الطاقة الكامنة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 61 صور
الموسوعة الحرة

في الفيزياء ، تُعرف طاقة الوضع بأنها الطاقة التي يمتلكها جسم أو نظام نتيجة لموقعه بالنسبة للأجسام الأخرى، أو لتكوين جسيماته. وتساوي هذه الطاقة الشغل المبذول للتغلب على أي قوى معاكسة، مثل الجاذبية أو قوى الزنبرك. [ 1 ]

تم تقديم مصطلح الطاقة الكامنة من قبل المهندس والفيزيائي الاسكتلندي ويليام رانكين في القرن التاسع عشر ، [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] على الرغم من وجود روابط بينه وبين مفهوم الفيلسوف اليوناني القديم أرسطو عن الإمكانية .

تشمل أنواع الطاقة الكامنة الشائعة طاقة الوضع التثاقلية ، وطاقة الوضع المرنة لنابض مشوه، وطاقة الوضع الكهربائية لشحنة كهربائية ومجال كهربائي . وحدة الطاقة في النظام الدولي للوحدات (SI) هي الجول (رمزها J).

ترتبط طاقة الوضع بالقوى المؤثرة على جسم ما، بحيث يعتمد الشغل الكلي الذي تبذله هذه القوى على الجسم فقط على موضعيه الابتدائي والنهائي في الفضاء. تُسمى هذه القوى، التي لا يعتمد شغلها الكلي على المسار، بالقوى المحافظة . إذا تغيرت القوة المؤثرة على جسم ما عبر الفضاء، فإنه يتشكل مجال قوة ؛ يُوصف هذا المجال بمتجهات عند كل نقطة في الفضاء، ويُسمى بدوره مجال متجه . يمكن التعبير عن مجال المتجهات المحافظ ببساطة على أنه تدرج دالة قياسية معينة، تُسمى جهدًا قياسيًا . ترتبط طاقة الوضع بهذه الدالة، ويمكن الحصول عليها منها.

ملخص

توجد أنواع مختلفة من طاقة الوضع، يرتبط كل منها بنوع معين من القوى. على سبيل المثال، يُطلق على شغل القوة المرنة اسم طاقة الوضع المرنة؛ ويُطلق على شغل قوة الجاذبية اسم طاقة الوضع الجاذبية؛ ويُطلق على شغل قوة كولوم اسم طاقة الوضع الكهربائية ؛ ويُطلق على شغل القوة النووية المؤثرة على شحنة الباريون اسم طاقة الوضع النووية؛ ويُطلق على شغل القوى بين الجزيئية اسم طاقة الوضع بين الجزيئية. أما طاقة الوضع الكيميائية، مثل الطاقة المخزنة في الوقود الأحفوري ، فهي شغل قوة كولوم أثناء إعادة ترتيب تكوينات الإلكترونات والنوى في الذرات والجزيئات. تتكون الطاقة الحرارية عادةً من عنصرين: الطاقة الحركية للحركات العشوائية للجسيمات وطاقة الوضع لتكوينها.

تُسمى القوى المشتقة من طاقة كامنة أيضًا بالقوى المحافظة . الشغل المبذول بواسطة قوة محافظة هو دبليو=-Δيو،{\displaystyle W=-\Delta U,} أينΔيو{\displaystyle \Delta U}يمثل التغير في طاقة الوضع المرتبطة بالقوة. تشير الإشارة السالبة إلى أن الشغل المبذول ضد مجال القوة يزيد من طاقة الوضع، بينما الشغل المبذول بواسطة مجال القوة يقلل من طاقة الوضع. وتُستخدم الرموز الشائعة لطاقة الوضع PE و U و V و E p .

الطاقة الكامنة هي الطاقة الناتجة عن موقع الجسم بالنسبة للأجسام الأخرى. [ 5 ] غالبًا ما ترتبط الطاقة الكامنة بقوى الاستعادة، مثل قوة الزنبرك أو قوة الجاذبية . يتم شد الزنبرك أو رفع كتلة بواسطة قوة خارجية تعمل ضد مجال قوة الطاقة الكامنة. يُخزن هذا الشغل في مجال القوة، والذي يُقال إنه مُخزن كطاقة كامنة. إذا أُزيلت القوة الخارجية، فإن مجال القوة يؤثر على الجسم لأداء الشغل، حيث يُعيد الجسم إلى موضعه الأصلي، مما يُقلل من تمدد الزنبرك أو يتسبب في سقوط الجسم.

لنفترض كرة كتلتها m تسقط من ارتفاع h . تسارع السقوط الحر g ثابت تقريبًا، لذا فإن قوة وزن الكرة mg ثابتة. حاصل ضرب القوة في الإزاحة يعطي الشغل المبذول، وهو يساوي طاقة الوضع التثاقلية. يوز=مزح.{\displaystyle U_{\text{g}}=mgh.}

التعريف الأكثر رسمية هو أن الطاقة الكامنة هي فرق الطاقة بين طاقة الجسم في موضع معين وطاقته في موضع مرجعي.

تاريخ

منذ حوالي عام 1840، سعى العلماء إلى تعريف الطاقة والشغل وفهمهما . [ 4 ] صاغ ويليام رانكين ، المهندس والفيزيائي الاسكتلندي، مصطلح "الطاقة الكامنة" عام 1853 كجزء من جهد محدد لتطوير المصطلحات. [ 2 ] اختار رانكين هذا المصطلح كجزء من ثنائية "الطاقة الفعلية" مقابل "الطاقة الكامنة"، مستندًا إلى أعمال أرسطو . في مناقشته للموضوع نفسه عام 1867، وصف رانكين الطاقة الكامنة بأنها "طاقة التكوين" في مقابل الطاقة الفعلية بأنها "طاقة النشاط". وفي عام 1867 أيضًا، قدم ويليام طومسون مصطلح "الطاقة الحركية" باعتباره نقيض "الطاقة الكامنة"، مؤكدًا أن جميع الطاقة الفعلية تأخذ شكل ½ mv² . وبمجرد أن لاقت هذه الفرضية قبولًا واسعًا، تلاشى مصطلح "الطاقة الفعلية" تدريجيًا. [ 3 ]

سمة من سمات الأنظمة المحافظة

ترتبط طاقة الوضع ارتباطًا وثيقًا بالقوى في الحقول المحافظة . إذا كان الشغل المبذول بواسطة قوة على جسم يتحرك من النقطة أ إلى النقطة ب لا يعتمد على المسار بين هاتين النقطتين (إذا كان الشغل المبذول بواسطة قوة محافظة )، فإن شغل هذه القوة المقاس من النقطة أ يُسند قيمة قياسية إلى كل نقطة أخرى في الفضاء، ويُعرّف حقل وضع قياسي . في هذه الحالة، يمكن تعريف القوة بأنها معكوس تدرج متجه حقل الوضع.

إذا كان الشغل المبذول لقوة مطبقة مستقلاً عن المسار، فإن الشغل المبذول بواسطة هذه القوة يُحسب من بداية مسار نقطة التأثير إلى نهايته. وهذا يعني وجود دالة U ( x ) ، تُسمى "الجهد"، يمكن حسابها عند النقطتين xA و xB للحصول على الشغل المبذول على أي مسار بين هاتين النقطتين. جرت العادة على تعريف هذه الدالة بإشارة سالبة بحيث يكون الشغل الموجب بمثابة انخفاض في الجهد، أي دبليو=∫جF⋅دx=يو(xأ)-يو(xب){\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}})} حيث C هو المسار المتخذ من A إلى B. ولأن العمل المنجز مستقل عن المسار المتخذ، فإن هذا التعبير صحيح لأي مسار، C ، من A إلى B.

تُسمى الدالة U ( x ) طاقة الوضع المرتبطة بالقوة المؤثرة. ومن أمثلة القوى التي تمتلك طاقة وضع: قوة الجاذبية وقوة الزنبرك.

مشتق من إمكانية

في هذا القسم، تُعرض العلاقة بين الشغل والطاقة الكامنة بمزيد من التفصيل. يأخذ التكامل الخطي الذي يُعرّف الشغل على طول المنحنى C شكلاً خاصاً إذا كانت القوة F مرتبطة بحقل قياسي U ′( x ) بحيث F=∇يو′=(∂يو′∂x،∂يو′∂y،∂يو′∂z).{\displaystyle \mathbf {F} ={\nabla U'}=\left({\frac {\partial U'}{\partial x}},{\frac {\partial U'}{\partial y}},{\frac {\partial U'}{\partial z}}\right).} هذا يعني أن وحدات U ′ يجب أن تكون في هذه الحالة، ويُعطى الشغل على طول المنحنى بواسطة دبليو=∫جF⋅دx=∫ج∇يو′⋅دx،{\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{C}\nabla U'\cdot d\mathbf {x} ,} والتي يمكن تقييمها باستخدام نظرية التدرج للحصول على دبليو=يو′(xب)-يو′(xأ).{\displaystyle W=U'(\mathbf {x} _{\text{B}})-U'(\mathbf {x} _{\text{A}}).} يُبين هذا أنه عندما تكون القوى قابلة للاشتقاق من حقل قياسي، فإن شغل تلك القوى على طول منحنى C يُحسب بتقييم الحقل القياسي عند نقطة البداية A ونقطة النهاية B للمنحنى. وهذا يعني أن تكامل الشغل لا يعتمد على المسار بين A وB، ويُقال إنه مستقل عن المسار.

تُعرَّف طاقة الوضع U = − U ′( x ) تقليديًا بأنها معكوس هذا المجال القياسي، بحيث يؤدي الشغل المبذول بواسطة مجال القوة إلى تقليل طاقة الوضع، أي دبليو=يو(xأ)-يو(xب).{\displaystyle W=U(\mathbf {x} _{\text{A}})-U(\mathbf {x} _{\text{B}}).}

في هذه الحالة، ينتج عن تطبيق عامل الحذف (del) على دالة الشغل ما يلي: ∇دبليو=-∇يو=-(∂يو∂x،∂يو∂y،∂يو∂z)=F،{\displaystyle {\nabla W}=-{\nabla U}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,} ويُقال إن القوة F "قابلة للاشتقاق من جهد كامن". [ 6 ] وهذا يستلزم بالضرورة أن تكون F حقلاً متجهياً محافظاً . يُحدد الجهد الكامن U قوة F عند كل نقطة x في الفضاء، ولذلك تُسمى مجموعة القوى حقلاً للقوى .

حساب طاقة الوضع

بفرض وجود مجال قوة F ( x )، يمكن استخدام تقييم تكامل الشغل باستخدام نظرية التدرج لإيجاد الدالة العددية المرتبطة بطاقة الوضع. ويتم ذلك عن طريق إدخال منحنى وسيطي γ ( t ) = r ( t ) من γ ( a ) = A إلى γ ( b ) = B ، وحساب، ∫γ∇Φ(ر)⋅در=∫أب∇Φ(ر(ت))⋅ر′(ت)دت،=∫أبددتΦ(ر(ت))دت=Φ(ر(ب))-Φ(ر(أ))=Φ(xب)-Φ(xأ).// {d}{dt}}\Phi (\mathbf {r} (t))dt=\Phi (\mathbf {r} (b))-\Phi (\mathbf {r} (a))=\Phi \left(\mathbf {x} _{B}\right)-\Phi \left(\mathbf {x} _{A}\right).\end{محاذاة}}}

بالنسبة لحقل القوة F ، إذا افترضنا أن v = dr / dt ، فإن نظرية التدرج تعطينا، ∫γF⋅در=∫أبF⋅vدت،=-∫أبددتيو(ر(ت))دت=يو(xأ)-يو(xب).// (t))\,dt=U(\mathbf {x} _{A})-U(\mathbf {x} _{B}).\end{محاذاة}}}

تُحسب القدرة المطبقة على جسم ما بواسطة مجال قوة من تدرج الشغل، أو الجهد، في اتجاه سرعة نقطة التأثير v ، أيP(ت)=-∇يو⋅v=F⋅v.{\displaystyle P(t)=-{\nabla U}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .}

من أمثلة العمل الذي يمكن حسابه من الدوال الكامنة قوى الجاذبية وقوى الزنبرك. [ 7 ]

الطاقة الكامنة لجاذبية الأرض القريبة

يستخدم المنجنيق طاقة الوضع التثاقلية للثقل الموازن لقذف المقذوفات لمسافة تزيد عن 200 متر .

بالنسبة للتغيرات الطفيفة في الارتفاع، يمكن حساب طاقة الوضع التثاقلية باستخدام يوز=مزح،{\displaystyle U_{\text{g}}=mgh,} حيث m هي الكتلة بالكيلوغرامات، و g هو مجال الجاذبية المحلي (9.8 متر في الثانية المربعة على الأرض)، و h هو الارتفاع فوق مستوى مرجعي بالأمتار، و U هي الطاقة بالجول.

في الفيزياء الكلاسيكية، تُؤثر الجاذبية بقوة ثابتة نحو الأسفل F = (0, 0, F z ) على مركز كتلة جسم يتحرك بالقرب من سطح الأرض. يُحسب شغل الجاذبية على جسم يتحرك على طول مسار r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) ، مثل مسار قطار الملاهي، باستخدام سرعته v = ( v x , v y , v z ) ، للحصول على دبليو=∫ت1ت2F⋅vدت=∫ت1ت2Fzvzدت=FzΔz.{\displaystyle W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{\text{z}}v_{\text{z}}\,dt=F_{\text{z}}\Delta z.} حيث يمثل تكامل المركبة الرأسية للسرعة المسافة الرأسية. ويعتمد شغل الجاذبية فقط على الحركة الرأسية للمنحنى r ( t ) .

الطاقة الكامنة لنابض خطي

تُستخدم النوابض لتخزين طاقة الوضع المرنة
الرماية هي واحدة من أقدم تطبيقات البشرية للطاقة الكامنة المرنة

يؤثر نابض أفقي بقوة F = (− kx , 0, 0) تتناسب مع تشوهه في الاتجاه المحوري أو اتجاه المحور x . يُحسب شغل هذا النابض على جسم يتحرك على طول المنحنى الفضائي s ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) باستخدام سرعته v = ( v x , v y , v z ) ، للحصول على دبليو=∫0تF⋅vدت=-∫0تكxvxدت=-∫0تكxدxدتدت=∫x(ت0)x(ت)كxدx=12كx2{\displaystyle W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=-\int _{0}^{t}kxv_{\text{x}}\,dt=-\int _{0}^{t}kx{\frac {dx}{dt}}dt=\int _{x(t_{0})}^{x(t)}kx\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}} ولتسهيل الأمر، اعتبر أن الاتصال بالزنبرك يحدث عند t = 0 ، ثم يكون تكامل حاصل ضرب المسافة x والسرعة x ، xv x ، هو x 2 /2.

الوظيفة يو(x)=12كx2،{\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},} تُسمى طاقة الوضع للنابض الخطي.

طاقة الوضع المرنة هي طاقة الوضع لجسم مرن (مثل القوس أو المنجنيق) يتعرض للتشوه تحت تأثير الشد أو الضغط (أو الإجهاد، وفقًا للمصطلحات الرسمية). تنشأ هذه الطاقة نتيجة لقوة تحاول إعادة الجسم إلى شكله الأصلي، وغالبًا ما تكون هذه القوة هي القوة الكهرومغناطيسية بين الذرات والجزيئات المكونة للجسم. عند زوال الشد، تتحول الطاقة إلى طاقة حركية .

الطاقة الكامنة لقوى الجاذبية بين جسمين

دالة الجهد التثاقلي، والمعروفة أيضًا باسم طاقة الوضع التثاقلي ، هي: يو=-جيممر،{\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}},}

تتبع الإشارة السالبة الاصطلاح القائل بأن العمل يُكتسب من فقدان الطاقة الكامنة.

الاشتقاق

تُعطى قوة الجاذبية بين جسمين كتلتهما M و m يفصل بينهما مسافة r بقانون نيوتن للجاذبية الكونية.F=-جيممر2ر^،{\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,} أينر^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }هو متجه طوله 1 يشير من M إلى m و G هو ثابت الجاذبية .

إذا تحركت الكتلة m بسرعة v، فإن شغل الجاذبية المؤثر على هذه الكتلة أثناء انتقالها من الموضع r ( t1 ) إلى r ( t2 ) يُعطى بالعلاقة التالية :دبليو=-∫ر(ت1)ر(ت2)جيممر3ر⋅در=-∫ت1ت2جيممر3ر⋅vدت.{\displaystyle W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.}يُعطى موضع وسرعة الكتلة m بالعلاقة التالية:ر=رهـر،v=ر˙هـر+رθ˙هـت،{\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{\text{r}}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\text{t}},} حيث يمثل e <sub>r</sub> و e<sub> t</sub> متجهي الوحدة الشعاعي والمماسي الموجهين بالنسبة للمتجه من M إلى m . استخدم هذا لتبسيط صيغة شغل الجاذبية إلى: دبليو=-∫ت1ت2جيممر3(رهـر)⋅(ر˙هـر+رθ˙هـت)دت=-∫ت1ت2جيممر3رر˙دت=جيممر(ت2)-جيممر(ت1).{\displaystyle W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{\text{r}})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{\text{r}}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\text{t}})\,dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.}

تعتمد هذه الحسابات على حقيقة أن ددتر-1=-ر-2ر˙=-ر˙ر2.{\displaystyle {\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.}

طاقة الوضع للقوى الكهروستاتيكية بين جسمين

تُعطى القوة الكهروستاتيكية التي تؤثر بها شحنة Q على شحنة أخرى q تفصل بينهما مسافة r بقانون كولومF=14πε0سؤالqر2ر^،{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,} أينر^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }هو متجه طوله 1 يشير من Q إلى q و ε 0 هي سماحية الفراغ .

يُعطى الشغل W اللازم لنقل الشحنة q من النقطة A إلى أي نقطة B في مجال القوة الكهروستاتيكية بواسطة دالة الجهد.يو(ر)=14πε0سؤالqر.{\displaystyle U(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}.}

المستوى المرجعي

الطاقة الكامنة هي دالة لحالة النظام، وتُعرَّف نسبةً إلى حالة مرجعية معينة. هذه الحالة المرجعية ليست دائمًا حالة حقيقية؛ فقد تكون حدًا، كما هو الحال مع المسافات بين جميع الأجسام التي تؤول إلى اللانهاية، شريطة أن تكون الطاقة اللازمة للوصول إلى هذا الحد محدودة، كما في حالة القوى التي تخضع لقانون التربيع العكسي . يمكن استخدام أي حالة مرجعية اختيارية؛ لذا يمكن اختيارها بناءً على ما هو مناسب.

عادةً ما تعتمد الطاقة الكامنة للنظام على المواضع النسبية لمكوناته فقط، لذلك يمكن أيضًا التعبير عن الحالة المرجعية من حيث المواضع النسبية.

طاقة الوضع التثاقلية

الطاقة الكامنة هي الطاقة الكامنة المرتبطة بقوة الجاذبية ، إذ يتطلب رفع الأجسام ضد جاذبية الأرض بذل شغل. تُسمى الطاقة الكامنة الناتجة عن المواقع المرتفعة بالطاقة الكامنة الجاذبية، ويتجلى ذلك في وجود الماء في خزان مرتفع أو خلف سد. إذا سقط جسم من نقطة إلى أخرى داخل مجال جاذبية، فإن قوة الجاذبية ستبذل شغلاً موجباً على الجسم، وبالتالي ستنخفض الطاقة الكامنة الجاذبية بنفس المقدار.

تحافظ قوة الجاذبية على الكواكب في مداراتها حول الشمس

تخيل كتابًا موضوعًا على طاولة. عندما يُرفع الكتاب من الأرض إلى الطاولة، تعمل قوة خارجية ضد قوة الجاذبية. إذا سقط الكتاب عائدًا إلى الأرض، فإن طاقة السقوط التي يكتسبها الكتاب تُستمد من قوة الجاذبية. وبالتالي، إذا سقط الكتاب من على الطاولة، فإن طاقة الوضع هذه تُستخدم لتسريع كتلة الكتاب وتتحول إلى طاقة حركية . عندما يصطدم الكتاب بالأرض، تتحول هذه الطاقة الحركية إلى حرارة وتشوه وصوت نتيجةً للصدمة.

العوامل المؤثرة على طاقة الوضع التثاقلية لجسم ما هي ارتفاعه بالنسبة لنقطة مرجعية، وكتلته، وقوة مجال الجاذبية المحيط به. لذا، يمتلك كتاب موضوع على طاولة طاقة وضع تثاقلية أقل من نفس الكتاب الموضوع فوق خزانة أطول، وأقل أيضًا من كتاب أثقل موضوع على نفس الطاولة. كما أن الجسم الموجود على ارتفاع معين فوق سطح القمر يمتلك طاقة وضع تثاقلية أقل من الجسم الموجود على نفس الارتفاع فوق سطح الأرض، وذلك لأن جاذبية القمر أضعف. لا يمكن استخدام مفهوم "الارتفاع" بمعناه الشائع في حسابات طاقة الوضع التثاقلية عندما لا يُفترض ثبات الجاذبية. تُقدم الأقسام التالية مزيدًا من التفاصيل.

التقريب المحلي

تختلف قوة مجال الجاذبية باختلاف الموقع. ومع ذلك، عندما يكون تغير المسافة صغيرًا مقارنةً بالمسافات من مركز مصدر مجال الجاذبية، فإن هذا التغير في قوة المجال يُهمل، ويمكننا افتراض أن قوة الجاذبية المؤثرة على جسم معين ثابتة. بالقرب من سطح الأرض، على سبيل المثال، نفترض أن تسارع الجاذبية ثابت g = 9.8 م/ث² ( الجاذبية القياسية ). في هذه الحالة، يمكن اشتقاق تعبير بسيط لطاقة الوضع التثاقلية باستخدام معادلة الشغل W = Fd ، والمعادلة دبليوF=-ΔيوF.{\displaystyle W_{\text{F}}=-\Delta U_{\text{F}}.}

مقدار طاقة الوضع التثاقلية التي يمتلكها جسم مرتفع يساوي الشغل المبذول ضد الجاذبية لرفعه. الشغل المبذول يساوي القوة اللازمة لتحريكه لأعلى مضروبة في المسافة الرأسية التي يتحركها (تذكر أن الشغل = القوة × المسافة ). القوة اللازمة لرفعه أثناء الحركة بسرعة ثابتة تساوي وزن الجسم، mg ، لذا فإن الشغل المبذول لرفعه مسافة h يساوي حاصل ضرب mgh . وبالتالي، عند الأخذ في الاعتبار الكتلة والجاذبية والارتفاع فقط ، تكون المعادلة كما يلي : [ 8 ]يو=مزح{\displaystyle U=mgh} حيث U هي طاقة الوضع للجسم بالنسبة لوجوده على سطح الأرض، و m هي كتلة الجسم، و g هي تسارع الجاذبية، و h هو ارتفاع الجسم. [ 9 ]

وبالتالي، فإن فرق الجهد هو Δيو=مزΔح.{\displaystyle \Delta U=mg\Delta h.}

الصيغة العامة

مع ذلك، عند تغير المسافة بشكل كبير، يصبح افتراض ثبات قيمة g غير صالح، ويتعين علينا استخدام حساب التفاضل والتكامل والتعريف الرياضي العام للشغل لتحديد طاقة الوضع التثاقلية. لحساب طاقة الوضع، يمكننا تكامل قوة الجاذبية، التي يُعطى مقدارها بقانون نيوتن للجاذبية ، بالنسبة للمسافة r بين الجسمين. باستخدام هذا التعريف، تكون طاقة الوضع التثاقلية لنظام كتلتين m₁ و M₂ عند مسافة r، باستخدام ثابت نيوتن للجاذبية G ، هي يو=-جيم1م2ر+ك،{\displaystyle U=-G{\frac {m_{1}M_{2}}{r}}+K,} حيث K ثابت اختياري يعتمد على اختيار نقطة مرجعية لقياس الجهد. إن اختيار الاصطلاح بأن K = 0 (أي بالنسبة لنقطة في اللانهاية) يُبسط الحسابات، وإن كان ذلك على حساب جعل U سالبة؛ لمعرفة سبب منطقية ذلك من الناحية الفيزيائية، انظر أدناه.

باستخدام هذه الصيغة لـ U ، يتم إيجاد طاقة الوضع الكلية لنظام مكون من n جسمًا عن طريق جمع، لجميعن(ن-1)2{\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}أزواج من جسمين، طاقة الوضع لنظام هذين الجسمين.

مجموع الجهد الجاذبييو=-م(جيم1ر1+جيم2ر2){\displaystyle U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)}

باعتبار نظام الأجسام مجموعةً متكاملةً من الجسيمات الصغيرة التي تتكون منها، وبتطبيق ما سبق على مستوى الجسيمات، نحصل على طاقة الربط التثاقلية السالبة . هذه الطاقة الكامنة سالبةٌ أكثر من الطاقة الكامنة الكلية لنظام الأجسام ككل، لأنها تشمل أيضًا طاقة الربط التثاقلية السالبة لكل جسم. الطاقة الكامنة لنظام الأجسام ككل هي سالب الطاقة اللازمة لفصل الأجسام عن بعضها إلى ما لا نهاية، بينما طاقة الربط التثاقلية هي الطاقة اللازمة لفصل جميع الجسيمات عن بعضها إلى ما لا نهاية. يو=-م(جيم1ر1+جيم2ر2){\displaystyle U=-m\left(G{\frac {M_{1}}{r_{1}}}+G{\frac {M_{2}}{r_{2}}}\right)} لذلك، يو=-م∑جيمر،{\displaystyle U=-m\sum G{\frac {M}{r}},}

الطاقة الجاذبية السالبة

كما هو الحال مع جميع طاقات الوضع، فإن الاختلافات في طاقة الوضع التثاقلية هي فقط ما يهم في معظم التطبيقات الفيزيائية، واختيار نقطة الصفر هو اختيار اعتباطي. ونظرًا لعدم وجود معيار معقول لتفضيل قيمة محددة لـ r على أخرى، يبدو أن هناك خيارين معقولين فقط للمسافة التي تصبح عندها U صفرًا:ر=0{\displaystyle r=0}ور=∞{\displaystyle r=\infty }اختياريو=0{\displaystyle U=0}قد يبدو الأمر غريباً عند اللانهاية، وقد تبدو النتيجة المتمثلة في أن طاقة الجاذبية سالبة دائماً غير بديهية، لكن هذا الخيار يسمح بأن تكون قيم طاقة الوضع الجاذبية محدودة، وإن كانت سالبة.

التفرد عند​ر=0{\displaystyle r=0}في صيغة طاقة الوضع التثاقلية، يعني ذلك أن الخيار البديل الوحيد المعقول ظاهريًا هو الاصطلاح، معيو=0{\displaystyle U=0}لـ​ر=0{\displaystyle r=0}سيؤدي ذلك إلى أن تكون طاقة الوضع موجبة، ولكنها ستكون كبيرة جدًا لجميع قيم r غير الصفرية ، وسيجعل الحسابات التي تتضمن مجاميع أو فروق طاقات الوضع تتجاوز ما هو ممكن باستخدام نظام الأعداد الحقيقية . ولأن الفيزيائيين يكرهون اللانهاية في حساباتهم، ولأن r دائمًا ما تكون غير صفرية عمليًا، فإن اختياريو=0{\displaystyle U=0}إن الخيار الأفضل هو عند اللانهاية، حتى لو بدت فكرة الطاقة السلبية في بئر الجاذبية غريبة في البداية.

كما أن للقيمة السالبة لطاقة الجاذبية دلالات أعمق تجعلها تبدو أكثر منطقية في الحسابات الكونية حيث يمكن اعتبار الطاقة الكلية للكون ذات مغزى؛ انظر نظرية التضخم لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع. [ 10 ]

الاستخدامات

تُستخدم طاقة الوضع الجاذبية في العديد من التطبيقات العملية، ولا سيما توليد الطاقة الكهرومائية بالتخزين الضخّي . فعلى سبيل المثال، في دينورويغ ، ويلز، توجد بحيرتان، إحداهما أعلى من الأخرى. في الأوقات التي لا يكون فيها فائض الكهرباء مطلوبًا (وبالتالي يكون سعره منخفضًا نسبيًا)، يُضخ الماء إلى البحيرة الأعلى، محولًا بذلك الطاقة الكهربائية (التي تُشغل المضخة) إلى طاقة وضع جاذبية. وفي أوقات ذروة الطلب على الكهرباء، يتدفق الماء عائدًا إلى أسفل عبر توربينات مولدات الكهرباء، محولًا طاقة الوضع إلى طاقة حركية، ثم إلى كهرباء مرة أخرى. هذه العملية ليست فعالة تمامًا، إذ يُفقد جزء من الطاقة الأصلية من فائض الكهرباء بسبب الاحتكاك. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]

تُستخدم طاقة الوضع الجاذبية أيضًا لتشغيل الساعات التي تعمل فيها الأوزان الساقطة على تشغيل الآلية.

كما يستخدم أيضاً بواسطة الأثقال الموازنة لرفع المصعد أو الرافعة أو النافذة المنزلقة .

تعتبر الأفعوانيات وسيلة مسلية لاستخدام الطاقة الكامنة - حيث تُستخدم السلاسل لتحريك العربة لأعلى منحدر (مما يؤدي إلى تراكم طاقة الوضع الجاذبية)، ثم يتم تحويل تلك الطاقة إلى طاقة حركية أثناء سقوطها.

من الاستخدامات العملية الأخرى استغلال طاقة الوضع الناتجة عن الجاذبية للهبوط (أو ربما الانزلاق) في وسائل النقل، مثل هبوط السيارات والشاحنات والقطارات والدراجات والطائرات، أو السوائل في الأنابيب. في بعض الحالات، يمكن استخدام الطاقة الحركية الناتجة عن طاقة الوضع أثناء الهبوط لبدء الصعود إلى المستوى التالي، كما يحدث عند وجود تضاريس متموجة وانخفاضات متكررة على الطريق. ويجري حاليًا في الولايات المتحدة الأمريكية تسويق الطاقة المخزنة (على شكل عربات قطارات تُرفع إلى ارتفاعات أعلى) والتي تُحوّل لاحقًا إلى طاقة كهربائية عند الحاجة إليها من قِبل شبكة الكهرباء، وذلك ضمن نظام يُسمى نظام تخزين طاقة السكك الحديدية المتقدم (ARES). [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

طاقة الوضع الكيميائية

الطاقة الكيميائية الكامنة هي شكل من أشكال الطاقة الكامنة المرتبطة بالترتيب البنيوي للذرات أو الجزيئات. قد يكون هذا الترتيب ناتجًا عن روابط كيميائية داخل الجزيء أو غيرها. يمكن تحويل الطاقة الكيميائية لمادة كيميائية إلى أشكال أخرى من الطاقة عن طريق التفاعل الكيميائي . على سبيل المثال، عند احتراق الوقود، تتحول الطاقة الكيميائية إلى حرارة، وينطبق الأمر نفسه على هضم الطعام الذي يتم استقلابه في الكائن الحي. تحوّل النباتات الخضراء الطاقة الشمسية إلى طاقة كيميائية من خلال عملية التمثيل الضوئي ، ويمكن تحويل الطاقة الكهربائية إلى طاقة كيميائية من خلال التفاعلات الكهروكيميائية .

يُستخدم مصطلح الجهد الكيميائي المماثل للإشارة إلى إمكانية خضوع مادة ما لتغيير في تكوينها، سواء كان ذلك في شكل تفاعل كيميائي، أو نقل مكاني، أو تبادل الجسيمات مع خزان، وما إلى ذلك.

طاقة الوضع الكهربائية

يمكن أن يمتلك الجسم طاقة كامنة بفضل شحنته الكهربائية والعديد من القوى المرتبطة بوجوده. وهناك نوعان رئيسيان من هذه الطاقة الكامنة: الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية، والطاقة الكامنة الكهروديناميكية (وتسمى أحيانًا الطاقة الكامنة المغناطيسية).

تشكلت البلازما داخل كرة مملوءة بالغاز

طاقة الوضع الكهروستاتيكية

تُحسب طاقة الوضع الكهروستاتيكية بين جسمين في الفضاء من القوة التي تؤثر بها شحنة Q على شحنة أخرى q ، والتي تُعطى بالعلاقة التالية: Fهـ=-14πε0سؤالqر2ر^،{\displaystyle \mathbf {F} _{e}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,} أينر^{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }هو متجه طوله 1 يشير من Q إلى q و ε 0 هي سماحية الفراغ .

إذا افترضنا أن الشحنة الكهربائية لجسم ما في حالة سكون، فإنه يمتلك طاقة كامنة نتيجة لموقعه بالنسبة للأجسام المشحونة الأخرى. تُعرف الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية بأنها طاقة جسيم مشحون كهربائيًا (في حالة سكون) في مجال كهربائي. وهي تُعرَّف بأنها الشغل اللازم لنقله من مسافة لا نهائية إلى موقعه الحالي، مع مراعاة القوى غير الكهربائية المؤثرة عليه. وعادةً ما تكون هذه الطاقة غير صفرية إذا كان هناك جسم مشحون كهربائيًا آخر قريب.

الشغل W اللازم لنقل الشحنة q من النقطة A إلى أي نقطة B في مجال القوة الكهروستاتيكية يُعطى بالعلاقة التالية: Δيوأب(ر)=-∫أبFهـ⋅در{\displaystyle \Delta U_{AB}({\mathbf {r} })=-\int _{A}^{B}\mathbf {F_{e}} \cdot d\mathbf {r} } يُقاس عادةً بوحدة الجول (J). وهناك كمية ذات صلة تسمى الجهد الكهربائي (يرمز لها عادةً بالحرف V اختصاراً للفولتية) وهي تساوي طاقة الوضع الكهربائية لكل وحدة شحنة.

طاقة الوضع المغناطيسية

طاقة العزم المغناطيسيμ{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}في مجال مغناطيسي خارجي B، يمتلك B طاقة كامنة [ 19 ]يو=-μ⋅ب.{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .}

المغنطة M في مجال مغناطيسي هييو=-12∫م⋅بدV،{\displaystyle U=-{\frac {1}{2}}\int \mathbf {M} \cdot \mathbf {B} \,dV,} حيث يمكن أن يشمل التكامل الفضاء بأكمله، أو بصورة مكافئة، حيث تكون قيمة M غير صفرية. [ 20 ] طاقة الوضع المغناطيسية هي شكل من أشكال الطاقة لا يرتبط فقط بالمسافة بين المواد المغناطيسية، بل يرتبط أيضًا باتجاه أو محاذاة تلك المواد داخل المجال. على سبيل المثال، تكون طاقة الوضع المغناطيسية لإبرة البوصلة في أدنى مستوياتها عندما تكون محاذية للقطبين الشمالي والجنوبي للمجال المغناطيسي للأرض. إذا تحركت الإبرة بفعل قوة خارجية، فإن عزم الدوران الناتج عن المجال المغناطيسي للأرض يؤثر على ثنائي القطب المغناطيسي للإبرة، مما يؤدي إلى عودتها إلى وضعها الأصلي. وتكون طاقة الوضع المغناطيسية للإبرة في أعلى مستوياتها عندما يكون مجالها في نفس اتجاه المجال المغناطيسي للأرض. يمتلك مغناطيسين طاقة وضع بالنسبة لبعضهما البعض والمسافة بينهما، ولكن هذا يعتمد أيضًا على اتجاههما. إذا تم فصل قطبين متعاكسين، فإن طاقة الوضع ستكون أعلى كلما زادت المسافة بينهما وأقل كلما اقتربا. وعلى العكس من ذلك، فإن الأقطاب المتشابهة ستكون لها أعلى طاقة وضع عند إجبارها على الاقتراب من بعضها، وأدنى طاقة وضع عند انفصالها. [ 21 ] [ 22 ]

طاقة الوضع النووي

الطاقة الكامنة النووية هي الطاقة الكامنة للجسيمات داخل نواة الذرة . ترتبط الجسيمات النووية معًا بواسطة القوة النووية القوية . توفر كتلة سكونها الطاقة الكامنة لأنواع معينة من التحلل الإشعاعي، مثل تحلل بيتا .

لا تُفنى الجسيمات النووية كالبروتونات والنيوترونات في عمليات الانشطار والاندماج، ولكن قد تمتلك مجموعات منها كتلة أقل مما لو كانت منفردة، وفي هذه الحالة يُمكن تحرير هذا الفرق في الكتلة على شكل حرارة وإشعاع في التفاعلات النووية. تُعد عملية اندماج الهيدروجين في الشمس مثالًا على هذا النوع من إطلاق الطاقة ، حيث تندمج 600 مليون طن من نوى الهيدروجين لتكوين نوى الهيليوم، مع فقدان حوالي 4 ملايين طن من الكتلة في الثانية. هذه الطاقة، التي تتخذ الآن شكل طاقة حركية وأشعة غاما ، تُبقي لب الشمس ساخنًا حتى مع نقل الإشعاع الكهرومغناطيسي للطاقة الكهرومغناطيسية إلى الفضاء.

القوى والطاقة الكامنة

ترتبط طاقة الوضع ارتباطًا وثيقًا بالقوى . إذا كان الشغل المبذول بواسطة قوة على جسم يتحرك من النقطة أ إلى النقطة ب لا يعتمد على المسار بين هاتين النقطتين، فإن شغل هذه القوة المقاس من النقطة أ يُسند قيمة قياسية إلى كل نقطة أخرى في الفضاء، ويُعرّف مجال وضع قياسي . في هذه الحالة، يمكن تعريف القوة بأنها معكوس تدرج متجه مجال الوضع.

فعلى سبيل المثال، الجاذبية قوة محافظة . والجهد المرتبط بها هو جهد الجاذبية ، والذي يُرمز إليه غالبًا بـϕ{\displaystyle \phi }أوV{\displaystyle V}، وهو ما يتوافق مع الطاقة لكل وحدة كتلة كدالة للموقع. طاقة الوضع التثاقلية لجسيمين كتلتهما M و m يفصل بينهما مسافة r هي يو=-جيممر.{\displaystyle U=-{\frac {GMm}{r}}.} الجهد التثاقلي ( الطاقة النوعية ) للجسمين هو ϕ=-(جيمر+جيمر)=-جي(م+م)ر=-جيممμر=يوμ{\displaystyle \phi =-\left({\frac {GM}{r}}+{\frac {Gm}{r}}\right)=-{\frac {G(M+m)}{r}}=-{\frac {GMm}{\mu r}}={\frac {U}{\mu }}} أينμ{\displaystyle \mu }الكتلة المختزلة .

الشغل المبذول ضد الجاذبية بتحريك كتلة متناهية الصغر من النقطة أ معيو=أ{\displaystyle U=a}إلى النقطة ب معيو=ب{\displaystyle U=b}يكون(ب-أ){\displaystyle (b-a)}والعمل المنجز في الاتجاه المعاكس هو(أ-ب){\displaystyle (a-b)}بحيث يكون إجمالي العمل المنجز في الانتقال من النقطة أ إلى النقطة ب والعودة إلى النقطة أ هو يوأ→ب→أ=(ب-أ)+(أ-ب)=0.{\displaystyle U_{A\to B\to A}=(b-a)+(a-b)=0.} إذا أعيد تعريف الجهد عند النقطة A ليكونأ+ج{\displaystyle a+c}والإمكانات عند النقطة ب لتكونب+ج{\displaystyle b+c}، أينج{\displaystyle c}ثابت (أيج{\displaystyle c}يمكن أن يكون أي عدد، موجبًا كان أم سالبًا، ولكن يجب أن يكون متساويًا عند النقطة A كما هو عند النقطة B؛ عندئذٍ يكون الشغل المبذول للانتقال من A إلى B هو يوأ→ب=(ب+ج)-(أ+ج)=ب-أ{\displaystyle U_{A\to B}=(b+c)-(a+c)=b-a} كما كان من قبل.

عمليًا، هذا يعني أنه يمكن للمرء ضبط الصفر لـيو{\displaystyle U}وϕ{\displaystyle \phi }في أي مكان يرغب فيه المرء. يمكن للمرء أن يجعله يساوي صفرًا على سطح الأرض ، أو قد يجد أنه من الأنسب أن يجعله يساوي صفرًا عند اللانهاية (كما هو الحال في التعبيرات الواردة سابقًا في هذا القسم).

يمكن التعبير عن القوة المحافظة بلغة الهندسة التفاضلية بصيغة مغلقة . ولأن الفضاء الإقليدي قابل للانكماش ، فإن تماثل دي رام الخاص به يتلاشى، لذا فإن كل صيغة مغلقة هي أيضًا صيغة دقيقة ، ويمكن التعبير عنها كتدرج لحقل قياسي. وهذا يُعطي تبريرًا رياضيًا لحقيقة أن جميع القوى المحافظة هي تدرجات لحقل كامن.

ملحوظات

  1. ↑ "الفيزياء الفائقة - طاقة الوضع" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 فبراير 2025 .
  2. 1 2 ويليام جون ماكورن رانكين (1853) "حول القانون العام لتحول الطاقة"، وقائع الجمعية الفلسفية في غلاسكو ، المجلد 3، العدد 5، الصفحات 276-280؛ أعيد طبعه في: (1) المجلة الفلسفية ، السلسلة 4، المجلد 5، العدد 30، الصفحات 106-117 (فبراير 1853)؛ و (2) دبليو جيه ميلار، محرر، أوراق علمية متنوعة: بقلم دبليو جيه ماكورن رانكين ، ... (لندن، إنجلترا: تشارلز غريفين وشركاه، 1881)، الجزء الثاني، الصفحات 203-208 .
  3. 1 2 روش، جون (1 مارس 2003). "ما هي طاقة الوضع؟" . المجلة الأوروبية للفيزياء . 24 (2): 185-196 . doi : 10.1088/0143-0807/24/2/359 . S2CID 250895349. تاريخ الاسترجاع: 15 فبراير 2023 . 
  4. 1 2 سميث، كروسبي (1998). علم الطاقة - تاريخ ثقافي لفيزياء الطاقة في بريطانيا الفيكتورية . مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 0-226-76420-6.
  5. ↑ براون، ثيودور ل. (2006). الكيمياء: العلم المركزي . أبر سادل ريفر، نيو جيرسي: بيرسون إديوكيشن، إنك . ص 168. ISBN  0-13-109686-9.
  6. ↑ جون روبرت تايلور (2005). الميكانيكا الكلاسيكية . منشورات جامعة العلوم. ص 117. ISBN  978-1-891389-22-1.
  7. ↑ بيرتون بول (1979). حركيات وديناميكا الآلات المستوية . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-516062-6.
  8. ↑ محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الأول، الفصل 13: الشغل والطاقة الكامنة (أ)
  9. ↑ "الفيزياء الفائقة - طاقة الوضع الجاذبية" .
  10. ↑ غوث، آلان (1997). "الملحق أ، طاقة الجاذبية". الكون التضخمي . دار بيرسيوس للنشر. الصفحات 289-293 . ISBN  0-201-14942-7.
  11. ↑ "تخزين الطاقة - حشد بعض القوة" . مجلة الإيكونوميست . 3 مارس 2011.
  12. ↑ جاكوب، تيري. تخزين الطاقة بالضخ في سويسرا - نظرة مستقبلية لما بعد عام 2000. مؤرشف في 17 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) . تاريخ الوصول: 13 فبراير 2012.
  13. ↑ ليفين، جوناه ج. تخزين الطاقة الكهرومائية بالضخ والتنوع المكاني لموارد الرياح كطرق لتحسين استخدام مصادر الطاقة المتجددة. مؤرشف في 1 أغسطس 2014 في Wayback Machine صفحة 6، جامعة كولورادو ، ديسمبر 2007. تم الوصول إليه: 12 فبراير 2012.
  14. ↑ يانغ، تشي-جين. تخزين الطاقة الكهرومائية بالضخ. مؤرشف في 5 سبتمبر 2012 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) . جامعة ديوك . تاريخ الوصول: 12 فبراير 2012.
  15. ↑ تخزين الطاقة مؤرشف في 7 أبريل 2014 في Wayback Machine شركة هاواي للكهرباء . تاريخ الوصول: 13 فبراير 2012.
  16. ↑ تعزيز الطاقة: تكنولوجيا الطاقة: ثمة حاجة إلى طرق أفضل لتخزين الطاقة إذا ما أُريد لأنظمة الكهرباء أن تصبح أنظف وأكثر كفاءة ، مجلة الإيكونوميست ، 3 مارس 2012
  17. ↑ داونينج، لويز. مصاعد التزلج تساعد في فتح سوق بقيمة 25 مليار دولار لتخزين الطاقة ، بلومبرج نيوز على الإنترنت، 6 سبتمبر 2012
  18. ↑ كيرنان، إيدان. تخزين الطاقة على خطوط السكك الحديدية. مؤرشف في 12 أبريل 2014 على موقع Wayback Machine ، موقع Leonardo-Energy.org، 30 أكتوبر 2013
  19. ^ أهاروني، عميكام (1996). مقدمة لنظرية المغناطيسية الحديدية (Repr. ed.). أكسفورد: كلارندون بر. رقم ISBN  0-19-851791-2.
  20. ↑ جاكسون، جون ديفيد (1975). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ISBN  0-471-43132-X.
  21. ↑ ليفينغستون، جيمس د. (2011). القوة الصاعدة: سحر الرفع المغناطيسي . رئيس وزملاء كلية هارفارد . ص 152. 
  22. ↑ كومار، ناريندر (2004). الفيزياء الشاملة للصف الثاني عشر . منشورات لاكشمي. ص 713. 

مراجع

  • سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون و. (2010). الفيزياء للعلماء والمهندسين (  الطبعة الثامنة). بروكس/كول سينجيدج. ISBN 978-1-4390-4844-3.
  • تيبلر، بول (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين: الميكانيكا، والتذبذبات والأمواج، والديناميكا الحرارية (الطبعة الخامسة  ). دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-0809-4.
  • ما هي الطاقة الكامنة؟