الإحداثيات المعممة

السطح المنحني المفتوح F ( x , y , z ) = 0

السطح المنحني المغلق S ( x , y , z ) = 0

إحداثيتان معمّمتان، درجتا حرية، على أسطح منحنية ثلاثية الأبعاد. يكفي رقمان ( u ، v ) لتحديد النقاط على المنحنى، ويُعرض احتمال واحد لكل حالة. لا حاجة إلى الإحداثيات الديكارتية الثلاثة الكاملة ( x ، y ، z ) لأن أي اثنين منها يحددان الثالث وفقًا لمعادلات المنحنيات.

بالنسبة لنظام مكون من N جسيم في فضاء إحداثيات حقيقي ثلاثي الأبعاد ، يمكن كتابة متجه موضع كل جسيم على شكل مجموعة ثلاثية في الإحداثيات الديكارتية :

${\displaystyle {\begin{align}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _ {N} = (x_ {N}،y_ {N}،z_ {N})\end {محاذاة}}}$

يمكن تمثيل أي من متجهات الموضع بالرمز r _k حيث k = 1، 2، ...، N تُشير إلى الجسيمات. القيد الهولونومي هو معادلة قيد على الصورة التالية للجسيم k ^{[ 4 ] [ a ]}

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

يربط هذا القيد جميع الإحداثيات المكانية الثلاثة للجسيم، لذا فهي ليست مستقلة. قد يتغير القيد مع الزمن، لذا سيظهر الزمن t صراحةً في معادلات القيد. في أي لحظة زمنية، تُحدد أي إحداثية من الإحداثيات الأخرى، فمثلاً إذا عُلمت x_{_k} و z_{_k}، فإن y_{_k} معلومتان أيضًا. تُحسب معادلة القيد الواحدة كقيد واحد . إذا كان هناك C قيدًا، فلكل قيد معادلة، وبالتالي سيكون هناك C معادلات قيد. ليس بالضرورة أن تكون هناك معادلة قيد لكل جسيم، وإذا لم تكن هناك قيود على النظام، فلن تكون هناك معادلات قيد.

حتى الآن، يُحدد تكوين النظام بواسطة 3N كمية، ولكن يمكن حذف C إحداثية، إحداثية واحدة من كل معادلة قيد. عدد الإحداثيات المستقلة هو n = 3N - C. (في D بُعد، سيحتاج التكوين الأصلي إلى ND إحداثية ، والاختزال بواسطة القيود يعني n = ND - C ). من الأمثل استخدام الحد الأدنى من الإحداثيات اللازمة لتحديد تكوين النظام بأكمله، مع الاستفادة من القيود المفروضة عليه. تُعرف هذه الكميات بالإحداثيات المعممة في هذا السياق، ويُرمز لها بـ qj ( t ) . من الملائم تجميعها في مجموعة n - tuple _.

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}$

وهي نقطة في فضاء التكوين للنظام. جميعها مستقلة عن بعضها البعض، وكل منها دالة للزمن. هندسيًا، يمكن أن تكون أطوالًا على طول خطوط مستقيمة، أو أطوال أقواس على طول منحنيات، أو زوايا؛ وليست بالضرورة إحداثيات ديكارتية أو إحداثيات متعامدة قياسية أخرى . توجد نقطة واحدة لكل درجة حرية ، لذا فإن عدد الإحداثيات المعممة يساوي عدد درجات الحرية، n . تتوافق درجة الحرية مع كمية واحدة تُغير تكوين النظام، على سبيل المثال زاوية البندول، أو طول القوس الذي تقطعه حبة خرز على طول سلك.

إذا أمكن إيجاد عدد من المتغيرات المستقلة يساوي عدد درجات الحرية من القيود، فيمكن استخدامها كإحداثيات معممة. ^{[ 5 ]} متجه الموضع rk للجسيم k هو دالة لجميع الإحداثيات المعممة n (ومن خلالها، للزمن). _[ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 5 ] [ ملاحظة 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,}$

ويمكن اعتبار الإحداثيات المعممة بمثابة معلمات مرتبطة بالقيد.

المشتقات الزمنية المقابلة لـ q هي السرعات المعممة،

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))}$

(تشير كل نقطة فوق الكمية إلى مشتقة زمنية واحدة ). متجه السرعة v _k هو المشتقة الكلية لـ r _k بالنسبة للزمن.

$// {ف}} _ {ي}\،.}$

وبالتالي، يعتمد الأمر عمومًا على السرعات والإحداثيات المعممة. وبما أننا أحرار في تحديد القيم الأولية للإحداثيات والسرعات المعممة بشكل منفصل، فيمكن اعتبار الإحداثيات المعممة q _j والسرعات dq _j / dt متغيرات مستقلة .

قد يتضمن النظام الميكانيكي قيودًا على كلٍ من الإحداثيات المعممة ومشتقاتها. تُعرف هذه القيود بالقيود غير الهولونومية. تأخذ القيود غير الهولونومية من الدرجة الأولى الشكل التالي:

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

من أمثلة هذه القيود عجلة دوارة أو حافة حادة تقيد اتجاه متجه السرعة. كما يمكن أن تتضمن القيود غير الهولونومية مشتقات من الرتبة التالية، مثل التسارعات المعممة.

الطاقة الحركية الكلية للنظام هي طاقة حركة النظام، وتعرف على النحو التالي ^{[ 9 ]}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

حيث يمثل · الضرب القياسي . الطاقة الحركية دالةٌ فقط للسرعات v _k ، وليست للإحداثيات rk نفسها. في المقابل _، تُعدّ الملاحظة المهمة ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

وهذا يوضح أن الطاقة الحركية هي بشكل عام دالة للسرعات المعممة والإحداثيات والوقت إذا كانت القيود تتغير أيضًا مع الوقت، لذا فإن T = T ( q , d q / dt , t ) .

في حالة كون القيود المفروضة على الجسيمات مستقلة عن الزمن، فإن جميع المشتقات الجزئية بالنسبة للزمن تساوي صفرًا، وتكون الطاقة الحركية دالة متجانسة من الدرجة 2 في السرعات المعممة.

أما في حالة عدم اعتماد الزمن، فإن هذا التعبير يعادل أخذ مربع عنصر الخط لمسار الجسيم k .

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

وبقسمة الناتج على مربع التفاضل الزمني، dt² ^، نحصل على مربع سرعة الجسيم k . وبالتالي، بالنسبة للقيود غير المعتمدة على الزمن، يكفي معرفة عنصر الخط للحصول بسرعة على الطاقة الحركية للجسيمات، ومن ثم دالة لاغرانج . ^{[ 11 ]}

من المفيد الاطلاع على الحالات المختلفة للإحداثيات القطبية في بعدين وثلاثة أبعاد، نظرًا لتكرار ظهورها. في الإحداثيات القطبية ثنائية الأبعاد ( r , θ ) ،

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

في الإحداثيات الأسطوانية ثلاثية الأبعاد ( r ، θ ، z ) ،

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

في الإحداثيات الكروية ثلاثية الأبعاد ( r ، θ ، φ ) ،

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

يُعرَّف الزخم المعمم " المترافق قانونيًا " مع الإحداثي q _{i بواسطة}

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

إذا لم يعتمد لاغرانجيان L على بعض الإحداثيات q _i ، فإنه يتبع من معادلات أويلر-لاغرانج أن الزخم المعمم المقابل سيكون كمية محفوظة ، لأن المشتق الزمني يساوي صفرًا مما يعني أن الزخم ثابت للحركة ؛

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}$

بالنسبة لخرزة تنزلق على سلك عديم الاحتكاك وتخضع لقوة الجاذبية فقط في فضاء ثنائي الأبعاد، يمكن التعبير عن قيد حركة الخرزة بالصيغة f ( r ) = 0 ، حيث يمكن كتابة موضع الخرزة على الصورة r = ( x ( s ), y ( s )) ، حيث s هو مُعامل، وهو طول القوس s على طول المنحنى انطلاقًا من نقطة ما على السلك. يُعد هذا اختيارًا مناسبًا للإحداثيات العامة للنظام. يكفي استخدام إحداثي واحد بدلًا من اثنين، لأن موضع الخرزة يُمكن تحديده برقم واحد، s ، ومعادلة القيد تربط بين الإحداثيين x و y ؛ إذ يُمكن تحديد أحدهما من الآخر. قوة القيد هي قوة رد الفعل التي يُؤثر بها السلك على الخرزة لإبقائها مُثبتة عليه، أما القوة غير المُؤثرة فهي قوة الجاذبية التي تُؤثر على الخرزة.

لنفترض أن السلك يغير شكله مع مرور الوقت عن طريق الانثناء. عندئذٍ تكون معادلة القيد وموضع الجسيم على التوالي

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))}$

يعتمد كلا المتغيرين الآن على الزمن t نتيجة لتغير الإحداثيات مع تغير شكل السلك. لاحظ أن الزمن يظهر ضمنيًا من خلال الإحداثيات ، ويظهر صراحةً في معادلات القيد.

يمكن توضيح العلاقة بين استخدام الإحداثيات المعممة والإحداثيات الديكارتية لوصف حركة نظام ميكانيكي من خلال النظر في الديناميكيات المقيدة لبندول بسيط. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

يتكون البندول البسيط من كتلة M معلقة من نقطة ارتكاز بحيث تتحرك على دائرة نصف قطرها L. يُحدد موضع الكتلة بواسطة متجه الإحداثيات r = ( x , y ) المقاس في مستوى الدائرة بحيث يكون y في الاتجاه الرأسي. وترتبط الإحداثيات x و y بمعادلة الدائرة.

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

وهذا يقيد حركة M. كما توفر هذه المعادلة قيدًا على مركبات السرعة.

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

والآن، لنُعرّف المعامل θ ، الذي يُحدد الموضع الزاوي للنقطة M بالنسبة للاتجاه الرأسي. ويمكن استخدامه لتحديد الإحداثيات x و y ، بحيث

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

إن استخدام θ لتحديد تكوين هذا النظام يتجنب القيد الذي توفره معادلة الدائرة.

لاحظ أن قوة الجاذبية المؤثرة على الكتلة m تُصاغ في الإحداثيات الديكارتية المعتادة،

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية .

يُعطى الشغل الافتراضي للجاذبية على الكتلة m أثناء سيرها على المسار r بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

يمكن حساب التغير δ r بدلالة الإحداثيات x و y ، أو بدلالة المعامل θ .

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

وبالتالي، يُعطى الشغل الافتراضي بواسطة

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .}$

لاحظ أن معامل δ y هو المركبة y للقوة المؤثرة. وبالمثل، يُعرف معامل δ θ بالقوة المعممة على طول الإحداثي المعمم θ ، ويُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

لإكمال التحليل، ضع في اعتبارك الطاقة الحركية T للكتلة، باستخدام السرعة،

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

لذا،

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

يُعطى شكل دالمبير لمبدأ الشغل الافتراضي للبندول بدلالة الإحداثيات x و y كما يلي:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

وهذا ينتج عنه المعادلات الثلاث.

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

في المجاهيل الثلاثة، x و y و λ .

باستخدام المعامل θ ، تأخذ تلك المعادلات الشكل التالي

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

والذي يصبح،

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

أو

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

ينتج عن هذه الصيغة معادلة واحدة لوجود مُعامل واحد فقط وعدم وجود معادلة قيد.

وهذا يدل على أن المعلمة θ هي إحداثية معممة يمكن استخدامها بنفس طريقة الإحداثيات الديكارتية x و y لتحليل البندول.

تتضح فوائد الإحداثيات المعممة عند تحليل البندول المزدوج . بالنسبة للكتلتين mᵢ ₍ حيث i = 1، 2) ، لنفترض أن _rᵢ = ( xᵢ _, yᵢ ₎ ، حيث i = 1، 2، تُحدد مساريهما. تُحقق هذه المتجهات معادلتي القيد.

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

و

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

ينتج عن صياغة معادلات لاغرانج لهذا النظام ست معادلات في الإحداثيات الديكارتية الأربعة x _i ، y _i ( i = 1 ، 2) ومضاعفي لاغرانج λ _i ( i = 1 ، 2) التي تنشأ من معادلتي القيد.

الآن، نُعرّف الإحداثيات المعممة θᵢ (حيث _i = 1، 2) التي تُحدد الموضع الزاوي لكل كتلة من كتل البندول المزدوج من الاتجاه الرأسي. في هذه الحالة، لدينا

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

قوة الجاذبية المؤثرة على الكتل تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية. وبالتالي، فإن الشغل الافتراضي للجاذبية على الكتلتين أثناء تحركهما على المسارين rᵢ (حيث _i = 1، 2) يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

يمكن حساب التغيرات δ r _i ( i = 1, 2) على النحو التالي

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

وبالتالي، يُعطى الشغل الافتراضي بواسطة

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

والقوى المعممة هي

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

احسب الطاقة الحركية لهذا النظام لتكون

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

ينتج عن معادلة أويلر-لاغرانج معادلتان في الإحداثيات المعممة المجهولة θ _i ( i = 1، 2) المعطاة بواسطة ^{[ 14 ]}

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

و

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

يوفر استخدام الإحداثيات المعممة θ _i ( i = 1، 2) بديلاً للصياغة الديكارتية لديناميكيات البندول المزدوج.

كمثال ثلاثي الأبعاد، بندول كروي ذو طول ثابت l حر الحركة في أي اتجاه زاوي تحت تأثير الجاذبية، يمكن التعبير عن القيد المفروض على ثقل البندول بالشكل التالي:

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,}$

حيث يمكن كتابة موضع ثقل البندول

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,}$

حيث تمثل ( θ ، φ ) الزوايا القطبية الكروية لأن الجسم يتحرك على سطح كرة. يُقاس الموضع r على طول نقطة التعليق بالنسبة للجسم، الذي يُعامل هنا كجسيم نقطي . يُعد اختيار الزوايا ( θ ، φ ) كإحداثيات معممة لوصف الحركة خيارًا منطقيًا . يكفي استخدام إحداثيين فقط بدلًا من ثلاثة، لأن موضع الجسم يمكن تحديده برقمين، ومعادلة القيد تربط الإحداثيات الثلاثة ( x ، y ، z )، بحيث يمكن تحديد أي منها من الإحداثيين الآخرين.