تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

في الرياضيات ، تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية هو نتيجة لنظرية المجموعات التي تنص على أن كل مجموعة بسيطة منتهية إما أن تكون دورية ، أو متناوبة ، أو تنتمي إلى فئة واسعة لا نهائية تسمى مجموعات من نوع لي ، أو أنها واحدة من ستة وعشرين استثناءً، تسمى متفرقة ( تُعتبر مجموعة تيتس أحيانًا مجموعة متفرقة لأنها ليست مجموعة من نوع لي بدقة ، ^[1] وفي هذه الحالة سيكون هناك 27 مجموعة متفرقة). يتكون الدليل من عشرات الآلاف من الصفحات في عدة مئات من المقالات الصحفية التي كتبها حوالي 100 مؤلف، نُشرت في الغالب بين عامي 1955 و2004.

يمكن اعتبار المجموعات البسيطة بمثابة اللبنات الأساسية لجميع المجموعات المنتهية ، مما يذكرنا بالطريقة التي تكون بها الأعداد الأولية اللبنات الأساسية للأعداد الطبيعية (لا يمكن بناء العدد/الأعداد الطبيعية 0 و/أو 1 من الأعداد الأولية). نظرية جوردان-هولدر هي طريقة أكثر دقة لبيان هذه الحقيقة حول المجموعات المنتهية. ومع ذلك، فإن الاختلاف الكبير عن تحليل العوامل الصحيحة هو أن مثل هذه "اللبنات الأساسية" لا تحدد بالضرورة مجموعة فريدة، حيث قد يكون هناك العديد من المجموعات غير المتماثلة بنفس سلسلة التركيب أو، بعبارة أخرى، لا تحتوي مشكلة التمديد على حل فريد.

يقوم دانييل جورنشتاين وريتشارد ليونز ورونالد سولومون بنشر نسخة مبسطة ومنقحة من الدليل تدريجيًا.

تستخدم نظرية التصنيف في العديد من فروع الرياضيات، حيث يمكن أحيانًا اختزال الأسئلة حول بنية المجموعات المحدودة (وتأثيرها على الكائنات الرياضية الأخرى) إلى أسئلة حول المجموعات البسيطة المحدودة. وبفضل نظرية التصنيف، يمكن أحيانًا الإجابة على مثل هذه الأسئلة من خلال التحقق من كل عائلة من المجموعات البسيطة وكل مجموعة متفرقة.

أعلن دانييل جورنشتاين في عام 1983 أن المجموعات البسيطة المحدودة قد تم تصنيفها جميعًا، لكن هذا كان سابقًا لأوانه لأنه كان قد تلقى معلومات خاطئة حول دليل تصنيف مجموعات الكواسيثين . أعلن أشباخر (2004) الدليل الكامل للتصنيف بعد أن نشر أشباخر وسميث دليلاً مكونًا من 1221 صفحة لحالة الكواسيثين المفقودة.

كتب جورنشتاين (1982، 1983) مجلدين يوضحان الجزء الخاص بالرتبة المنخفضة والجزء الخاص بالخصائص الفردية من الإثبات، وكتب مايكل أشباخر وريتشارد ليونز وستيفن د. سميث وآخرون (2011) مجلدًا ثالثًا يغطي الحالة الخاصة بالخصائص المتبقية 2. يمكن تقسيم الإثبات إلى عدة أجزاء رئيسية على النحو التالي:

تتكون المجموعات البسيطة من الرتبة المنخفضة 2 في الغالب من مجموعات من نوع لاي من الرتبة الصغيرة فوق حقول ذات خصائص فردية، إلى جانب خمس مجموعات متناوبة وسبع مجموعات مميزة من النوع 2 وتسع مجموعات متفرقة.

تتضمن المجموعات البسيطة ذات الرتبة الصغيرة 2 ما يلي:

• مجموعات من رتبة 2 0، أو بعبارة أخرى مجموعات من رتبة فردية، والتي يمكن حلها جميعًا بواسطة نظرية فيت-تومسون .
• مجموعات من رتبة 2-1. مجموعات Sylow الفرعية 2 إما أن تكون دورية، وهو أمر سهل التعامل معه باستخدام خريطة النقل، أو رباعية معممة ، والتي يتم التعامل معها باستخدام نظرية Brauer-Suzuki : على وجه الخصوص لا توجد مجموعات بسيطة من رتبة 2-1 باستثناء المجموعة الدورية من الدرجة الثانية.
• مجموعات من رتبة 2. أظهر ألبرين أن المجموعة الفرعية سايلو يجب أن تكون ثنائية السطوح أو شبه ثنائية السطوح أو مكللة أو مجموعة فرعية سايلو 2 من U ₃ (4). تم إجراء الحالة الأولى بواسطة نظرية جورنشتاين-والتر التي أظهرت أن المجموعات البسيطة الوحيدة متماثلة مع L ₂ ( q ) لـ q فردي أو A ₇ ، تم إجراء الحالتين الثانية والثالثة بواسطة نظرية ألبرين-براور-جورينستين والتي تعني أن المجموعات البسيطة الوحيدة متماثلة مع L ₃ ( q ) أو U ₃ ( q ) لـ q فردي أو M ₁₁ ، وتم إجراء الحالة الأخيرة بواسطة ليونز الذي أظهر أن U ₃ (4) هو الاحتمال البسيط الوحيد.
• مجموعات من المقاطع المكونة من رتبتين بحد أقصى 4، مصنفة حسب نظرية جورنشتاين-هارادا .

إن تصنيف مجموعات الرتب الصغيرة من 2، وخاصة الرتب التي لا تزيد عن 2، يستخدم بشكل كبير نظرية الشخصية العادية والمعيارية، والتي نادرًا ما تستخدم بشكل مباشر في أي مكان آخر في التصنيف.

يمكن تقسيم جميع المجموعات التي لا تنتمي إلى رتبة 2 صغيرة إلى فئتين رئيسيتين: مجموعات من النوع المكون ومجموعات من النوع المميز 2. وذلك لأنه إذا كانت المجموعة تحتوي على رتبة 2 مقطعية على الأقل 5، فقد أظهر ماكويليامز أن مجموعاتها الفرعية Sylow 2 متصلة، وتشير نظرية التوازن إلى أن أي مجموعة بسيطة بها مجموعات فرعية Sylow 2 متصلة تكون إما من النوع المكون أو من النوع المميز 2. (بالنسبة للمجموعات ذات الرتبة 2 المنخفضة، ينهار إثبات هذا، لأن نظريات مثل نظرية دالة الإشارة تعمل فقط للمجموعات التي تحتوي على مجموعات فرعية أبيلية أولية من الرتبة 3 على الأقل.)

يقال إن المجموعة من نوع مكون إذا كان لبعض المركزيات C للتراجع، C / O ( C ) مكون (حيث O ( C ) هو جوهر C ، المجموعة الفرعية الطبيعية القصوى من الدرجة الفردية). هذه هي إلى حد ما مجموعات من نوع لي ذات الخاصية الفردية ذات الرتبة الكبيرة، والمجموعات المتناوبة، جنبًا إلى جنب مع بعض المجموعات المتفرقة. تتمثل الخطوة الرئيسية في هذه الحالة في إزالة عائق جوهر التراجع. يتم تحقيق ذلك من خلال نظرية B ، التي تنص على أن كل مكون من C / O ( C ) هو صورة لمكون من C.

الفكرة هي أن هذه المجموعات لها مركزية للتراجع مع مكون هو مجموعة شبه بسيطة أصغر، والتي يمكن افتراض أنها معروفة بالفعل عن طريق الاستقراء. لذلك لتصنيف هذه المجموعات، نأخذ كل امتداد مركزي لكل مجموعة بسيطة محدودة معروفة، ونجد جميع المجموعات البسيطة التي تحتوي على مركزية للتراجع مع هذا كمكون. وهذا يعطي عددًا كبيرًا إلى حد ما من الحالات المختلفة للتحقق منها: لا توجد فقط 26 مجموعة متفرقة و16 عائلة من مجموعات من نوع لي والمجموعات المتناوبة، ولكن أيضًا العديد من المجموعات ذات الرتبة الصغيرة أو فوق الحقول الصغيرة تتصرف بشكل مختلف عن الحالة العامة ويجب التعامل معها بشكل منفصل، والمجموعات من نوع لي ذات الخصائص الزوجية والفردية مختلفة تمامًا أيضًا.

تكون المجموعة من النوع 2 إذا كانت المجموعة الفرعية الملائمة المعممة F *( Y ) لكل مجموعة فرعية محلية 2 Y عبارة عن مجموعة 2. وكما يوحي الاسم، فهذه هي المجموعات من نوع لاي تقريبًا على حقول الخاصية 2، بالإضافة إلى حفنة من المجموعات الأخرى التي تكون متناوبة أو متقطعة أو ذات خاصية فردية. يتم تقسيم تصنيفها إلى حالات الرتبة الصغيرة والكبيرة، حيث تكون الرتبة هي أكبر رتبة لمجموعة فرعية أبيلية فردية تطبيع مجموعة فرعية 2 غير تافهة، والتي غالبًا (ولكن ليس دائمًا) تكون هي نفس رتبة جبر كارتان الفرعي عندما تكون المجموعة مجموعة من نوع لاي في الخاصية 2.

المجموعات من الرتبة 1 هي المجموعات الرقيقة، التي صنفها آشباشر، والمجموعات من الرتبة 2 هي المجموعات شبه السيثينية الشهيرة ، التي صنفها آشباشر وسميث. وتتوافق هذه المجموعات تقريبًا مع مجموعات من نوع لاي من الرتب 1 أو 2 على حقول الخاصية 2.

تنقسم المجموعات ذات الرتبة 3 على الأقل إلى 3 فئات بواسطة نظرية التقسيم الثلاثي ، التي أثبتها آشباشر للرتبة 3 وجورينستين وليونز للرتبة 4 على الأقل. الفئات الثلاث هي مجموعات من نوع GF(2) (مصنفة بشكل أساسي بواسطة تيمسفيلد)، ومجموعات من "النوع القياسي" لبعض الأعداد الأولية الفردية (مصنفة بواسطة نظرية جيلمان-جريس وعمل العديد من الآخرين)، ومجموعات من نوع التفرد، حيث تعني نتيجة آشباشر أنه لا توجد مجموعات بسيطة. تتكون حالة الرتبة الأعلى العامة في الغالب من مجموعات من نوع لاي على حقول من الخاصية 2 من الرتبة 3 أو 4 على الأقل.

إن الجزء الرئيسي من التصنيف ينتج توصيفًا لكل مجموعة بسيطة. ومن الضروري بعد ذلك التحقق من وجود مجموعة بسيطة لكل توصيف وأنها فريدة. وهذا يعطي عددًا كبيرًا من المشكلات المنفصلة؛ على سبيل المثال، بلغ مجموع الأدلة الأصلية لوجود وتفرد مجموعة الوحش حوالي 200 صفحة، وكان تحديد مجموعات ري بواسطة تومسون وبومبييري أحد أصعب أجزاء التصنيف. استخدمت العديد من أدلة الوجود وبعض أدلة التفرد للمجموعات المتفرقة في الأصل حسابات الكمبيوتر، والتي تم استبدال معظمها منذ ذلك الحين بإثباتات يدوية أقصر.

في عام 1972 أعلن جورنشتاين (1979، الملحق) عن برنامج لاستكمال تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، ويتكون البرنامج من الخطوات الست عشرة التالية:

1. المجموعات ذات الرتبة المنخفضة 2. وقد تم ذلك بشكل أساسي بواسطة جورنشتاين وهارادا، اللذان صنفا المجموعات ذات الرتبة القطاعية 2 على الأكثر بـ 4. وقد تم تنفيذ معظم حالات الرتبة 2 على الأكثر بـ 2 بحلول الوقت الذي أعلن فيه جورنشتاين عن برنامجه.
2. شبه بساطة الطبقتين. تكمن المشكلة في إثبات أن الطبقتين المركزيتين للانطواء في مجموعة بسيطة شبه بسيطة.
3. الشكل القياسي في الخاصية الفردية. إذا كانت المجموعة تحتوي على انكماش بمكونين من نوع لي في الخاصية الفردية، فإن الهدف هو إظهار أنها تحتوي على مركز انكماش في "الشكل القياسي"، أي أن مركز الانكماش يحتوي على مكون من نوع لي في الخاصية الفردية ويحتوي أيضًا على مركز انكماش من الدرجة 2.
4. تصنيف المجموعات من النوع الفردي. تكمن المشكلة في إظهار أنه إذا كانت المجموعة تحتوي على مركزية للتراجع في "الشكل القياسي"، فإنها تكون مجموعة من نوع لي ذات خاصية فردية. وقد تم حل هذه المشكلة من خلال نظرية التراجع الكلاسيكية لأشباخر .
5. نموذج شبه قياسي
6. الالتفافات المركزية
7. تصنيف المجموعات المتبادلة.
8. بعض المجموعات المتفرقة
9. المجموعات الرفيعة. المجموعات الرفيعة البسيطة المحدودة، تلك التي لها رتبة p محلية 2 بحد أقصى 1 للأعداد الأولية الفردية p ، تم تصنيفها بواسطة Aschbacher في عام 1978
10. المجموعات التي تحتوي على مجموعة فرعية مدمجة بقوة في p بالنسبة لـ p odd
11. طريقة المتجه المشير للأعداد الأولية الفردية. المشكلة الرئيسية هي إثبات نظرية المتجه المشير للأعداد الأولية غير القابلة للحل. وقد حلها ماكبرايد في عام 1982.
12. المجموعات ذات النوع p المميز . هذه هي مشكلة المجموعات ذات المجموعة الفرعية المحلية 2-المضمنة بقوة في p مع p فردي، والتي تم التعامل معها بواسطة Aschbacher.
13. مجموعة الكواسيتين. مجموعة الكواسيتين هي مجموعة تحتوي مجموعاتها الفرعية المحلية 2 على رتبة p بحد أقصى 2 لجميع الأعداد الأولية الفردية p ، والمشكلة هي تصنيف الأعداد البسيطة من النوع المميز 2. وقد أكمل Aschbacher وSmith هذا في عام 2004.
14. مجموعات ذات رتبة 3 محلية منخفضة. تم حل هذه المشكلة بشكل أساسي من خلال نظرية الثلاثية لأشباخر للمجموعات التي بها e ( G )=3. التغيير الرئيسي هو استبدال رتبة 3 المحلية 2 برتبة p المحلية 2 للأعداد الأولية الفردية.
15. مركزيات العناصر الثلاثة في الشكل القياسي. تم ذلك أساسًا من خلال نظرية التقسيم الثلاثي .
16. تصنيف المجموعات البسيطة من النوع المميز 2. تم التعامل مع هذا الأمر من خلال نظرية جيلمان-جريس ، مع استبدال العناصر المكونة من 3 عناصر بعناصر p للأعداد الأولية الفردية.

تم أخذ العديد من العناصر في الجدول أدناه من Solomon (2001). التاريخ المذكور هو عادةً تاريخ نشر الإثبات الكامل لنتيجة ما، والذي يكون أحيانًا بعد عدة سنوات من الإثبات أو الإعلان الأول عن النتيجة، لذا تظهر بعض العناصر بالترتيب "الخاطئ".

تاريخ	تطوير
1832	يقدم جالوا مجموعات فرعية طبيعية ويجد المجموعات البسيطة A n ( n ≥ 5) و PSL 2 ( F p ) ( p ≥ 5)
1854	كايلي يحدد المجموعات المجردة
1861	يصف ماثيو أول مجموعتين ماثيو M 11 و M 12 ، أول مجموعات بسيطة متفرقة، ويعلن عن وجود M 24 .
1870	يعدد جوردان بعض المجموعات البسيطة: المجموعات الخطية الخاصة المتناوبة والإسقاطية، ويؤكد على أهمية المجموعات البسيطة.
1872	يثبت سيلاو نظريات سيلاو
1873	يقدم ماثيو ثلاث مجموعات ماثيو أخرى M 22 ، M 23 ، M 24 .
1892	يثبت هولدر أن ترتيب أي مجموعة بسيطة منتهية غير أبيلية يجب أن يكون حاصل ضرب أربعة أعداد أولية على الأقل (ليس بالضرورة متميزة)، ويطلب تصنيفًا للمجموعات البسيطة المنتهية.
1893	يصنف كول المجموعات البسيطة من الدرجة حتى 660
1896	بدأ فروبينيوس وبيرنسايد دراسة نظرية خصائص المجموعات المحدودة.
1899	يصنف بيرنسايد المجموعات البسيطة بحيث يكون مركز كل تراجع عبارة عن مجموعة أبيلية أولية غير تافهة مكونة من 2 مجموعة.
1901	يثبت فروبينيوس أن مجموعة فروبينيوس لها نواة فروبينيوس، لذا فهي ليست بسيطة على وجه الخصوص.
1901	يقوم ديكسون بتعريف المجموعات الكلاسيكية على حقول محدودة عشوائية، والمجموعات الاستثنائية من النوع G2 على حقول ذات خصائص فردية.
1901	يقدم ديكسون المجموعات البسيطة المحدودة الاستثنائية من النوع E 6 .
1904	يستخدم بيرنسايد نظرية الشخصية لإثبات نظرية بيرنسايد التي تنص على أن ترتيب أي مجموعة بسيطة محدودة غير أبيلية يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 3 أعداد أولية مميزة على الأقل.
1905	يقدم ديكسون مجموعات بسيطة من النوع G 2 على حقول ذات خصائص متساوية
1911	يفترض بيرنسايد أن كل مجموعة بسيطة محدودة غير أبيلية لها ترتيب زوجي
1928	يثبت هول وجود مجموعات هول الفرعية للمجموعات القابلة للحل
1933	يبدأ هول دراسته للمجموعات p
1935	يبدأ براور دراسة الشخصيات المعيارية .
1936	يصنف زاسنهاوس المجموعات التبديلية المحدودة ذات الثلاث متعدية بشكل حاد
1938	يقدم Fitting المجموعة الفرعية Fitting ويثبت نظرية Fitting التي تنص على أنه بالنسبة للمجموعات القابلة للحل فإن المجموعة الفرعية Fitting تحتوي على مركزها.
1942	يصف براور الأحرف المعيارية للمجموعة القابلة للقسمة على عدد أولي للقوة الأولى.
1954	يصنف براور المجموعات البسيطة مع GL 2 ( F q ) باعتبارها المركز للتراجع.
1955	تشير نظرية براور -فاولر إلى أن عدد المجموعات البسيطة المحدودة ذات مركزية الالتفاف المحددة هو عدد محدود، مما يشير إلى هجوم على التصنيف باستخدام مركزيات الالتفاف.
1955	يقدم Chevalley مجموعات Chevalley ، ويقدم على وجه الخصوص مجموعات بسيطة استثنائية من الأنواع F 4 و E 7 و E 8 .
1956	تصف نظرية هول-هيجمان إمكانيات الحد الأدنى لكثيرة الحدود لعنصر من رتبة القوة الأولية لتمثيل مجموعة قابلة للحل p .
1957	يُظهِر سوزوكي أن جميع مجموعات CA البسيطة المحدودة من الترتيب الفردي هي مجموعات دورية.
1958	تقوم نظرية براور-سوزوكي-وول بتوصيف المجموعات الخطية الخاصة الإسقاطية من الرتبة 1، وتصنف مجموعات CA البسيطة .
1959	يقدم شتاينبرغ مجموعات شتاينبرغ ، ويعطي بعض المجموعات البسيطة المحدودة الجديدة، من النوع 3 D 4 و 2 E 6 (تم العثور على الأخيرة بشكل مستقل في نفس الوقت تقريبًا بواسطة تيتس).
1959	تظهر نظرية براور-سوزوكي حول المجموعات ذات المجموعات الفرعية المعممة رباعية الأبعاد سيلو 2 على وجه الخصوص أنه لا يوجد أي منها بسيط.
1960	يثبت تومسون أن المجموعة التي لها شكل ذاتي ثابت خالٍ من النقطة من الدرجة الأولية هي مجموعة عديمة القدرة.
1960	يُظهر فيت ومارشال هول وتومسون أن جميع مجموعات CN البسيطة المحدودة من الرتبة الفردية تكون دورية.
1960	تقدم سوزوكي مجموعات سوزوكي ، مع النوعين 2 ب 2 .
1961	يقدم ري مجموعات ري ، مع النوعين 2 F 4 و 2 G 2 .
1963	أثبت فيت وثومبسون مبرهنة الترتيب الفردي .
1964	يقدم تيتس أزواج BN لمجموعات من نوع لاي ويجد مجموعة تيتس
1965	تصنف نظرية جورنشتاين -والتر المجموعات باستخدام مجموعة فرعية ثنائية السطوح من نوع سيلو 2.
1966	يثبت جلاوبرمان نظرية Z*
1966	يقدم جانكو مجموعة جانكو J1 ، وهي أول مجموعة متفرقة جديدة منذ حوالي قرن من الزمان.
1968	يثبت جلاوبرمان نظرية ZJ
1968	هيجمان وسيمز يقدمان مجموعة هيجمان-سيمز
1968	كونواي يقدم مجموعات كونواي
1969	تصنف نظرية والتر المجموعات باستخدام مجموعتين فرعيتين من سايلو أبيلي
1969	مقدمة لمجموعة سوزوكي المتفرقة ، ومجموعة جانكو J2 ، ومجموعة جانكو J3 ، ومجموعة ماكلولين ، ومجموعة هيلد .
1969	يقدم جورنشتاين محولات الإشارة بناءً على أفكار تومسون.
1970	يُظهِر ماكويليامز أن المجموعتين البسيطتين اللتين لا تحتويان على مجموعة فرعية أبيلية طبيعية من الرتبة 3 تحتويان على مجموعة فرعية من الرتبة 2 على الأكثر من الرتبة 4. (تم تصنيف المجموعات البسيطة التي تحتوي على مجموعات فرعية من سيلاو تلبي الشرط الأخير فيما بعد بواسطة جورنشتاين وهارادا.)
1970	قدم بيندر المجموعة الفرعية للتجهيز المعممة
1970	تصنف نظرية ألبرين -براور-جورينستين المجموعات ذات المجموعات الفرعية شبه ثنائية السطوح أو المتوجة من نوع سيلو، مما يكمل تصنيف المجموعات البسيطة من رتبة 2 على الأكثر.
1971	فيشر يقدم مجموعات فيشر الثلاث
1971	يصنف تومسون الأزواج التربيعية
1971	يصنف بيندر المجموعة بالمجموعة الفرعية المضمنة بقوة
1972	يقترح جورنشتاين برنامجًا مكونًا من 16 خطوة لتصنيف المجموعات البسيطة المحدودة؛ ويتبع التصنيف النهائي مخططه بشكل وثيق.
1972	ليونز يقدم مجموعة ليونز
1973	تقدم Rudvalis مجموعة Rudvalis
1973	يكتشف فيشر مجموعة الوحوش الصغيرة (غير منشورة)، والتي يستخدمها فيشر وجريس لاكتشاف مجموعة الوحوش ، مما يقود تومسون إلى مجموعة تومسون المتفرقة ونورتون إلى مجموعة هارادا-نورتون (التي وجدها هارادا أيضًا بطريقة مختلفة).
1974	يصنف تومسون المجموعات N ، وهي مجموعات تكون جميع مجموعاتها الفرعية المحلية قابلة للحل.
1974	تصنف نظرية جورنشتاين -هارادا المجموعات البسيطة من الرتبة المقطعية 2 إلى 4 كحد أقصى، وتقسم المجموعات البسيطة المحدودة المتبقية إلى مجموعات من النوع المكون ومجموعات من النوع المميز 2.
1974	تظهر الثديات أن المجموعات التي تحتوي على أزواج BN من الرتبة 3 على الأقل هي مجموعات من نوع Lie
1974	يصنف Aschbacher المجموعات باستخدام نواة مناسبة تم إنشاؤها بواسطة 2
1975	يثبت جورنشتاين ووالتر نظرية التوازن L
1976	يثبت جلاوبرمان نظرية المتجه الإشاري القابلة للحل
1976	يثبت أشباخر نظرية المكونات ، موضحًا تقريبًا أن المجموعات ذات النوع الفردي التي تلبي بعض الشروط لها مكون في شكل قياسي. تم تصنيف المجموعات ذات المكون في شكل قياسي في مجموعة كبيرة من الأوراق التي كتبها العديد من المؤلفين.
1976	يقدم أونان مجموعة أونان
1976	يقدم جانكو مجموعة جانكو J4 ، وهي آخر مجموعة متفرقة تم اكتشافها
1977	يصف آشباخر مجموعات من نوع لي ذات الخاصية الفردية في نظريته الكلاسيكية حول الانحدار . وبعد هذه النظرية، التي تتناول بمعنى ما "معظم" المجموعات البسيطة، كان هناك شعور عام بأن نهاية التصنيف أصبحت وشيكة.
1978	يثبت تيمسفيلد نظرية O2 الخاصة الإضافية، مما يؤدي إلى تقسيم تصنيف مجموعات من نوع GF(2) إلى عدة مشاكل أصغر.
1978	يصنف أشباخر المجموعات المحدودة الرقيقة ، والتي هي في الغالب مجموعات من الرتبة 1 من نوع لاي على حقول ذات خصائص متساوية.
1981	يستخدم بومبيري نظرية الإزالة لإكمال عمل تومسون في توصيف مجموعات ري ، وهي واحدة من أصعب خطوات التصنيف.
1982	يثبت ماكبرايد نظرية المتجه الإشاري لجميع المجموعات المحدودة.
1982	يقوم جريس ببناء مجموعة الوحوش يدويًا
1983	تصنف نظرية جيلمان-جريس مجموعات من النوع المميز 2 وتصنف على الأقل في المرتبة 4 بمكونات قياسية، وهي إحدى الحالات الثلاث لنظرية التثليث.
1983	يثبت أشباخر أنه لا توجد مجموعة منتهية تلبي فرضية حالة التفرد ، وهي إحدى الحالات الثلاث التي أعطتها نظرية الثلاثية للمجموعات من النوع المميز 2.
1983	يثبت جورينستين وليونز نظرية الثلاثية للمجموعات ذات النوع المميز 2 والرتبة 4 على الأقل، بينما يقوم أشباخر بحالة الرتبة 3. وهذا يقسم هذه المجموعات إلى 3 حالات فرعية: حالة التفرد، ومجموعات من نوع GF(2)، ومجموعات ذات مكون قياسي.
1983	يعلن جورنشتاين أن إثبات التصنيف أصبح كاملاً، وهو أمر سابق لأوانه إلى حد ما، حيث أن إثبات قضية الكواسيثين لم يكن كاملاً.
1985	قام كونواي، وكيرتس، ونورتون، وباركر، وويلسون، وثاكري بنشر أطلس المجموعات المحدودة الذي يحتوي على معلومات أساسية حول 93 مجموعة بسيطة محدودة.
1994	بدأ جورنشتاين وليونز وسولومون في نشر التصنيف المنقح
2004	ينشر أشباخر وسميث أعمالهما حول مجموعات الكواسيثين (وهي في الغالب مجموعات من نوع لاي من الرتبة بحد أقصى 2 فوق حقول الخصائص الزوجية)، مما يملأ الفجوة الأخيرة في التصنيف المعروف في ذلك الوقت.
2008	يملأ هارادا وسولومون فجوة بسيطة في التصنيف من خلال وصف المجموعات بمكون قياسي يمثل غطاء لمجموعة ماثيو M22 ، وهي الحالة التي تم حذفها عن طريق الخطأ من إثبات التصنيف بسبب خطأ في حساب مضاعف شور لـ M22.
2012	أعلن غونتييه وزملاؤه عن نسخة تم فحصها بواسطة الكمبيوتر من نظرية فيت-ثومبسون باستخدام مساعد إثبات Coq . [2]

يمكن أن نطلق على إثبات النظرية، كما كان قائمًا في عام 1985 أو نحو ذلك، اسم الجيل الأول . ونظرًا للطول الشديد لإثبات الجيل الأول، فقد تم بذل الكثير من الجهود لإيجاد إثبات أبسط، يُسمى إثبات التصنيف من الجيل الثاني . وقد قاد دانييل جورنشتاين هذا الجهد، الذي يُسمى "المراجعة"، في الأصل .

اعتبارًا من عام 2023 ^[update]، تم نشر عشرة مجلدات من إثبات الجيل الثاني (Gorenstein، Lyons & Solomon 1994، 1996، 1998، 1999، 2002، 2005، 2018a، 2018b؛ & Capdeboscq، 2021، 2023). في عام 2012، قدر سليمان أن المشروع سيحتاج إلى 5 مجلدات أخرى، لكنه قال إن التقدم فيها كان بطيئًا. ومن المقدر أن تملأ الإثبات الجديد في النهاية حوالي 5000 صفحة. (ينبع هذا الطول جزئيًا من كتابة إثبات الجيل الثاني بأسلوب أكثر استرخاءً.) ومع ذلك، مع نشر المجلد 9 من سلسلة GLS، بما في ذلك مساهمة Aschbacher-Smith، تم الوصول إلى هذا التقدير بالفعل، مع وجود العديد من المجلدات الأخرى لا تزال قيد الإعداد (بقية ما كان مخصصًا في الأصل للمجلد 9، بالإضافة إلى المجلدين 10 و11 المتوقعين). كتب أشباخر وسميث مجلدين مخصصين لقضية الكواسيثين بطريقة تجعل هذين المجلدين جزءًا من دليل الجيل الثاني.

وقد قدم جورنشتاين وزملاؤه عدة أسباب تجعل من الممكن التوصل إلى دليل أبسط.

• الأمر الأكثر أهمية هو أن البيان النهائي الصحيح للنظرية أصبح معروفًا الآن. يمكن تطبيق تقنيات أبسط معروفة بكونها مناسبة لأنواع المجموعات التي نعرفها بأنها بسيطة ومحدودة. على النقيض من ذلك، لم يكن أولئك الذين عملوا على إثبات الجيل الأول يعرفون عدد المجموعات المتفرقة الموجودة، وفي الواقع تم اكتشاف بعض المجموعات المتفرقة (على سبيل المثال، مجموعات جانكو ) أثناء إثبات حالات أخرى من نظرية التصنيف. ونتيجة لذلك، تم إثبات العديد من أجزاء النظرية باستخدام تقنيات كانت عامة للغاية.
• ولأن النتيجة كانت غير معروفة، فإن إثبات الجيل الأول يتألف من العديد من النظريات المستقلة، التي تتعامل مع حالات خاصة مهمة. وكان قدر كبير من العمل في إثبات هذه النظريات مخصصًا لتحليل العديد من الحالات الخاصة. وفي حالة وجود إثبات أكبر وأكثر تنظيمًا، يمكن تأجيل التعامل مع العديد من هذه الحالات الخاصة حتى يمكن تطبيق أقوى الافتراضات. والثمن الذي يتم دفعه بموجب هذه الاستراتيجية المنقحة هو أن هذه النظريات من الجيل الأول لم تعد تحتوي على براهين قصيرة نسبيًا، بل تعتمد بدلاً من ذلك على التصنيف الكامل.
• تتداخل العديد من نظريات الجيل الأول، وبالتالي تقسم الحالات المحتملة بطرق غير فعّالة. ونتيجة لذلك، تم تحديد العائلات والعائلات الفرعية للمجموعات البسيطة المحدودة عدة مرات. يزيل الدليل المنقح هذه التكرارات من خلال الاعتماد على تقسيم مختلف للحالات.
• يمتلك منظرو المجموعة المحدودة خبرة أكبر في هذا النوع من التمارين، ولديهم تقنيات جديدة تحت تصرفهم.

أطلق Aschbacher (2004) على العمل الذي قام به Ulrich Meierfrankenfeld وBernd Stellmacher وGernot Stroth وعدد قليل من الآخرين على مشكلة التصنيف اسم برنامج الجيل الثالث . أحد أهداف هذا البرنامج هو معالجة جميع المجموعات في الخاصية 2 بشكل موحد باستخدام طريقة الملغم.

ناقش جورنشتاين بعض الأسباب التي قد تؤدي إلى عدم وجود دليل قصير للتصنيف مماثل لتصنيف مجموعات لاي المدمجة .

• السبب الأكثر وضوحًا هو أن قائمة المجموعات البسيطة معقدة للغاية: مع وجود 26 مجموعة متفرقة، من المحتمل أن يكون هناك العديد من الحالات الخاصة التي يجب مراعاتها في أي إثبات. حتى الآن لم يجد أحد وصفًا موحدًا واضحًا للمجموعات البسيطة المحدودة على غرار معلمة مجموعات لي المدمجة بواسطة مخططات دينكين .
• اقترح عطية وآخرون أن التصنيف يجب أن يتم تبسيطه من خلال إنشاء بعض الأجسام الهندسية التي تعمل عليها المجموعات ثم تصنيف هذه الهياكل الهندسية. المشكلة هي أنه لم يتمكن أحد من اقتراح طريقة سهلة للعثور على مثل هذه البنية الهندسية المرتبطة بمجموعة بسيطة. بمعنى ما، يعمل التصنيف من خلال العثور على هياكل هندسية مثل أزواج BN ، لكن هذا لا يأتي إلا في نهاية تحليل طويل وصعب للغاية لبنية مجموعة بسيطة محدودة.
• هناك اقتراح آخر لتبسيط الإثبات وهو الاستفادة بشكل أكبر من نظرية التمثيل . تكمن المشكلة هنا في أن نظرية التمثيل تبدو وكأنها تتطلب سيطرة صارمة للغاية على المجموعات الفرعية للمجموعة حتى تعمل بشكل جيد. بالنسبة للمجموعات ذات الرتبة الصغيرة، يتمتع المرء بمثل هذه السيطرة وتعمل نظرية التمثيل بشكل جيد للغاية، ولكن بالنسبة للمجموعات ذات الرتبة الأكبر لم ينجح أحد في استخدامها لتبسيط التصنيف. في الأيام الأولى للتصنيف، كان هناك جهد كبير بُذل لاستخدام نظرية التمثيل، لكن هذا لم يحقق نجاحًا كبيرًا في حالة الرتبة الأعلى.

يتضمن هذا القسم بعض النتائج التي تم إثباتها باستخدام تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة.

• تخمين شراير
• نظرية المتجه للإشارة
• التخمين ب
• نظرية شور-زاسينهاوس لجميع المجموعات (على الرغم من أنها تستخدم فقط نظرية فيت-ثومبسون ).
• تحتوي مجموعة التباديل المتعدية في مجموعة منتهية تحتوي على أكثر من عنصر على عنصر ثابت خالٍ من النقاط من رتبة القوة الأولية.
• تصنيف مجموعات التبديلات المتعدية 2 .
• تصنيف مجموعات التبديلات من المرتبة 3 .
• تخمين سيمز [ ^3]
• تخمين فروبينيوس حول عدد حلول x ⁿ = 1 .

• نظرية أونان-سكوت

• Aschbacher, Michael (2004). "حالة تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة" (PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . المجلد 51، العدد 7. ص 736-740.
• Aschbacher, Michael ; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة: مجموعات من النوع المميز 2، دراسات وأبحاث رياضية، المجلد 172، رقم ISBN 978-0-8218-5336-8
• كونواي، جون هورتون ؛ كورتيس، روبرت تورنر؛ نورتون، سيمون فيليبس ؛ باركر، ريتشارد أ ؛ ويلسون، روبرت أرنوت (1985)، أطلس المجموعات المحدودة: المجموعات الفرعية القصوى والخصائص العادية للمجموعات البسيطة ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-853199-9
• جورنشتاين، د. (1979)، "تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة. 1. المجموعات البسيطة والتحليل المحلي"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 1 (1): 43-199، doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 ، ISSN  0002-9904، MR  0513750
• جورنشتاين، د. (1982)، المجموعات البسيطة المحدودة ، سلسلة الجامعة في الرياضيات، نيويورك: Plenum Publishing Corp.، ISBN 978-0-306-40779-6السيد 0698782 ​
• جورنشتاين، د. (1983)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة. المجلد 1. مجموعات من النوع غير المميز 2 ، سلسلة الجامعة في الرياضيات، بلنوم برس، رقم ISBN 978-0-306-41305-6السيد 0746470 ​
• دانييل جورنشتاين (1985)، "النظرية الضخمة"، مجلة ساينتفك أمريكان ، 1 ديسمبر 1985، المجلد 253، العدد 6، ص 104-115.
• جورنشتاين، د. (1986)، "تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 14 (1): 1-98، doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 ، ISSN  0002-9904، MR  0818060
• جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1994)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-0334-9السيد 1303592 ​
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1996)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 2، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-0390-5السيد 1358135 ​
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1998)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 3، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-0391-2السيد 1490581 ​
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (1999)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 4. الجزء الثاني، الفصول 1-4: نظريات التفرد، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-1379-9السيد 1675976 ​
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2002)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 5، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-2776-5، السيد  1923000
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2005)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 6: الجزء الرابع: الحالة الفردية الخاصة، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-2777-2السيد 2104668 ​
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2018)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 7: الجزء الثالث، الفصول 7-11: الحالة العامة، المرحلتان 3ب و4أ، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-4069-6السيد 3752626 ​
  • جورنشتاين، د . ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2018)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 8: الجزء الثالث، الفصول 12-17: الحالة العامة، مكتملة، دراسات وأبحاث رياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-1-4704-4189-0السيد 3887657 ​
  • كابديبوسك، إينا؛ جورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2021)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 9: الجزء الخامس، الفصول من 1 إلى 8: النظرية C 5 والنظرية C 6، المرحلة 1، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-1-4704-6437-0السيد 4244365 ​
  • كابديبوسك، إينا؛ جورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد ؛ سولومون، رونالد (2023)، تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة، العدد 10: الجزء الخامس، الفصول من 9 إلى 17: النظرية C 6 والنظرية C 4 ∗، الحالة أ، المسوحات والدراسات الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-1-4704-7553-6السيد 4656413 ​
• مارك رونان ، التناظر والوحش ، ISBN 978-0-19-280723-6 ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2006. (مقدمة موجزة للقارئ العادي) 
• ماركوس دو سوتوي ، البحث عن ضوء القمر ، دار النشر فورث إستيت، 2008، رقم ISBN 978-0-00-721461-7 (مقدمة أخرى للقارئ العادي. نُشرت الطبعة الأمريكية في عام 2009 تحت عنوان التناظر: رحلة إلى أنماط الطبيعة) 
• رون سولومون (1995) "حول المجموعات البسيطة المحدودة وتصنيفها"، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . (ليست تقنية للغاية وجيدة في التاريخ. نُشرت النسخة الأمريكية في عام 2009 تحت عنوان "التناظر: رحلة في أنماط الطبيعة").
• سليمان، رونالد (2001)، "تاريخ موجز لتصنيف المجموعات البسيطة المحدودة" (PDF) ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 38 (3): 315-352، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00909-0 ، ISSN  0002-9904، MR  1824893، تم أرشفته (PDF) من الأصل في 2001-06-15– مقال فاز بجائزة ليفي إل. كونانت للعرض
• تومسون، جون ج. (1984)، "المجموعات المحدودة غير القابلة للحل"، في جرونبيرج، كيه دبليو؛ روزبليد، جيه إي (المحرران)، نظرية المجموعات. مقالات لفيليب هول ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك بريس ، ص. 1-12، رقم ISBN 978-0-12-304880-6السيد 0780566 ​
• ويلسون، روبرت أ. (2009)، المجموعات البسيطة المحدودة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 251، المجلد 251، برلين، نيويورك: دار نشر سبرينغر ، doi :10.1007/978-1-84800-988-2، ISBN 978-1-84800-987-5، زبل  1203.20012

• أطلس تمثيلات المجموعات المحدودة. قاعدة بيانات قابلة للبحث عن التمثيلات والبيانات الأخرى للعديد من المجموعات البسيطة المحدودة.
• إلويس، ريتشارد، "نظرية هائلة: تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة"، مجلة بلس ، العدد 41، ديسمبر 2006. للعامة.
• Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. تم أرشفته في 2005-04-04 على موقع Wayback Machine يتضمن قائمة بجميع المجموعات البسيطة غير الإبلية حتى الدرجة 10 ¹⁰ .
• بأي معنى يكون تصنيف جميع المجموعات المحدودة "مستحيلا"؟
• أورنيس، ستيفن (2015). "الباحثون يتسابقون لإنقاذ النظرية الهائلة قبل اختفاء برهانها العملاق". ساينتفك أمريكان . 313 (1): 68-75. doi :10.1038/scientificamerican0715-68. PMID  26204718.
• "أين وصلت أدلة الجيل الثاني (والثالث) لتصنيف المجموعات البسيطة المنتهية؟". MathOverflow .(تم التحديث آخر مرة في فبراير 2024)