النمو التربيعي

في الرياضيات ، يُقال إن دالة أو متتالية تُظهر نموًا تربيعيًا عندما تتناسب قيمها مع مربع وسيط الدالة أو موضع المتتالية. غالبًا ما يعني "النمو التربيعي" بشكل أعم "النمو التربيعي في النهاية "، عندما يؤول الوسيط أو موضع المتتالية إلى اللانهاية - في رمز ثيتا الكبير .${\displaystyle f(x)=\Theta (x^{2})}$[ ^{1 ]} يمكن تعريف هذا بشكل مستمر (لدالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي) أو بشكل منفصل (لسلسلة من الأعداد الحقيقية، أي دالة حقيقية القيمة لمتغير ^عدد صحيح أو عدد طبيعي ).

من أمثلة النمو التربيعي ما يلي:

• أي متعددة حدود من الدرجة الثانية .
• بعض المتتاليات العددية الصحيحة مثل الأعداد المثلثية .${\displaystyle n}$العدد المثلثي رقم هو قيمة${\displaystyle n(n+1)/2}$، تقريبًا${\displaystyle n^{2}/2}$.

بالنسبة لدالة حقيقية لمتغير حقيقي، فإن النمو التربيعي يكافئ كون المشتقة الثانية ثابتة (أي أن المشتقة الثالثة تساوي صفرًا)، وبالتالي فإن الدوال ذات النمو التربيعي هي بالضبط كثيرات الحدود التربيعية، لأنها نواة مؤثر المشتقة الثالثة.${\displaystyle D^{3}}$وبالمثل، بالنسبة للمتتالية (دالة حقيقية لمتغير عدد صحيح أو عدد طبيعي)، فإن النمو التربيعي يكافئ كون الفرق المحدود الثاني ثابتًا (والفرق المحدود الثالث يساوي صفرًا)، ^{[ 2 ]} وبالتالي فإن المتتالية ذات النمو التربيعي هي أيضًا متعددة حدود تربيعية. في الواقع، المتتالية ذات القيم الصحيحة ذات النمو التربيعي هي متعددة حدود في المعاملات الثنائية الصفرية والأولى والثانية ذات القيم الصحيحة. يمكن تحديد هذه المعاملات بأخذ متعددة حدود تايلور (إذا كانت متصلة) أو متعددة حدود نيوتن (إذا كانت منفصلة).

تتضمن الأمثلة الخوارزمية ما يلي:

• مقدار الوقت الذي تستغرقه بعض الخوارزميات ، مثل فرز الإدراج ، في أسوأ الحالات، كدالة لطول المدخلات. ^{[ 3 ]}
• عدد الخلايا الحية في أنماط الأوتوماتون الخلوية التي تملأ الفراغ ، مثل نمط المربي ، كدالة لعدد الخطوات الزمنية التي يتم فيها محاكاة النمط. ^{[ 4 ]}
• ينص قانون ميتكالف على أن قيمة شبكة الاتصالات تنمو بشكل تربيعي كدالة لعدد مستخدميها. ^{[ 5 ]}

• النمو الأسي