خاصية أويلر

يمكن تعريف خاصية أويلر للرسوم البيانية المستوية المتصلة بنفس الطريقة${\displaystyle \ V-E+F\ }$الصيغة كما هي بالنسبة للأسطح متعددة السطوح، حيث F هو عدد الوجوه في الرسم البياني، بما في ذلك الوجه الخارجي.

الخاصية المميزة لأويلر لأي رسم بياني متصل مستوي G هي 2. ويمكن إثبات ذلك بسهولة بالاستقراء على عدد الأوجه التي يحددها G ، بدءًا من الشجرة كحالة أساسية. بالنسبة للأشجار ،${\displaystyle \ E=V-1\ }$و${\displaystyle \ F=1~.}$إذا كان للرسم البياني G عدد C من المكونات (رسوم بيانية منفصلة)، فإن نفس الحجة بالاستقراء على الرسم البياني F تُظهر أن${\displaystyle \ V-E+FC=1~.}$إحدى الأوراق البحثية القليلة لكوشي في نظرية الرسوم البيانية تثبت هذه النتيجة أيضاً.

عن طريق الإسقاط المجسم، يتم إسقاط المستوى على الكرة ثنائية الأبعاد، بحيث يتم إسقاط الرسم البياني المتصل على تجزئة مضلعة للكرة، والتي لها خاصية أويلر  2. هذه وجهة النظر مضمنة في برهان كوشي لصيغة أويلر الواردة أدناه.

توجد العديد من البراهين لصيغة أويلر. أحدها قدمه كوشي عام 1811، على النحو التالي. وهي تنطبق على أي متعدد السطوح محدب، وبشكل أعم على أي متعدد السطوح تكون حدوده مكافئة طوبولوجيًا للكرة ووجوهه مكافئة طوبولوجيًا للأقراص.

أزل أحد أوجه السطح متعدد السطوح. بسحب حواف الوجه المفقود بعيدًا عن بعضها، حوّل باقي الأوجه إلى رسم بياني مستوٍ من النقاط والمنحنيات، بحيث يقع محيط الوجه المفقود خارجيًا، محيطًا بالرسم البياني الناتج، كما هو موضح في الرسم البياني الأول من بين الرسوم البيانية الثلاثة للحالة الخاصة للمكعب. (إن افتراض أن السطح متعدد السطوح متماثل الشكل مع الكرة في البداية هو ما يجعل هذا ممكنًا). بعد هذا التحويل، تصبح الأوجه المنتظمة غير منتظمة بشكل عام. يبقى عدد الرؤوس والحواف كما هو، لكن عدد الأوجه ينخفض ​​بمقدار  1. لذلك، فإن إثبات صيغة أويلر للمجسم متعدد السطوح يختزل إلى إثبات...${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$لهذا الجسم المشوه والمسطح.

إذا كان هناك وجه بأكثر من ثلاثة أضلاع، ارسم قطرًا - أي منحنى يمر عبر الوجه ويربط بين رأسين غير متصلين بعد. كل قطر جديد يضيف ضلعًا واحدًا ووجهًا واحدًا ولا يغير عدد الرؤوس، وبالتالي لا يغير الكمية.${\displaystyle \ V-E+F~.}$(الافتراض بأن جميع الأوجه عبارة عن أقراص ضروري هنا، لإظهار من خلال نظرية منحنى جوردان أن هذه العملية تزيد عدد الأوجه بمقدار واحد.) استمر في إضافة الحواف بهذه الطريقة حتى تصبح جميع الأوجه مثلثية.

قم بتطبيق أحد التحويلين التاليين بشكل متكرر، مع الحفاظ على الثابت المتمثل في أن الحدود الخارجية هي دائمًا دورة بسيطة :

1. قم بإزالة مثلث ذي ضلع واحد فقط مجاور للسطح الخارجي، كما هو موضح في الرسم البياني الثاني. هذا يقلل عدد الأضلاع والوجوه بمقدار واحد لكل منهما، ولا يغير عدد الرؤوس، لذا فهو يحافظ على${\displaystyle \ V-E+F~.}$
2. قم بإزالة مثلث له ضلعان مشتركان مع الجزء الخارجي من الشبكة، كما هو موضح في الرسم البياني الثالث. كل عملية إزالة مثلث تزيل رأسًا وضلعين ووجهًا واحدًا، لذا فهي تحافظ على${\displaystyle \ V-E+F~.}$

تُختزل هذه التحويلات في النهاية الرسم البياني المستوي إلى مثلث واحد. (بدون خاصية الدورة البسيطة الثابتة، قد يؤدي حذف مثلث إلى فصل المثلثات المتبقية، مما يُبطل بقية الحجة. يُعد ترتيب الحذف الصحيح مثالًا أوليًا على التغليف . )

عند هذه النقطة، يمتلك المثلث الوحيد${\displaystyle \ V=3\ ,}$${\displaystyle \ E=3\ ,}$و${\displaystyle \ F=1\ ,}$لهذا السبب.${\displaystyle \ V-E+F=1~.}$بما أن كل خطوة من خطوتي التحويل المذكورتين أعلاه حافظت على هذه الكمية، فقد أظهرنا${\displaystyle \ V-E+F=1\ }$بالنسبة للجسم المشوه والمستوي، مما يدل على${\displaystyle \ V-E+F=2\ }$بالنسبة للمجسم متعدد الأوجه. وهذا يثبت النظرية.

للاطلاع على براهين إضافية، انظر إبستين (2013). ^{[ 4 ]} تُستخدم براهين متعددة، بما في ذلك عيوبها وحدودها، كأمثلة في كتاب "البراهين والردود" للاكاتوس ( 1976 ). ^{[ 5 ]}

وبشكل أعم، لأي فضاء طوبولوجي ، يمكننا تعريف عدد بيتي النوني b _n على أنه رتبة مجموعة التماثل المفردة النونية . ويمكن تعريف خاصية أويلر على أنها المجموع المتناوب

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\cdots .}$

تكون هذه الكمية محددة جيدًا إذا كانت جميع أعداد بيتي منتهية، وإذا كانت تساوي صفرًا بعد دليل معين n ≥ _0. بالنسبة للمجمعات التبسيطية، لا يتطابق هذا التعريف مع التعريف الوارد في الفقرة السابقة، ولكن حساب التماثل يُظهر أن التعريفين سيعطيان القيمة نفسها لـ ${\displaystyle \chi }$.

بالنسبة لمتشعب أملس مضغوط وموجه بدون حدود،${\displaystyle X}$، أحد التعريف

${\displaystyle \chi (X)=I(\Delta ,\Delta )}$

عدد التقاطعات ذاتية التوجيه لقطر${\displaystyle X}$، ${\displaystyle \Delta }$، داخل${\displaystyle X\times X.}$

التماثل هو ثابت طوبولوجي، بل وثابت تماثلي : فضاءان طوبولوجيان متكافئان تماثليًا لهما مجموعات تماثلية متماثلة . ويترتب على ذلك أن خاصية أويلر هي أيضًا ثابت تماثلي.

على سبيل المثال، أي فضاء قابل للانكماش (أي فضاء له تماثل مكافئ لنقطة واحدة) له تماثل تافه، بمعنى أن عدد بيتي الصفري يساوي 1، بينما بقية الأعداد تساوي 0. وبالتالي، فإن خاصية أويلر له تساوي 1. وتشمل هذه الحالة الفضاء الإقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$من أي بُعد، وكذلك كرة الوحدة الصلبة في أي فضاء إقليدي - الفاصل الزمني أحادي البعد، والقرص ثنائي الأبعاد، والكرة ثلاثية الأبعاد، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، أي متعدد السطوح محدب يكون متماثلاً مع الكرة ثلاثية الأبعاد ، لذا فإن سطحه متماثل (وبالتالي مكافئ تماثلياً) مع الكرة ثنائية الأبعاد ، والتي لها خاصية أويلر  2. وهذا يفسر سبب امتلاك سطح متعدد السطوح المحدب لخاصية أويلر 2.

إذا كان M و N أي فضاءين طوبولوجيين، فإن خاصية أويلر لاتحادهما المنفصل هي مجموع خصائص أويلر الخاصة بهما، لأن التماثل يكون جمعيًا تحت الاتحاد المنفصل:

${\displaystyle \chi (M\sqcup N)=\chi (M)+\chi (N).}$

بشكل أعم، إذا كان M و N فضاءين جزئيين من فضاء أكبر X ، فإن اتحادهما وتقاطعهما يكونان كذلك. في بعض الحالات، تخضع خاصية أويلر لصيغة من مبدأ الإدراج والاستبعاد .

${\displaystyle \chi (M\cup N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (M\cap N).}$

وينطبق هذا في الحالات التالية:

• إذا كان M و N زوجًا حصريًا . على وجه الخصوص، إذا كانت الأجزاء الداخلية لـ M و N داخل الاتحاد لا تزال تغطي الاتحاد. ^{[ 6 ]}
• إذا كان X فضاءً مضغوطًا محليًا ، واستخدمنا خصائص أويلر مع دعامات مضغوطة ، فلا حاجة إلى افتراضات بشأن M أو N.
• إذا كان X فضاءً طبقيًا جميع طبقاته زوجية الأبعاد، فإن مبدأ الإدراج والاستبعاد ينطبق إذا كان M و N اتحادين للطبقات. وينطبق هذا بشكل خاص إذا كان M و N صنفين فرعيين من صنف جبري معقد . ^{[ 7 ]}

بشكل عام، مبدأ الإدراج والاستبعاد خاطئ. ويمكن تقديم مثال مضاد باعتبار X هو خط الأعداد الحقيقية ، و M مجموعة جزئية تتكون من نقطة واحدة ، و N متممة M.

إذا كان X مركبًا محدودًا من نوع CW و A مركبًا جزئيًا، فإن

${\displaystyle \chi (X)=\chi (A)+\chi (X/A)-1.}$

يمكن كتابة الصيغة بشكل أكثر إيجازًا لخاصية أويلر المختزلة - وهي المجموع المتناوب لرتب مجموعات التماثل المختزلة.

بالنسبة لمتشعبين مغلقين متصلين من الرتبة n${\displaystyle M,N}$يمكن الحصول على مشعب متصل جديد${\displaystyle M\mathbin {\#} N}$عن طريق عملية الجمع المتصل . ترتبط خاصية أويلر بالصيغة ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \chi (M\mathbin {\#} N)=\chi (M)+\chi (N)-\chi (S^{n}).}$

كذلك، فإن خاصية أويلر لأي فضاء منتج M × N هي

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).}$

باستخدام هذا وصيغة فضاءات القسمة، نحصل على

${\displaystyle {\hat {\chi }}(M\wedge N)={\hat {\chi }}(M)\cdot {\hat {\chi }}(N),}$

أين${\displaystyle {\hat {\chi }}}$هي خاصية أويلر المختزلة، و${\displaystyle M\wedge N}$إنه المنتج الناجح للغاية .

تتمتع خاصية الجمع والضرب هذه أيضًا بخاصية عدد عناصر المجموعات . وبهذا المعنى، يمكن اعتبار خاصية أويلر تعميمًا لخاصية عدد العناصر؛ انظر.

وبالمثل، بالنسبة لمساحة تغطية من نوع k${\displaystyle {\tilde {M}}\to M,}$يمتلك المرء

${\displaystyle \chi ({\tilde {M}})=k\cdot \chi (M).}$

وبشكل أكثر عمومية، بالنسبة لمساحة تغطية متفرعة ، يمكن حساب خاصية أويلر للغطاء من ما سبق، مع عامل تصحيح لنقاط التفرع، مما ينتج عنه صيغة ريمان-هورويتز .

تنطبق خاصية المنتج بشكل عام على التليفات ذات الشروط المحددة.

لو${\displaystyle p\colon E\to B}$إذا كان التليف عبارة عن ألياف F، مع قاعدة B متصلة بالمسار ، وكان التليف قابلاً للتوجيه على حقل K، فإن خاصية أويلر ذات المعاملات في الحقل K تحقق خاصية الضرب: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \chi (E)=\chi (F)\cdot \chi (B).}$

يشمل ذلك مساحات المنتج ومساحات التغطية كحالات خاصة، ويمكن إثبات ذلك من خلال التسلسل الطيفي لسير على تماثل التليف.

بالنسبة لحزم الألياف، يمكن فهم ذلك أيضًا من حيث خريطة النقل${\displaystyle \tau \colon H_{*}(B)\to H_{*}(E)}$- لاحظ أن هذا رفع ويسير "في الاتجاه الخاطئ" - والذي يتكامل مع خريطة الإسقاط${\displaystyle p_{*}\colon H_{*}(E)\to H_{*}(B)}$الضرب بواسطة فئة أويلر للألياف: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle p_{*}\circ \tau =\chi (F)\cdot 1.}$

يمكن حساب خاصية أويلر بسهولة للأسطح العامة عن طريق إيجاد مضلع للسطح (أي وصف كمركب CW ) واستخدام التعريفات المذكورة أعلاه.

اسم	صورة	χ
فاصلة		0 1
دائرة		0 0
أدك		0 1
جسم كروي		0 2
الطارة (ناتج دائرتين)		0 0
حلقة مزدوجة		-2​
حلقة ثلاثية		- 4
المستوى الإسقاطي الحقيقي		0 1
شريط موبيوس		0 0
زجاجة كلاين		0 0
كرتان (غير متصلتين) (اتحاد منفصل لكرتين)		2 + 2 = 4
ثلاث كرات (غير متصلة) (اتحاد منفصل لثلاث كرات)		2 + 2 + 2 = 6
${\displaystyle n}$الكرات (غير المتصلة) (اتحاد منفصل لـ n كرة)	...	2 + ... + 2 = 2ن

من الشائع صنع كرات القدم عن طريق خياطة أشكال خماسية وسداسية منتظمة معًا، بحيث تلتقي ثلاثة أوجه عند كل رأس. إذا تم استخدام P من الأشكال الخماسية و H من الأشكال السداسية، فسيكون هناك${\displaystyle F=P+H\ }$ وجوه،${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}\left(5P+6H\right)}$ الرؤوس، و${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}\left(5P+6H\right)}$ الحواف. وبالتالي، فإن خاصية أويلر هي

${\displaystyle V-E+F={\tfrac {1}{3}}\left(5P+6H\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(5P+6H\right)+P+H={\tfrac {1}{6}}P.}$

وبما أن للكرة خاصية أويلر تساوي  2، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle P=12}$أي أن كرة القدم المصممة بهذه الطريقة تحتوي دائمًا على 12  خماسيًا. يمكن أن يكون عدد السداسيات أي عدد صحيح غير سالب باستثناء  1. ^{[ 11 ]} تنطبق هذه النتيجة على الفوليرين ومجسمات غولدبيرغ .

تُصنع كرات القدم عادةً باستخدام 12 لوحة خماسية و20 لوحة سداسية، مما ينتج عنه شكل كروي ذو عشرين وجهًا مقطوعًا. ومن الأمثلة على ذلك كرة أديداس تيلستار .

خصائص أويلر للنظائر الستة رباعية  الأبعاد للمجسمات المنتظمة

متعدد الأوجه منتظم 4	V k 0	E k 1	F k 2	C k 3	${\displaystyle \chi =V-E\ +}$${\displaystyle +\ F-C}$
5  خلايا	5	10	10	5	0
8  خلايا	16	32	24	8	0
16  خلية	8	24	32	16	0
24  خلية	24	96	96	24	0
120  خلية	600	1200	720	120	0
600  خلية	120	720	1200	600	0

تحتوي الكرة ذات البعد n على مجموعات تماثل مفردة تساوي

${\displaystyle H_{k}(\mathrm {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&{\text{if }}k=0{\text{ or }}k=n,\\\{0\}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

وبالتالي فإن عدد بيتي الخاص بها هو  1 في الأبعاد  0 و n ، وجميع أعداد بيتي الأخرى هي  0. خاصية أويلر الخاصة بها هي χ = 1 + (−1) ⁿ ؛  أي إما  0 إذا كان n فرديًا ، أو  2 إذا كان n زوجيًا .

الفضاء الإسقاطي الحقيقي ذو البعد n هو خارج قسمة الكرة ذات البعد n على الخريطة المقابلة لها . ويترتب على ذلك أن خاصية أويلر الخاصة به تساوي نصف خاصية أويلر الخاصة بالكرة المقابلة لها تمامًا - إما 0 أو 1.   

الفضاء الحلقي ذو البعد n هو فضاء حاصل ضرب n  دائرة. خاصية أويلر الخاصة به تساوي  صفرًا وفقًا لخاصية الضرب. وبشكل أعم، فإن أي مشعب متراص قابل للتوازي ، بما في ذلك أي زمرة لي متراصة ، له خاصية أويلر  تساوي صفرًا. ^{[ 12 ]}

خاصية أويلر لأي مشعب مغلق ذي بُعد فردي تساوي  صفرًا أيضًا. ^{[ 13 ]} حالة الأمثلة القابلة للتوجيه هي نتيجة طبيعية لازدواجية بوانكاريه . تنطبق هذه الخاصية بشكل أعم على أي فضاء طبقي متراص تكون جميع طبقاته ذات بُعد فردي. كما تنطبق أيضًا على المشعبات المغلقة غير القابلة للتوجيه ذات البُعد الفردي، عبر الغطاء المزدوج القابل للتوجيه بنسبة اثنين إلى واحد .