البراهين والردود

كتاب "البراهين والتفنيدات: منطق الاكتشاف الرياضي" (1976) للفيلسوف إيمري لاكاتوس، يشرح فيه رؤيته لتطور الرياضيات . كُتب الكتاب على شكل سلسلة من الحوارات السقراطية بين مجموعة من الطلاب يناقشون البراهين المقترحة لصيغة أويلر متعددة السطوح . يتمحور موضوعه الرئيسي حول فكرة أن التعريفات ليست ثابتة لا تتغير، بل غالبًا ما تحتاج إلى تعديل في ضوء الاكتشافات اللاحقة، ولا سيما البراهين التي لم تُكلل بالنجاح . وهذا ما يضفي على الرياضيات طابعًا تجريبيًا. في نهاية المقدمة، يوضح لاكاتوس أن هدفه هو تحدي الشكلية في الرياضيات ، وبيان أن الرياضيات غير الرسمية تنمو من خلال منطق "البراهين والتفنيدات".

يستند كتاب "البراهين والتفنيدات" الصادر عام 1976 إلى الفصول الثلاثة الأولى من أطروحته للدكتوراه التي نُشرت عام 1961، والتي تتألف من أربعة فصول، بعنوان "مقالات في منطق الاكتشاف الرياضي" . إلا أن الفصل الأول منه هو تنقيح لاكاتوس نفسه للفصل الأول الذي نُشر لأول مرة بعنوان " البراهين والتفنيدات" في أربعة أجزاء في الفترة 1963-1964 في المجلة البريطانية لفلسفة العلوم .

يشرح الكتاب العديد من الأفكار المنطقية الهامة. فعلى سبيل المثال، يناقش الفرق بين المثال المضاد للفرضية ( ما يسمى "المثال المضاد المحلي") والمثال المضاد للفرضية المحددة قيد الطعن (ما يسمى "المثال المضاد الشامل" لخاصية أويلر، في هذه الحالة). ^{[ 1 ]}

يدعو لاكاتوس إلى نوع مختلف من الكتب الدراسية، كتاب يستخدم أسلوبًا استدلاليًا. ويرد على النقاد الذين يقولون إن مثل هذا الكتاب سيكون طويلًا جدًا قائلًا: "الجواب على هذه الحجة المبتذلة هو: فلنجرب".

يحتوي الكتاب على ملحقين. في الأول، يقدم لاكاتوس أمثلة على العملية الاستدلالية في الاكتشاف الرياضي. وفي الثاني، يقارن بين المنهجين الاستنتاجي والاستدلالي، ويقدم تحليلاً استدلالياً لبعض المفاهيم "المولدة بالبرهان"، بما في ذلك التقارب المنتظم ، والتغير المحدود ، وتعريف كاراثيودوري للمجموعة القابلة للقياس.

أسماء التلاميذ في الكتاب مستوحاة من حروف الأبجدية اليونانية.

على الرغم من أن الكتاب مكتوب بأسلوب سردي، إلا أنه يهدف إلى تطوير منهجية بحثية فعلية قائمة على "الأدلة والردود". في الملحق الأول، يلخص لاكاتوس هذه المنهجية من خلال قائمة المراحل التالية:

1. التخمين البدائي.
2. البرهان (تجربة فكرية أو حجة تقريبية، تقوم بتفكيك التخمين الأولي إلى تخمينات فرعية).
3. تظهر أمثلة مضادة "عالمية" (أمثلة مضادة للفرضية البدائية).
4. أُعيد فحص البرهان: تم رصد "اللمة المذنبة" التي يُعدّ المثال المضاد العالمي لها مثالًا مضادًا "محليًا". ربما ظلت هذه اللمة المذنبة "خفية" سابقًا أو ربما تم تحديدها بشكل خاطئ. الآن أصبحت واضحة، ومُدمجة في التخمين الأولي كشرط. النظرية - التخمين المُحسّن - تحل محل التخمين الأولي مع المفهوم الجديد المُستخلص من البرهان كميزة جديدة رئيسية.

ويستمر في ذكر مراحل أخرى قد تحدث أحياناً:

5. يتم فحص براهين النظريات الأخرى لمعرفة ما إذا كانت اللمة المكتشفة حديثًا أو المفهوم الجديد الناتج عن البرهان يظهر فيها: قد يتم العثور على هذا المفهوم عند مفترق طرق البراهين المختلفة، وبالتالي يظهر على أنه ذو أهمية أساسية.
6. تم التحقق من النتائج المقبولة حتى الآن للفرضية الأصلية التي تم دحضها الآن.
7. تتحول الأمثلة المضادة إلى أمثلة جديدة - وتنفتح مجالات جديدة للبحث.

تمت ترجمة الكتاب الصادر عام 1976 إلى أكثر من 15 لغة حول العالم، بما في ذلك الصينية والكورية والصربية الكرواتية والتركية، وصدرت طبعته الصينية الثانية في عام 2007.

قام عدد من معلمي الرياضيات بتطبيق طريقة لاكاتوس في البراهين والردود في الفصول الدراسية، عند تدريس مواضيع رياضية أخرى. ^{[ 2 ]} وقد طُبقت هذه الطريقة على تحليل وعرض حلول المسائل في الميكانيكا من قبل طلاب المرحلة الثانوية وحتى الجامعية. ^{[ 3 ]}

أدرجت الجمعية الرياضية الأمريكية هذا الكتاب ضمن قائمة الكتب التي تعتبرها "ضرورية لمكتبات الرياضيات الجامعية". ^{[ 4 ]}

• لاكاتوس، إيمري (1976)، البراهين والتفنيدات ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-29038-4 ورقم ISBN 978-0-521-29038-8قام جون وورال وإيلي زاهر بتحرير هذا الكتاب الذي صدر بعد وفاتهما.
• غابور كوتروفاتز، فلسفة إيمري لاكاتوس للرياضيات ، جامعة إيوتفوس لوراند، 2005.