البندول الكمي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة

البندول الكمومي هو نموذج نظري ونظام تجريبي يدرس سلوك البندول في ظل ميكانيكا الكم . [ 1 ] وهو أساسي لفهم الدوران الداخلي المقيد في الكيمياء، والخصائص الكمومية للذرات المتناثرة، بالإضافة إلى العديد من الظواهر الكمومية الأخرى. [ 2 ] على الرغم من أن البندول الذي لا يخضع لتقريب الزاوية الصغيرة يتميز بعدم خطية متأصلة، إلا أنه يمكن حل معادلة شرودنغر للنظام الكمومي بسهولة نسبية.

معادلة شرودنغر

باستخدام ميكانيكا لاغرانج ، يمكن اشتقاق دالة هاميلتونية للنظام. يمتلك البندول البسيط إحداثية معممة واحدة (الإزاحة الزاوية).ϕ{\displaystyle \phi }) وقيدين (طول الخيط ومستوى الحركة). يمكن إيجاد طاقة الحركة وطاقة الوضع للنظام على النحو التالي:

تي=12مل2ϕ˙2،{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},}
يو=مزل(1-كوس⁡ϕ).{\displaystyle U=mgl(1-\cos \phi ).}

وينتج عن ذلك الهاميلتوني

ح^=ص^22مل2+مزل(1-كوس⁡ϕ).{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).}

معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن للنظام هي

أناℏدΨدت=-ℏ22مل2د2Ψدϕ2+مزل(1-كوس⁡ϕ)Ψ.{\displaystyle i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {d^{2}\Psi }{d\phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .}

يجب حل معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لإيجاد مستويات الطاقة والحالات الذاتية المقابلة لها. ويُمكن تحقيق ذلك على أفضل وجه بتغيير المتغير المستقل كما يلي:

η=ϕ+π،{\displaystyle \eta =\phi +\pi ,}
Ψ=ψهـ-أناهـت/ℏ،{\displaystyle \Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },}
هـψ=-ℏ22مل2د2ψدη2+مزل(1+كوس⁡η)ψ.{\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+mgl(1+\cos \eta )\psi .}

هذه ببساطة معادلة ماثيو التفاضلية

د2ψدη2+(2مهـل2ℏ2-2م2زل3ℏ2-2م2زل3ℏ2كوس⁡η)ψ=0،{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}

حلولها هي دوال ماثيو .

الحلول

الطاقات

منحq{\displaystyle q}، لعدد لا يُحصى من القيم الخاصة لـأ{\displaystyle a}تُسمى هذه القيم بالقيم المميزة ، ومعادلة ماثيو تقبل حلولاً دورية ذات دورة زمنية محددة.2π{\displaystyle 2\pi }تُكتب القيم المميزة لدالتي جيب التمام والجيب لماثيو على التواليأن(q)،بن(q){\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}، أينن{\displaystyle n}هو عدد طبيعي . غالبًا ما تُكتب الحالات الخاصة الدورية لدالتي جيب التمام والجيب لماثيو على النحو التالي:جهـ(ن،q،x)،Sهـ(ن،q،x){\displaystyle CE(n,q,x),SE(n,q,x)}على التوالي، على الرغم من أنهم يُعطون تقليديًا تطبيعًا مختلفًا (أي أنل2{\displaystyle L^{2}}المعيار يساويπ{\displaystyle \pi }).

تشير الشروط الحدية في البندول الكمومي إلى أنأن(q)،بن(q){\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}وهي كما يلي بالنسبة لحالة معينةq{\displaystyle q}:

د2ψدη2+(2مهـل2ℏ2-2م2زل3ℏ2-2م2زل3ℏ2كوس⁡η)ψ=0،{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}
أن(q)،بن(q)=2مهـل2ℏ2-2م2زل3ℏ2.{\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)={\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}.}

طاقات النظام،هـ=مزل+ℏ2أن(q)،بن(q)2مل2{\displaystyle E=mgl+{\frac {\hbar ^{2}a_{n}(q),b_{n}(q)}{2ml^{2}}}}بالنسبة للحلول الزوجية/الفردية على التوالي، يتم تحديدها كمياً بناءً على القيم المميزة التي تم إيجادها عن طريق حل معادلة ماثيو.

يمكن تعريف عمق الجهد الفعال على النحو التالي :

q=م2زل3ℏ2.{\displaystyle q={\frac {m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}.}

يُنتج الجهد العميق ديناميكيات الجسيم في جهد مستقل. في المقابل، في الجهد الضحل، تصبح موجات بلوخ ، بالإضافة إلى النفق الكمومي ، ذات أهمية.

حل عام

الحل العام للمعادلة التفاضلية المذكورة أعلاه ، لقيمة معينة لـ a و q، هو مجموعة من دوال جيب التمام وجيب ماثيو المستقلة خطيًا، وهي حلول زوجية وفردية على التوالي. وبشكل عام، تكون دوال ماثيو غير دورية؛ ومع ذلك، بالنسبة للقيم المميزة لـأن(q)،بن(q){\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}تصبح دالتا جيب التمام وجيب ماثيو دوريتين بدورة مقدارها2π{\displaystyle 2\pi }.

الحالات الذاتية

بالنسبة للقيم الموجبة لـ q ، يكون ما يلي صحيحًا:

ج(أن(q)،q،x)=جهـ(ن،q،x)جهـ(ن،q،0)،{\displaystyle C(a_{n}(q),q,x)={\frac {CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}},}
S(بن(q)،q،x)=Sهـ(ن،q،x)Sهـ′(ن،q،0).{\displaystyle S(b_{n}(q),q,x)={\frac {SE(n,q,x)}{SE'(n,q,0)}}.}

فيما يلي بعض دوال جيب التمام الدورية الأولى لماثيو لـq=1{\displaystyle q=1}.

لاحظ على سبيل المثال،جهـ(1،1،x){\displaystyle CE(1,1,x)}(الأخضر) يشبه دالة جيب التمام، ولكن مع تلال أكثر انبساطاً ووديان أقل عمقاً.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "استكشاف الجاذبية الكمومية - لمن يتأرجح البندول" . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . 2021-08-18.
  2. ↑ أيوب، محمد؛ نصير، خالد؛ علي، منظور؛ سيف، فرحان (1 مايو 2009). "بندول الكم في بصريات الذرة" . مجلة أبحاث الليزر الروسية . 30 (3): 205-223 . arXiv : 1012.6011 . doi : 10.1007/s10946-009-9078-x . ISSN 1573-8760 . 

فهرس

  • برانسدن، بي إتش؛ جواكين، سي جيه (2000). ميكانيكا الكم (  الطبعة الثانية). إسكس: بيرسون للتعليم. ISBN 0-582-35691-1.
  • ديفيز، جون هـ. (2006). فيزياء أشباه الموصلات منخفضة الأبعاد: مقدمة (الطبعة السادسة المعاد طباعتها  ). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-48491-X.
  • محمد أيوب، البصريات الذرية، البندول الكمي ، 2011، إسلام آباد، باكستان، https://arxiv.org/abs/1012.6011