الشكلية (فلسفة الرياضيات)

في فلسفة الرياضيات ، يُعرّف الشكلانية بأنها وجهة النظر التي ترى أن عبارات الرياضيات والمنطق يمكن اعتبارها عباراتٍ حول نتائج معالجة السلاسل (متواليات أبجدية رقمية من الرموز، عادةً على شكل معادلات) باستخدام قواعد معالجة مُحددة. وتتمثل الفكرة المحورية للشكلانية في أن الرياضيات ليست مجموعة من القضايا التي تُمثل قطاعًا مُجردًا من الواقع، بل هي أقرب إلى لعبة، لا تُلزم المرء بأي شكل من الأشكال بعلم وجود الأشياء أو الخصائص، تمامًا كما هو الحال في لعبة اللودو أو الشطرنج . ^{[ 1 ]}

بحسب المنهج الشكلي، لا تتعلق العبارات الرياضية بالأعداد أو المجموعات أو المثلثات أو أي كائنات رياضية أخرى، كما هو الحال في العبارات الفيزيائية التي تتعلق بالأجسام المادية. بل هي تعبيرات نحوية بحتة ، سلاسل رمزية تُعالج وفق قواعد محددة دون معنى جوهري. لا تكتسب هذه التعبيرات الرمزية تفسيرًا (أو دلالة ) إلا عندما نختار إسناده إليها، تمامًا كما تتبع قطع الشطرنج قواعد الحركة دون أن تمثل كيانات من العالم الحقيقي. يتناقض هذا الرأي تناقضًا صارخًا مع الواقعية الرياضية ، التي ترى أن الكائنات الرياضية موجودة بالفعل في عالم مجرد.

برزت المذهب الشكلي كرد فعل على أزمات تأسيسية في الرياضيات خلال أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، ولا سيما المخاوف المتعلقة بمفارقات نظرية المجموعات والتساؤلات حول اتساق الأنظمة الرياضية. وهو يمثل أحد المناهج الفلسفية الثلاثة الرئيسية في الرياضيات التي تطورت خلال هذه الفترة، إلى جانب المنطق والحدسية ، مع أن المذهب الشكلي يشمل طيفًا أوسع من المواقف مقارنةً بهذه الآراء المحددة بدقة. ومن بين الشكليين، كان عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت الأكثر تأثيرًا، حيث طور ما عُرف ببرنامج هيلبرت لإرساء اتساق الرياضيات من خلال أساليب شكلية بحتة. ^{[ 2 ]}

حاول رواد المنهج الرياضي الشكلي الأوائل "منع أو تجنب أو التحايل (بطريقة ما) على أي التزام وجودي بمجال إشكالي من الكائنات المجردة". ^{[ 3 ]} يُعتبر عالما الرياضيات الألمانيان إدوارد هاينه وكارل يوهانس توماي من أوائل دعاة المنهج الرياضي الشكلي. ^{[ 3 ]} ويمكن الاطلاع على منهج هاينه وتوماي الشكلي في انتقادات غوتلوب فريجه في كتابه "أسس الحساب" .

بحسب آلان وير، يمكن وصف الشكلية التي ينتقدها فريجه، والتي يتبناها هاينه وتوماي، بأنها "شكلية المصطلحات أو شكلية الألعاب". ^{[ 3 ]} وتُعرّف شكلية المصطلحات بأنها الرأي القائل بأن التعبيرات الرياضية تشير إلى رموز، لا إلى أعداد. وقد عبّر هاينه عن هذا الرأي على النحو التالي: "فيما يتعلق بالتعريف، أتخذ موقفًا شكليًا بحتًا، حيث أُطلق على بعض العلامات الملموسة اسم الأعداد، بحيث لا يكون وجود هذه الأعداد موضع شك". ^{[ 4 ]}

يُصنَّف توماي على أنه من أنصار نظرية الألعاب الشكلية، حيث ادعى أن "الحساب بالنسبة للشكلاني هو لعبة ذات رموز تُسمى فارغة. وهذا يعني أنها لا تحمل أي محتوى آخر (في لعبة الحساب) سوى ما يُسند إليها من خلال سلوكها فيما يتعلق بقواعد معينة للتركيب (قواعد اللعبة)." ^{[ 5 ]}

يقدم فريجه ثلاثة انتقادات لمنهج هاينه وتوماي الشكلي: "أنه لا يستطيع تفسير تطبيق الرياضيات؛ وأنه يخلط بين النظرية الشكلية وما وراء النظرية؛ وأنه لا يقدم تفسيرًا متماسكًا لمفهوم المتتالية اللانهائية." [ ^{6 ] يتمثل} نقد فريجه لمنهج هاينه الشكلي في عجزه عن تفسير المتتاليات اللانهائية. ويجادل دوميت بأن المناهج الشكلية الأكثر تطورًا من منهج هاينه يمكنها تجنب اعتراضات فريجه بالقول إنها تهتم بالرموز المجردة لا بالأشياء الملموسة. ^{[ 7 ]} ويعترض فريجه على مقارنة المنهج الشكلي بلعبة، كالشطرنج. ^{[ 8 ]} ويرى فريجه أن منهج توماي الشكلي لا يميز بين اللعبة والنظرية.

كان ديفيد هيلبرت شخصية بارزة في مجال الشكلية ، وكان برنامجه يهدف إلى وضع بديهيات كاملة ومتسقة لجميع فروع الرياضيات. [ ^{9 ] سعى} هيلبرت إلى إظهار اتساق الأنظمة الرياضية انطلاقاً من افتراض أن "الحساب المنتهي" (وهو نظام فرعي من الحساب المعتاد للأعداد الصحيحة الموجبة ، تم اختياره ليكون غير مثير للجدل فلسفياً) متسق (أي لا يمكن استنتاج أي تناقضات من النظام).

حاول هيلبرت إثبات اتساق النظام البديهي من خلال صياغته بلغة معينة. ^{[ 10 ]} ولصياغة نظام بديهي، يجب أولاً اختيار لغة يمكن من خلالها التعبير عن العمليات وتنفيذها داخل هذا النظام. يجب أن تتضمن هذه اللغة خمسة مكونات:

• يجب أن يتضمن متغيرات مثل x، والتي يمكن أن تمثل رقماً ما.
• يجب أن يحتوي على محددات كمية مثل رمز وجود كائن ما.
• يجب أن يشمل ذلك المساواة.
• يجب أن تتضمن روابط مثل ↔ بمعنى "إذا وفقط إذا".
• يجب أن يتضمن ذلك مصطلحات غير محددة تُسمى المعاملات. في الهندسة، قد تكون هذه المصطلحات غير المحددة شيئًا مثل النقطة أو الخط، والتي ما زلنا نختار لها رموزًا.

من خلال تبني هذه اللغة، اعتقد هيلبرت أنه يمكن إثبات جميع النظريات ضمن أي نظام بديهي باستخدام البديهيات نفسها واللغة الرسمية المختارة فقط.

خلص غودل في نظرياته عن عدم الاكتمال إلى أنه لا يمكن إثبات الاتساق داخل أي نظام بديهي متسق وغني بما يكفي ليشمل الحساب الكلاسيكي. فمن جهة، يجب استخدام اللغة الرسمية المختارة لصياغة هذا النظام البديهي فقط؛ ومن جهة أخرى، يستحيل إثبات اتساق هذه اللغة في حد ذاتها. ^{[ 10 ]} شعر هيلبرت بالإحباط في البداية من عمل غودل لأنه حطم هدفه الأسمى في صياغة كل شيء في نظرية الأعداد بشكل رسمي كامل. ^{[ 11 ]} مع ذلك، لم يشعر غودل بأنه يناقض كل ما يتعلق بوجهة نظر هيلبرت الشكلية. ^{[ 12 ]} بعد أن نشر غودل عمله، اتضح أن لنظرية البرهان فائدة ما، والفرق الوحيد هو أنها لم تعد تُستخدم لإثبات اتساق نظرية الأعداد بأكملها كما كان يأمل هيلبرت. ^{[ 11 ]}

كان هيلبرت في البداية من أنصار المنهج الاستنتاجي، لكنه اعتبر أن بعض الأساليب ما وراء الرياضية تُفضي إلى نتائج ذات معنى جوهري، وكان واقعيًا فيما يتعلق بالحساب المحدود. لاحقًا، تبنى رأيًا مفاده أنه لا توجد رياضيات أخرى ذات معنى على الإطلاق، بغض النظر عن التفسير.

اعتبر بعض علماء الشكلية الآخرين، مثل رودولف كارناب ، أن الرياضيات هي دراسة أنظمة البديهيات الرسمية . ^{[ 13 ]}

يُعرّف هاسكل كاري الرياضيات بأنها "علم الأنظمة الصورية". ^{[ 14 ]} يختلف منهج كاري الصوري عن منهج أنصار نظرية المصطلحات، ونظرية الألعاب الصورية، أو منهج هيلبرت الصوري. فبالنسبة لكاري، يتعلق المنهج الصوري الرياضي بالبنية الصورية للرياضيات، وليس بنظام صوري. ^{[ 14 ]} يصف ستيوارت شابيرو منهج كاري الصوري بأنه ينطلق من "الفرضية التاريخية القائلة بأنه كلما تطور فرع من فروع الرياضيات، ازداد صرامة منهجيته، لتكون النتيجة النهائية تقنين هذا الفرع في أنظمة استنتاجية صورية". ^{[ 15 ]}

أشار كورت غودل إلى إحدى نقاط الضعف في الشكلية من خلال تناول مسألة الاتساق في الأنظمة البديهية.

جادل برتراند راسل بأن الشكلية تفشل في تفسير المقصود بالتطبيق اللغوي للأرقام في عبارات مثل "هناك ثلاثة رجال في الغرفة". ^{[ 16 ]}

• مشروع QED
• الشكلية الرياضية
• الرياضيات الرسمية
• الأنظمة الرسمية

• وسائط متعلقة بالمنهج الشكلي (الاستنتاجي) على ويكيميديا ​​كومنز