √ 2 بافتراض وجود أعداد طبيعية a و b التي نسبتها هي الجذر التربيعي لاثنين، واستنتاج تناقض.

لنفترض أن √2 عدد نسبي ، [ 40 ] لذا يمكن كتابته على صورة كسر a/b في أبسط صورة ، حيث a و b عددان صحيحان لا يوجد بينهما عوامل مشتركة. يسمح لنا هذا الافتراض بتطبيق البرهان بالتناقض. [ 41 ] بتربيع الطرفين نحصل على 2 = a²/b²، مما يعني أن a² = 2b². [ 42 ] بالتالي، a² عدد زوجي ، ومن ثمّ يجب أن يكون a زوجيًا أيضًا. لنفترض أن a = 2k لعدد صحيح k. بالتعويض في المعادلة نحصل على (2k)² = 2b²، والتي تُبسط إلى 4k² = 2b²، أو b² = 2k². إذن، b² عدد زوجي، وبالتالي يجب أن يكون b زوجيًا أيضًا. هذا يُظهر أن كلاً من a و b عددان زوجيان، وهو ما يناقض الافتراض بأن a/b كان في أبسط صورة. لذلك، الافتراض الأصلي خاطئ، و √2 عدد غير نسبي . [ 40 ]

البرهان بالانحدار اللانهائي

البرهان بالانحدار اللانهائي هو أسلوب إثبات يتم من خلاله إثبات عدم وجود أصغر كائن ذي خاصية مرغوبة على النحو التالي:

  • افترض أن هناك أصغر جسم يتمتع بالخاصية المطلوبة.
  • أثبت أن هناك جسمًا أصغر حجمًا يتمتع بالخاصية المطلوبة، وبالتالي استنتج تناقضًا.

هذا النوع من البرهان هو دحض بالتناقض. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك برهان القضية "لا يوجد عدد نسبي موجب أصغر": لنفترض وجود عدد نسبي موجب أصغر q، ثم نستنتج تناقضًا بملاحظة أن q / 2 أصغر من q ومع ذلك فهو موجب .

مفارقة راسل

مفارقة راسل ، التي تُصاغ من منظور نظرية المجموعات على النحو التالي: "لا توجد مجموعة عناصرها هي بالضبط تلك المجموعات التي لا تحتوي على نفسها"، هي عبارة منفية يكون برهانها المعتاد هو دحضها بالتناقض.

الترميز

تنتهي البراهين بالتناقض أحيانًا بعبارة "تناقض!". استخدم إسحاق بارو وبيرمان الرمز QEA، اختصارًا لعبارة " quod est absurdum " ("وهو أمرٌ سخيف")، على غرار QED ، لكن هذا الرمز نادر الاستخدام اليوم. [ 43 ] من الرموز البيانية التي تُستخدم أحيانًا للدلالة على التناقضات سهم متعرج متجه للأسفل يُشبه رمز "البرق" (U+21AF: ↯)، كما في كتاب ديفي وبريستلي . [ 44 ] ومن الرموز الأخرى التي تُستخدم أحيانًا زوج من الأسهم المتقابلة (مثل→←{\displaystyle \rightarrow \!\leftarrow }أو⇒⇐{\displaystyle \Rightarrow \!\Leftarrow })، أسهم مشطوبة (↮{\displaystyle \nleftrightarrow }), شكل منمق من علامة التجزئة (مثل U+2A33: ⨳)، أو "علامة المرجع" (U+203B: ※)، أو××{\displaystyle \times \!\!\!\!\times }[ 45 ] [ 46 ]​

إثبات النظريات آلياً

في الإثبات الآلي للنظريات، تعتمد طريقة الحل على البرهان بالتناقض. أي أنه لإثبات أن عبارة معينة مستنتجة من فرضيات معينة، يفترض المُثبت الآلي الفرضيات ونفي العبارة، ويحاول استنتاج تناقض. [ 47 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مورتنسن، كريس. "الرياضيات غير المتسقة" . موسوعة ستانفورد للفلسفة .
  2. ^ "اختزال الإعلان السخيف" . ميريام-webster.com . تم الاسترجاع في 27 نوفمبر 2019 .
  3. ↑ "reductio ad absurdum" . قاموس كولينز الإنجليزي (الطبعة الثانية عشرة الكاملة وغير المختصرة ). 2014 [1991] . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أكتوبر 2016 – عبر موقع thefreedictionary.com. 
  4. 1 2 ريشر، نيكولاس. "الاختزال إلى العبث" . موسوعة الإنترنت للفلسفة . تم الاسترجاع في 21 يوليو 2009 .
  5. ↑ بيشوب، إيريت (1967). أسس التحليل البنّاء . نيويورك: دار النشر الأكاديمية. ISBN 4-87187-714-0.
  6. ↑ "البرهان بالتناقض" . edc.org . مركز تطوير التعليم، مؤسسة "صنع الرياضيات" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يونيو 2026 .
  7. ↑ "reductio ad impossible" . قاموس أكسفورد الأساسي للمصطلحات الأجنبية في اللغة الإنجليزية . تم الاطلاع عليه في 25 يونيو 2026 – عبر oxfordreference.com.
  8. ↑ هاردي، جي إتش ( 1992). اعتذار عالم رياضيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 19. ISBN  9780521427067.
  9. ↑ ديلانسي، كريج (27 مارس 2017)، "8. الاختزال إلى العبث" ، مقدمة موجزة في المنطق ، كتب جامعة ولاية نيويورك المفتوحة ، تم الاطلاع عليه في 31 أغسطس 2021
  10. 1 2 نوردكويست، ريتشارد. "البرهان بالخلف في الحجة" . ThoughtCo . تم ​​الاسترجاع في 27 نوفمبر 2019 .
  11. ↑ هوارد-سنايدر، فرانسيس؛ هوارد-سنايدر، دانيال؛ واسرمان، رايان (30 مارس 2012). قوة المنطق ( الطبعة الخامسة). ماكجرو-هيل للتعليم العالي. ISBN  978-0078038198.
  12. ↑ دايجل، روبرت و. (1991). "حجة الإثبات بالخلف قبل أرسطو" . رسالة ماجستير . جامعة ولاية سان خوسيه . تم الاطلاع عليها بتاريخ 22 أغسطس 2012 .
  13. ↑ "الاختزال إلى العبث - التعريف والأمثلة" . الأساليب الأدبية . 18 مايو 2014. تم الاطلاع عليه في 31 أغسطس 2021 .
  14. ↑ إقليدس (1996). جويس، ديفيد (محرر). "الكتاب الأول" . العناصر . تم الاسترجاع في 23 ديسمبر 2017 - عبر قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب، جامعة كلارك.
  15. ↑ بوبزيان، سوزان (2006). "المنطق القديم" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أغسطس 2012 .
  16. ↑ غريغوري فلاستوس، "الحوار السقراطي"، دراسات أكسفورد في الفلسفة القديمة I ، أكسفورد 1983، 27-58.
  17. ↑ هايد ورافمان 2018 .
  18. ↑ واسلر، جوزيف. ناجارجونا في سياقه. نيويورك: مطبعة جامعة كولومبيا. 2005، الصفحات 225-263.
  19. ↑ غارفيلد 1995 ، ص 210.
  20. ↑ بيك، لويس وايت (1975). الممثل والمتفرج . نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-01899-1.
  21. ↑ بيك، لويس وايت (17 نوفمبر 1975). "الممثل والمتفرج" . مطبعة جامعة ييل - عبر PhilPapers.
  22. ↑ ميدجلي، ماري (أبريل 1977). " الممثل والمتفرج بقلم لويس وايت بيك". المجلة الفلسفية الفصلية . مراجعة كتاب. 27 (107). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد للجمعية الفلسفية الاسكتلندية وجامعة سانت أندروز: 185-186 . doi : 10.2307/2219438 . JSTOR 2219438 . 
  23. ↑ غريفيث، ستيفن (يوليو 1977). " الممثل والمتفرج بقلم لويس بيك". المجلة الفلسفية . مراجعة كتاب. 86 (3). جامعة ديوك: 418-421 . doi : 10.2307/2183800 . JSTOR 2183800 . 
  24. ↑ مايرز، ديانا ت. (1992). "مراجعة كتاب: حول الحرب والأخلاق، روبرت ل. هولمز" (ملف PDF) . المجلة الفلسفية . 101 (2): 481-484 . doi : 10.2307/2185583 . JSTOR 2185583 . 
  25. ↑ روك، ستيفن ر. (1989). "مراجعة الأعمال: حول الحرب والأخلاق، روبرت ل. هولمز؛ مسارات السلام: استكشاف جدوى السلام المستدام، ريتشارد سموك، ويليس هارمان" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية للعلوم السياسية . 83 (4): 1447-1448 . doi : 10.2307/1961738 . JSTOR 1961738 . 
  26. ↑ لي، ستيفن (1992). "مراجعة عمل: حول الحرب والأخلاق، روبرت ل. هولمز" (ملف PDF) . نوس . 26 (4): 559-562 . doi : 10.2307/2216042 . JSTOR 2216042 . 
  27. ↑ هولمز، روبرت ل. (14 يوليو 2014). في الحرب والأخلاق . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-1-4008-6014-2.
  28. ↑ زيمبينسكي، زيغمونت (2013). المنطق العملي . سبرينغر. ص 95. ISBN  978-9401756044.
  29. ↑ فيرغسون، توماس ماكولي؛ بريست، غراهام (2016). قاموس المنطق . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 146. ISBN  978-0192511553.
  30. ↑ مؤلفو nLab. "الدحض بالتناقض" . nLab . المراجعة 7. تم الاسترجاع في 25 يونيو 2026 .
  31. ↑ هاماك، ريتشارد (2022). "الفصل 9: دحض الإثبات". كتاب البرهان (ملف PDF) ( الطبعة الثالثة). رقم ISBN  978-0-9894721-2-8تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 23 سبتمبر 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يونيو 2026 – عبر موقع vcu.edu.
  32. ↑ باور، أندريه (29 مارس 2010). "إثبات النفي والإثبات بالتناقض" . الرياضيات والحساب . تم الاسترجاع في 26 أكتوبر 2021 .
  33. ↑ موشوفاكيس، جوان (2024). "المنطق الحدسي" . في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران). موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة صيف 2024 ). مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد . تم الاطلاع عليه في 5 أبريل 2025 – عبر plato.stanford.edu. 
  34. ↑ إقليدس (1996). جويس، ديفيد (محرر). "الكتاب 1، القضية 6" . العناصر . تم الاسترجاع في 2 أكتوبر 2022 - عبر قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب، جامعة كلارك.
  35. ↑ إقليدس (1996). جويس، ديفيد (محرر). "الكتاب 7، القضية 33" . العناصر . تم الاسترجاع في 2 أكتوبر 2022 - عبر قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب، جامعة كلارك.
  36. ^ هيلبرت ، ديفيد (1893). "Ueber die vollen Invariantensysteme" . الرياضيات أنالن . 42 (3): 313-373 . دوى : 10.1007 / BF01444162 .
  37. 1 2 إقليدس (1996). جويس، ديفيد (محرر). "الكتاب 9، القضية 20" . العناصر . تم الاسترجاع في 2 أكتوبر 2022 - عبر قسم الرياضيات وعلوم الحاسوب، جامعة كلارك.
  38. ↑ باور، أندريه (2017). "خمس مراحل لقبول الرياضيات البنائية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 54 (3): 481-498 . doi : 10.1090/bull/1556 .
  39. ↑ ألفيلد، بيتر (16 أغسطس 1996). "لماذا الجذر التربيعي للعدد 2 عدد غير نسبي؟" . فهم الرياضيات، دليل دراسي . قسم الرياضيات، جامعة يوتا . تم الاطلاع عليه في 6 فبراير 2013 .
  40. 1 2 إريك، جريجرسن (16 يناير 2026). "عدد غير عقلاني" . الموسوعة البريطانية . تم الاسترجاع في 21 أبريل 2025 .
  41. ↑ فيلمان، دانيال ج. (2019). كيف تثبت ذلك: منهج منظم ( الطبعة الثالثة). كامبريدج ؛ نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN   978-1-108-42418-9.
  42. ↑ روزن، كينيث هـ. (2019). الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها ( الطبعة الثامنة). نيويورك: ماكجرو هيل للتعليم. ISBN  978-1-259-67651-2.
  43. ↑ "مناقشات منتدى الرياضيات" .
  44. ↑ ديفي، ب.؛ بريستلي، هـ. أ. (2002). "فهرس الرموز". مقدمة في الشبكات والترتيب . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 286. 
  45. ↑ هاردغري، غاري. "الفصل 2" (ملف PDF) . مقدمة في المنطق الموجه . ص. II-2. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 7 يونيو 2011.
  46. ↑ "قائمة رموز LaTeX الشاملة" (ملف PDF) . ctan.org . ص 20. 
  47. ↑ "الحل الخطي" . من المنطق إلى البرمجة المنطقية . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. 1994. الصفحات 93-120 . doi : 10.7551/mitpress/3133.003.0007 . ISBN  978-0-262-28847-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 ديسمبر 2023 .

مصادر