النمو الأسّي

يحدث النمو الأسّي عندما تنمو كمية ما بمعدل يتناسب طرديًا مع حجمها الحالي. على سبيل المثال، عندما تكون أكبر بثلاث مرات مما هي عليه الآن، فسوف تنمو بمعدل أسرع بثلاث مرات مما هي عليه الآن.

في لغة أكثر تقنية، فإن معدل التغير اللحظي (أي المشتق ) لكمية ما بالنسبة لمتغير مستقل يتناسب مع الكمية نفسها. غالبًا ما يكون المتغير المستقل هو الوقت. كما هو موصوف بالدالة ، فإن الكمية التي تخضع لنمو أسي هي دالة أسية للوقت، أي أن المتغير الذي يمثل الوقت هو الأس (على النقيض من أنواع النمو الأخرى، مثل النمو التربيعي ). النمو الأسي هو معكوس النمو اللوغاريتمي .

لا تعد كل حالات النمو بمعدل متزايد دائمًا حالات نمو أسي. على سبيل المثال، تنمو الدالة بمعدل متزايد باستمرار، ولكنها بعيدة جدًا عن النمو الأسي. على سبيل المثال، عندما تنمو بمعدل 3 أضعاف حجمها، ولكن عندما تنمو بنسبة 30٪ من حجمها. إذا نمت دالة ذات نمو أسي بمعدل 3 أضعاف حجمها الحالي، فإنها تنمو دائمًا بمعدل 3 أضعاف حجمها الحالي. عندما تكون أكبر بعشر مرات مما هي عليه الآن، فسوف تنمو بسرعة أكبر بعشر مرات. ${\textstyle f(x)=x^{3}}$${\textstyle x=1,}$${\textstyle x=10}$

إذا كان ثابت التناسب سالبًا، فإن الكمية تتناقص بمرور الوقت، ويقال إنها تخضع للتحلل الأسي بدلاً من ذلك. في حالة وجود مجال منفصل للتعريف بفترات زمنية متساوية، يُطلق عليه أيضًا النمو الهندسي أو التحلل الهندسي لأن قيم الدالة تشكل تقدمًا هندسيًا .

صيغة النمو الأسي للمتغير x بمعدل النمو r ، مع مرور الوقت t في فترات منفصلة (أي في أوقات صحيحة 0، 1، 2، 3، ...)، هي

$${\displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}$$

حيث x ₀ هي قيمة x في الوقت 0. غالبًا ما يستخدم نمو مستعمرة بكتيرية لتوضيح ذلك. تنقسم بكتيريا واحدة إلى اثنتين، ينقسم كل منهما مما ينتج عنه أربع، ثم ثماني، و16، و32، وهكذا. تستمر كمية الزيادة في الزيادة لأنها تتناسب مع العدد المتزايد باستمرار للبكتيريا. يُلاحظ نمو مثل هذا في الأنشطة أو الظواهر الواقعية، مثل انتشار عدوى الفيروس، ونمو الديون بسبب الفائدة المركبة ، وانتشار مقاطع الفيديو الفيروسية . في الحالات الواقعية، غالبًا ما لا يستمر النمو الأسي الأولي إلى الأبد، بل يتباطأ في النهاية بسبب الحدود العليا الناجمة عن عوامل خارجية ويتحول إلى نمو لوجستي .

أحيانًا ما يتم تفسير مصطلحات مثل "النمو الأسّي" بشكل غير صحيح على أنها "نمو سريع". في الواقع، قد ينمو شيء ما بشكل أسّي ببطء في البداية. ^{[1] [2]}

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (August 2013) (Learn how and when to remove this message)

• إن عدد الكائنات الحية الدقيقة في المزرعة سوف يزداد بشكل كبير حتى يتم استنفاد أحد العناصر الغذائية الأساسية، وبالتالي لن يكون هناك المزيد من تلك العناصر الغذائية لنمو المزيد من الكائنات الحية. وعادة ما ينقسم الكائن الحي الأول إلى كائنين ابنيين، ثم ينقسم كل منهما لتكوين أربعة، ثم ينقسم كل منهما لتكوين ثمانية، وهكذا. ولأن النمو الأسي يشير إلى معدل نمو ثابت، فمن المفترض غالبًا أن الخلايا التي تنمو بشكل أسي تكون في حالة مستقرة. ومع ذلك، يمكن للخلايا أن تنمو بشكل أسي بمعدل ثابت أثناء إعادة تشكيل عملية التمثيل الغذائي والتعبير الجيني. ^[3]
• عادةً ما ينتشر الفيروس (على سبيل المثال COVID-19 أو الجدري ) بشكل كبير في البداية، إذا لم يتوفر أي تطعيم اصطناعي. يمكن لكل شخص مصاب أن يصيب عدة أشخاص جدد.

• الانهيار الجليدي داخل مادة عازلة . يصبح الإلكترون الحر متسارعًا بدرجة كافية بواسطة مجال كهربائي خارجي يحرر إلكترونات إضافية عندما يصطدم بذرات أو جزيئات الوسائط العازلة. تتسارع هذه الإلكترونات الثانوية أيضًا، مما يؤدي إلى إنشاء أعداد أكبر من الإلكترونات الحرة. قد يؤدي النمو الأسي للإلكترونات والأيونات الناتج بسرعة إلى انهيار عازل كامل للمادة.
• التفاعل النووي المتسلسل (المفهوم وراء المفاعلات النووية والأسلحة النووية ). كل نواة يورانيوم تخضع للانشطار تنتج نيوترونات متعددة، يمكن امتصاص كل منها بواسطة ذرات اليورانيوم المجاورة، مما يتسبب في انشطارها بدورها. إذا تجاوز احتمال امتصاص النيوترونات احتمال هروب النيوترونات (دالة على شكل وكتلة اليورانيوم )، فإن معدل إنتاج النيوترونات والانشطار المستحث لليورانيوم يزداد بشكل كبير، في تفاعل غير منضبط. "نظرًا لمعدل الزيادة الأسي، في أي نقطة في التفاعل المتسلسل، سيتم إطلاق 99٪ من الطاقة في آخر 4.6 أجيال. إنه تقريب معقول أن نفكر في أول 53 جيلًا كفترة كمون تؤدي إلى الانفجار الفعلي، والذي يستغرق 3-4 أجيال فقط." ^[4]
• يمكن أن تؤدي التغذية الراجعة الإيجابية ضمن النطاق الخطي للتضخيم الكهربائي أو الكهروستاتيكي إلى نمو أسي للإشارة المكبرة، على الرغم من أن تأثيرات الرنين قد تفضل بعض ترددات مكونات الإشارة على غيرها.

• يتم التعبير عن النمو الاقتصادي كنسبة مئوية، مما يعني النمو الأسّي.

• إن الفائدة المركبة بمعدل فائدة ثابت توفر نموًا أسيًا لرأس المال. ^[5] انظر أيضًا قاعدة 72 .
• وتظهر المخططات الهرمية أو مخططات بونزي أيضًا هذا النوع من النمو مما يؤدي إلى أرباح عالية لعدد قليل من المستثمرين الأوليين وخسائر بين أعداد كبيرة من المستثمرين.

• قوة معالجة أجهزة الكمبيوتر. انظر أيضًا قانون مور والتفرد التكنولوجي . (في ظل النمو الأسّي، لا توجد تفردات. والتفرد هنا هو استعارة، تهدف إلى نقل مستقبل لا يمكن تصوره. والرابط بين هذا المفهوم الافتراضي والنمو الأسّي هو الأكثر وضوحًا من قبل عالم المستقبل راي كورزويل .)
• في نظرية التعقيد الحسابي ، تتطلب خوارزميات الكمبيوتر ذات التعقيد الأسي كمية متزايدة بشكل أسّي من الموارد (مثل الوقت وذاكرة الكمبيوتر) مقابل زيادة ثابتة فقط في حجم المشكلة. لذا بالنسبة لخوارزمية ذات تعقيد زمني 2 ^× ، إذا كانت مشكلة بحجم x = 10 تتطلب 10 ثوانٍ لإكمالها، ومشكلة بحجم x = 11 تتطلب 20 ثانية، فإن مشكلة بحجم x = 12 ستتطلب 40 ثانية. عادةً ما يصبح هذا النوع من الخوارزميات غير قابل للاستخدام في أحجام مشاكل صغيرة جدًا، غالبًا ما تكون بين 30 و100 عنصر (تحتاج معظم خوارزميات الكمبيوتر إلى القدرة على حل مشاكل أكبر بكثير، تصل إلى عشرات الآلاف أو حتى ملايين العناصر في أوقات معقولة، وهو أمر مستحيل فعليًا باستخدام خوارزمية أسيّة). أيضًا، لا تساعد تأثيرات قانون مور الموقف كثيرًا لأن مضاعفة سرعة المعالج تزيد فقط من حجم المشكلة الممكن بمقدار ثابت. على سبيل المثال، إذا كان المعالج البطيء قادرًا على حل مشكلات بحجم x في زمن t ، فإن المعالج الأسرع مرتين يمكنه فقط حل مشكلات بحجم x + ثابت في نفس الزمن t . لذا فإن الخوارزميات المعقدة بشكل كبير غالبًا ما تكون غير عملية، والبحث عن خوارزميات أكثر كفاءة هو أحد الأهداف الأساسية لعلوم الكمبيوتر اليوم.

• يمكن أن ينتشر محتوى الإنترنت، مثل الميمات أو مقاطع الفيديو على الإنترنت ، بشكل كبير، وغالبًا ما يُقال إنه " ينتشر بسرعة كبيرة " كقياس لانتشار الفيروسات. ^[6] مع وسائل الإعلام مثل الشبكات الاجتماعية ، يمكن لشخص واحد إعادة توجيه نفس المحتوى إلى العديد من الأشخاص في وقت واحد، والذين ينشرونه بعد ذلك إلى المزيد من الأشخاص، وهكذا، مما يتسبب في انتشار سريع. ^[7] على سبيل المثال، تم تحميل مقطع فيديو Gangnam Style على YouTube في 15 يوليو 2012، ووصل إلى مئات الآلاف من المشاهدين في اليوم الأول، والملايين في اليوم العشرين، وشاهده مئات الملايين في أقل من شهرين. ^{[6] [8]}

تعتمد الكمية x بشكل أسي على الزمن t إذا كان الثابت a هو القيمة الأولية لـ x ، والثابت b هو عامل نمو إيجابي، و τ هو ثابت الزمن - الوقت المطلوب لزيادة x بعامل واحد من b : $${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }}$$$${\displaystyle x(0)=a\,,}$$$${\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.}$$

إذا كانت τ > 0 و b > 1 ، فإن x لها نمو أسي. إذا كانت τ < 0 و b > 1 ، أو τ > 0 و 0 < b < 1 ، فإن x لها اضمحلال أسي .

مثال: إذا تضاعف نوع من البكتيريا كل عشر دقائق، بدءًا ببكتيريا واحدة فقط، فكم عدد البكتيريا التي ستكون موجودة بعد ساعة واحدة؟ يشير السؤال إلى أن أ = 1 ، ب = 2 ، τ = 10 دقائق .

$${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}}$$ $${\displaystyle x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.}$$

بعد ساعة واحدة، أو ست فترات زمنية مدتها عشر دقائق، سيكون هناك أربعة وستون بكتيريا.

تمثل العديد من الأزواج ( b ، τ ) لعدد غير سالب بلا أبعاد b وكمية زمنية τ ( كمية فيزيائية يمكن التعبير عنها على أنها حاصل ضرب عدد من الوحدات ووحدة زمنية) نفس معدل النمو، حيث يتناسب τ مع log b . بالنسبة لأي ثابت b لا يساوي 1 (مثل e أو 2)، فإن معدل النمو يعطى بالوقت غير الصفري τ . بالنسبة لأي وقت غير صفري τ، فإن معدل النمو يعطى بالعدد الموجب بلا أبعاد  b .

وبالتالي، يمكن كتابة قانون النمو الأسي بأشكال مختلفة ولكنها متكافئة رياضيًا، باستخدام قاعدة مختلفة . الأشكال الأكثر شيوعًا هي التالية: حيث يعبر x ₀ عن الكمية الأولية x (0) . $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$$

المعاملات (سلبية في حالة الاضمحلال الأسي):

• ثابت النمو k هو تردد ( عدد المرات لكل وحدة زمنية) النمو بعامل e ؛ وفي التمويل يُطلق عليه أيضًا العائد اللوغاريتمي، أو العائد المركب المستمر ، أو قوة الفائدة .
• زمن الطي الإلكتروني τ هو الوقت الذي يستغرقه النمو بعامل e .
• زمن المضاعفة T هو الوقت المستغرق للمضاعفة.
• النسبة المئوية للزيادة r (عدد بلا أبعاد) في فترة p .

الكميات k و τ و T ، وبالنسبة لـ p معينة أيضًا r ، لها اتصال واحد لواحد يعطى بالمعادلة التالية (والتي يمكن استنتاجها عن طريق أخذ اللوغاريتم الطبيعي لما سبق): حيث k = 0 يتوافق مع r = 0 و τ و T غير محدود. $${\displaystyle k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$$

إذا كانت p هي وحدة الزمن، فإن الحاصل t / p هو ببساطة عدد وحدات الزمن. باستخدام الترميز t لعدد وحدات الزمن (غير الأبعاد) بدلاً من الوقت نفسه، يمكن استبدال t / p بـ t ، ولكن من أجل التوحيد تم تجنب ذلك هنا. في هذه الحالة، فإن القسمة على p في الصيغة الأخيرة ليست قسمة عددية أيضًا، ولكنها تحول عددًا بلا أبعاد إلى الكمية الصحيحة بما في ذلك الوحدة.

الطريقة التقريبية الشائعة لحساب زمن المضاعفة من معدل النمو هي قاعدة 70 ، أي . ${\displaystyle T\simeq 70/r}$

إذا أظهر المتغير x نموًا أسيًا وفقًا لـ ، فإن اللوغاريتم (لأي قاعدة) لـ x ينمو خطيًا بمرور الوقت، كما يمكن رؤيته من خلال أخذ اللوغاريتمات لكلا جانبي معادلة النمو الأسي: ${\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$ $${\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).}$$

يتيح هذا نمذجة متغير متزايد بشكل أسي باستخدام نموذج خطي لوغاريتمي . على سبيل المثال، إذا رغب المرء في تقدير معدل النمو تجريبيًا من بيانات بينية زمنية على x ، فيمكنه الانحدار خطيًا إلى log x على t .

تُرضي الدالة الأسية معادلة التفاضل الخطية : حيث تنص على أن التغير في كل لحظة زمنية لـ x في الوقت t يتناسب مع قيمة x ( t ) ، و x ( t ) لها القيمة الأولية . ${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}$$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}$$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$

يتم حل المعادلة التفاضلية عن طريق التكامل المباشر: بحيث$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}$$

في المعادلة التفاضلية أعلاه، إذا كانت k < 0 ، فإن الكمية تتعرض لتدهور أسي .

بالنسبة للتغير غير الخطي لهذا النموذج للنمو، انظر الدالة اللوجستية .

على المدى الطويل، فإن النمو الأسّي من أي نوع سوف يتفوق على النمو الخطي من أي نوع (وهذا هو أساس الكارثة المالتوسية ) وكذلك أي نمو متعدد الحدود ، أي بالنسبة لجميع α : $${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.}$$

هناك تسلسل هرمي كامل لمعدلات النمو التي يمكن تصورها والتي تكون أبطأ من النمو الأسي وأسرع من النمو الخطي (على المدى الطويل). انظر درجة كثير الحدود § محسوبة من قيم الدالة .

قد تكون معدلات النمو أسرع أيضًا من النمو الأسي. في الحالة الأكثر تطرفًا، عندما يزداد النمو دون حدود في وقت محدود، يُطلق عليه النمو الزائدي . بين النمو الأسي والزائد توجد فئات أخرى من سلوك النمو، مثل العمليات الزائدة التي تبدأ عند التتريت ، و ، قطر دالة أكرمان . ${\displaystyle A(n,n)}$

في الواقع، لا يستمر النمو الأسي الأولي إلى الأبد. فبعد فترة ما، سوف يتباطأ بسبب عوامل خارجية أو بيئية. على سبيل المثال، قد يصل نمو السكان إلى حد أعلى بسبب قيود الموارد. ^[9] في عام 1845، اقترح عالم الرياضيات البلجيكي بيير فرانسوا فيرهولست لأول مرة نموذجًا رياضيًا للنمو مثل هذا، والذي يُسمى " النمو اللوجستي ". ^[10]

لا تنطبق نماذج النمو الأسّي للظواهر الفيزيائية إلا ضمن مناطق محدودة، لأن النمو غير المحدود ليس واقعيًا من الناحية الفيزيائية. ورغم أن النمو قد يكون أسّيًا في البداية، فإن الظواهر النموذجية ستدخل في نهاية المطاف منطقة تصبح فيها عوامل التغذية الراجعة السلبية التي تم تجاهلها سابقًا مهمة (مما يؤدي إلى نموذج نمو لوجستي ) أو تنهار الافتراضات الأساسية الأخرى لنموذج النمو الأسّي، مثل الاستمرارية أو التغذية الراجعة اللحظية.

تشير الدراسات إلى أن البشر يجدون صعوبة في فهم النمو الأسّي. إن تحيز النمو الأسّي هو الميل إلى التقليل من تقدير عمليات النمو المركب. وقد يكون لهذا التحيز آثار مالية أيضًا. ^[11]

وفقًا للأسطورة، قدم الوزير سيسا بن داهر لملك هندي شاريم رقعة شطرنج جميلة مصنوعة يدويًا . سأل الملك عما يرغب في مقابل هديته وفاجأ رجل البلاط الملك بطلب حبة أرز واحدة في المربع الأول، وحبتين في المربع الثاني، وأربع حبات في المربع الثالث، وهكذا. وافق الملك على الفور وطلب إحضار الأرز. سارت الأمور على ما يرام في البداية، لكن متطلب 2 ^{n −1} حبة في المربع n تطلب أكثر من مليون حبة في المربع الحادي والعشرين، وأكثر من مليون مليون ( المعروف أيضًا باسم تريليون ) في المربع الحادي والأربعين ولم يكن هناك ببساطة ما يكفي من الأرز في العالم كله للمربعات النهائية. (من Swirski، 2006) ^[12]

يشير " النصف الثاني من رقعة الشطرنج " إلى الوقت الذي يكون فيه التأثير المتزايد بشكل كبير له تأثير اقتصادي كبير على استراتيجية الأعمال الشاملة للمنظمة.

يُعرض على الأطفال الفرنسيين لغز يبدو أنه أحد جوانب النمو الأسّي: "المفاجأة الظاهرة التي تقترب بها كمية متزايدة أسّيًا من حد ثابت". يتخيل اللغز نبات زنبق الماء ينمو في بركة. يتضاعف حجم النبات كل يوم، وإذا تُرِك بمفرده، فسيخنق البركة في 30 يومًا ويقتل جميع الكائنات الحية الأخرى في الماء. يومًا بعد يوم، يكون نمو النبات ضئيلًا، لذلك تقرر أنه لن يكون مصدر قلق حتى يغطي نصف البركة. في أي يوم سيكون ذلك؟ اليوم التاسع والعشرون، مما يترك يومًا واحدًا فقط لإنقاذ البركة. ^{[13] [12]}

• ميدوز، دونيلا. راندرز، يورجن. ميدوز، دينيس. حدود النمو : التحديث على مدى ثلاثين عامًا. دار تشيلسي جرين للنشر، 2004. رقم ISBN 9781603581554 
• ميدوز، دونيلا إتش، ودينيس إل ميدوز، وجورجن راندرز، وويليام دبليو بهرنس الثالث. (1972) حدود النمو . نيويورك: كتب الجامعة. رقم ISBN 0-87663-165-0 
• بوريت، ج. الرأسمالية وكأن العالم مهم ، إيرثسكان 2005. ISBN 1-84407-192-8 
• سويرسكي، بيتر. الأدب والمعرفة: استكشافات في تجارب الفكر السردي، والتطور، ونظرية الألعاب . نيويورك: روتليدج. ISBN 0-415-42060-1 
• تومسون، ديفيد ج. مخطط لمليار: 7 أساسيات لتحقيق النمو الأسّي ، وايلي، ديسمبر 2005، ISBN 0-471-74747-5 
• تسيريل، إس في 2004. حول الأسباب المحتملة للنمو المفرط في عدد سكان الأرض. النمذجة الرياضية للديناميكيات الاجتماعية والاقتصادية / تحرير إم جي دميترييف وأيه بي بيتروف، ص 367-369. موسكو: الجامعة الاجتماعية الحكومية الروسية، 2004.

• النمو في عالم محدود – الاستدامة والدالة الأسية – عرض تقديمي
• الدكتور ألبرت بارتليت: الحساب والسكان والطاقة — بث فيديو وصوت 58 دقيقة