النفق الكمي

جزء من سلسلة مقالات حول
ميكانيكا الكم
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ معادلة شرودنجر
مقدمة المصطلحات تاريخ
خلفية الميكانيكا الكلاسيكية نظرية الكم القديمة تدوين براكيت هاملتونيان تدخل
الأساسيات التكامل عدم التماسك تشابك مستوى الطاقة قياس غير محلية Quantum number State Superposition Symmetry Tunnelling Uncertainty Wave function Collapse
Experiments Bell's inequality CHSH inequality Davisson–Germer Double-slit Elitzur–Vaidman Franck–Hertz Leggett inequality Leggett–Garg inequality Mach–Zehnder Popper Quantum eraser Delayed-choice Schrödinger's cat Stern–Gerlach Wheeler's delayed-choice
Formulations Overview Heisenberg Interaction Matrix Phase-space Schrödinger Sum-over-histories (path integral)
Equations Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective-collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Advanced topics Relativistic quantum mechanics Quantum field theory Quantum information science Quantum computing Quantum chaos EPR paradox Density matrix Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

في الفيزياء، النفق الكمومي ، أو اختراق الحاجز ، أو النفق ببساطة هو ظاهرة ميكانيكية كمية يمر فيها جسم مثل الإلكترون أو الذرة عبر حاجز طاقة محتملة ، والذي وفقًا للميكانيكا الكلاسيكية ، لا ينبغي أن يكون قابلاً للعبور بسبب عدم امتلاك الجسم للطاقة الكافية لعبور الحاجز أو التغلب عليه.

النفق هو نتيجة للطبيعة الموجية للمادة ، حيث تصف دالة الموجة الكمومية حالة الجسيم أو أي نظام فيزيائي آخر ، وتصف معادلات الموجة مثل معادلة شرودنجر سلوكها. تقل احتمالية انتقال حزمة موجية عبر حاجز بشكل كبير مع ارتفاع الحاجز وعرض الحاجز وكتلة الجسيم المتسلل، لذلك يُرى النفق بشكل أكثر وضوحًا في الجسيمات ذات الكتلة المنخفضة مثل الإلكترونات أو البروتونات التي تتسلل عبر حواجز ضيقة مجهرية. يمكن اكتشاف النفق بسهولة باستخدام حواجز يبلغ سمكها حوالي 1-3 نانومتر أو أقل للإلكترونات، وحوالي 0.1 نانومتر أو أصغر للجسيمات الأثقل مثل البروتونات أو ذرات الهيدروجين. ^[1] تصف بعض المصادر مجرد اختراق دالة موجية للحاجز، دون انتقال على الجانب الآخر، كتأثير نفق، كما هو الحال في النفق في جدران بئر جهد محدود . ^{[2] [3]}

يلعب النفق دورًا أساسيًا في الظواهر الفيزيائية مثل الاندماج النووي ^[4] والتحلل الإشعاعي ألفا للنوى الذرية. تشمل تطبيقات النفق الصمام الثنائي النفقي ، ^[5] والحوسبة الكمومية ، وذاكرة الفلاش ، والمجهر النفقي الماسح . يحد النفق من الحد الأدنى لحجم الأجهزة المستخدمة في الإلكترونيات الدقيقة لأن الإلكترونات تنفق بسهولة عبر الطبقات العازلة والترانزستورات التي تكون أرق من حوالي 1 نانومتر. ^[6]

تم التنبؤ بهذا التأثير في أوائل القرن العشرين. ولم يتم قبوله كظاهرة فيزيائية عامة إلا في منتصف القرن. ^[7]

يقع النفق الكمومي ضمن مجال ميكانيكا الكم . لفهم هذه الظاهرة ، يمكن مقارنة الجسيمات التي تحاول السفر عبر حاجز محتمل بكرة تحاول التدحرج فوق تل. تختلف ميكانيكا الكم والميكانيكا الكلاسيكية في معالجتها لهذا السيناريو.

تتنبأ الميكانيكا الكلاسيكية بأن الجسيمات التي لا تمتلك طاقة كافية للتغلب على حاجز كلاسيكي لا يمكنها الوصول إلى الجانب الآخر. وبالتالي، فإن الكرة التي لا تمتلك طاقة كافية للتغلب على التل سوف تتدحرج إلى أسفل. في ميكانيكا الكم، يمكن للجسيم، باحتمالية ضئيلة، أن ينفق إلى الجانب الآخر، وبالتالي يعبر الحاجز. يأتي سبب هذا الاختلاف من معاملة المادة على أنها ذات خصائص الموجات والجسيمات .

تحدد الدالة الموجية لنظام فيزيائي من الجسيمات كل ما يمكن معرفته عن النظام. ^[8] لذلك، تقوم المشاكل في ميكانيكا الكم بتحليل الدالة الموجية للنظام. باستخدام الصياغات الرياضية، مثل معادلة شرودنجر ، يمكن استنتاج التطور الزمني لدالة موجية معروفة. يرتبط مربع القيمة المطلقة لهذه الدالة الموجية ارتباطًا مباشرًا بتوزيع احتمالات مواضع الجسيمات، والذي يصف احتمالية قياس الجسيمات في تلك المواضع.

كما هو موضح في الرسوم المتحركة، تصطدم حزمة موجية بالحاجز، وينعكس معظمها وينتقل بعضها عبر الحاجز. تصبح حزمة الموجة أقل محلية: فهي الآن على جانبي الحاجز وأقل في السعة القصوى، ولكنها متساوية في الحجم التربيعي المتكامل، مما يعني أن احتمال وجود الجسيم في مكان ما يظل واحدًا. كلما كان الحاجز أوسع وكلما زادت طاقة الحاجز، كلما انخفض احتمال النفق.

يمكن تحليل بعض نماذج حاجز الأنفاق، مثل الحواجز المستطيلة الموضحة، وحلها جبريًا. ^{[9] : 96} لا تحتوي معظم المشكلات على حل جبري، لذا تُستخدم الحلول العددية. تقدم " الطرق شبه الكلاسيكية " حلولاً تقريبية يسهل حسابها، مثل تقريب WKB .

نُشرت معادلة شرودنجر عام 1926. وكان أول شخص يطبق معادلة شرودنجر على مشكلة تتضمن نفقًا بين منطقتين مسموح بهما كلاسيكيًا من خلال حاجز محتمل هو فريدريش هوند في سلسلة من المقالات نُشرت عام 1927. درس حلول إمكانات البئر المزدوج وناقش الأطياف الجزيئية . ^{[10] اكتشف} ليونيد ماندلستام وميخائيل ليونتوفيتش النفق بشكل مستقل ونشروا نتائجهما عام 1928. ^[11]

في عام 1927، نشر لوثار نوردهايم ، بمساعدة رالف فاولر ، ورقة بحثية ناقشت الانبعاث الحراري وانعكاس الإلكترونات من المعادن. افترض وجود حاجز جهد سطحي يحصر الإلكترونات داخل المعدن وأظهر أن الإلكترونات لديها احتمال محدود للنفق عبر حاجز السطح أو الانعكاس منه عندما تكون طاقاتها قريبة من طاقة الحاجز. كلاسيكيًا، إما أن ينقل الإلكترون أو ينعكس بنسبة 100٪ من اليقين، اعتمادًا على طاقته. في عام 1928، نشر ج. روبرت أوبنهايمر ورقتين بحثيتين حول انبعاث المجال ، أي انبعاث الإلكترونات المستحثة بواسطة المجالات الكهربائية القوية. قام نوردهايم وفاولر بتبسيط اشتقاق أوبنهايمر ووجدوا قيمًا للتيارات المنبعثة ووظائف العمل التي تتفق مع التجارب. ^[10]

كان النجاح الكبير لنظرية النفق هو التفسير الرياضي لتحلل ألفا ، والذي تم تطويره في عام 1928 من قبل جورج جامو وبشكل مستقل من قبل رونالد جورني وإدوارد كوندون . ^{[12] [13] [14] [15]} قام الباحثون الأخيرون بحل معادلة شرودنجر لإمكانات نووية نموذجية في وقت واحد واستنبطوا علاقة بين نصف عمر الجسيم وطاقة الانبعاث التي تعتمد بشكل مباشر على الاحتمالية الرياضية للنفق. كان الباحثون الثلاثة على دراية بالأعمال المتعلقة بانبعاث المجال، ^[10] وكان جامو على علم بنتائج ماندلستام وليونتوفيتش. ^[16]

في الأيام الأولى لنظرية الكم، لم يكن مصطلح تأثير النفق مستخدمًا، وكان يُشار إلى التأثير بدلاً من ذلك على أنه اختراق أو تسرب عبر حاجز. تم استخدام المصطلح الألماني wellenmechanische Tunneleffekt في عام 1931 بواسطة Walter Schottky. ^[10] دخل المصطلح الإنجليزي تأثير النفق اللغة في عام 1932 عندما استخدمه Yakov Frenkel في كتابه المدرسي. ^[10]

في عام 1957، أظهر ليو إساكي نفق الإلكترونات عبر حاجز بعرض بضعة نانومترات في بنية شبه موصلة وطور صمامًا ثنائيًا يعتمد على تأثير النفق. ^[17] في عام 1960، بعد عمل إساكي، أظهر إيفار جيايفر تجريبياً أن النفق يحدث أيضًا في الموصلات الفائقة . أعطى طيف النفق دليلاً مباشرًا على فجوة الطاقة الفائقة التوصيل . في عام 1962، تنبأ بريان جوزيفسون بنفق أزواج كوبر الفائقة التوصيل . تقاسم إساكي وجيايفر وجوزيفسون جائزة نوبل في الفيزياء عام 1973 لأعمالهم في النفق الكمومي في المواد الصلبة. ^{[18] [7]}

في عام 1981، طور جيرارد بينيج وهينريش روهرر نوعًا جديدًا من المجاهر، يُسمى مجهر المسح النفقي ، والذي يعتمد على النفق ويُستخدم لتصوير الأسطح على المستوى الذري . حصل بينيج وروهرر على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1986 لاكتشافهما. ^[19]

يعتبر النفق سببًا لبعض الظواهر الفيزيائية العيانية المهمة.

يعتبر النفق مصدرًا لتسرب التيار في إلكترونيات التكامل واسع النطاق للغاية (VLSI) ويؤدي إلى استنزاف كبير للطاقة وتأثيرات تسخين تصيب مثل هذه الأجهزة. يُعتبر الحد الأدنى لكيفية تصنيع عناصر الأجهزة الإلكترونية الدقيقة. ^[20] النفق هو تقنية أساسية تستخدم لبرمجة البوابات العائمة لذاكرة الفلاش .

الانبعاث البارد للإلكترونات له أهمية في فيزياء أشباه الموصلات والموصلات الفائقة . وهو يشبه الانبعاث الحراري ، حيث تقفز الإلكترونات عشوائيًا من سطح المعدن لتتبع تحيز الجهد لأنها تنتهي إحصائيًا بطاقة أكبر من الحاجز، من خلال الاصطدامات العشوائية مع الجسيمات الأخرى. عندما يكون المجال الكهربائي كبيرًا جدًا، يصبح الحاجز رقيقًا بما يكفي لتخرج الإلكترونات من الحالة الذرية، مما يؤدي إلى تيار يختلف بشكل كبير تقريبًا مع المجال الكهربائي. ^[21] هذه المواد مهمة للذاكرة الفلاشية، والأنابيب المفرغة، وبعض المجاهر الإلكترونية.

يمكن إنشاء حاجز بسيط عن طريق فصل موصلين بعازل رقيق للغاية . هذه هي الوصلات النفقية، والتي تتطلب دراستها فهم النفق الكمومي. ^{[22] تستفيد} وصلات جوزيفسون من النفق الكمومي والموصلية الفائقة لإنشاء تأثير جوزيفسون . وهذا له تطبيقات في القياسات الدقيقة للجهد والمجالات المغناطيسية ، ^[21] وكذلك الخلية الشمسية متعددة الوصلات .

الثنائيات هي أجهزة أشباه موصلات كهربائية تسمح بتدفق التيار الكهربائي في اتجاه واحد أكثر من الآخر. يعتمد الجهاز على طبقة استنفاد بين أشباه الموصلات من النوع N والنوع P لتحقيق غرضه. عندما يتم تطعيمها بشدة، يمكن أن تكون طبقة الاستنفاد رقيقة بما يكفي للنفق. عند تطبيق تحيز أمامي صغير، يكون التيار الناتج عن النفق كبيرًا. يبلغ هذا الحد الأقصى عند النقطة التي يكون فيها تحيز الجهد بحيث يكون مستوى الطاقة لنطاقي التوصيل p وn هو نفسه. مع زيادة تحيز الجهد، لم تعد نطاقي التوصيل مصطفين ويعمل الثنائي بشكل طبيعي. ^[23]

نظرًا لأن تيار النفق ينخفض ​​بسرعة، يمكن إنشاء ثنائيات نفقية لها نطاق من الفولتات حيث ينخفض ​​التيار مع زيادة الجهد. تُستخدم هذه الخاصية الغريبة في بعض التطبيقات، مثل الأجهزة عالية السرعة حيث يتغير احتمال النفق المميز بنفس سرعة جهد التحيز. ^[23]

يستخدم الصمام الثنائي النفقي الرنان النفق الكمومي بطريقة مختلفة تمامًا لتحقيق نتيجة مماثلة. يحتوي هذا الصمام الثنائي على جهد رنيني حيث يفضل التيار جهدًا معينًا، ويتم تحقيق ذلك عن طريق وضع طبقتين رقيقتين بنطاق توصيل عالي الطاقة بالقرب من بعضهما البعض. هذا يخلق بئرًا محتملًا كميًا له أدنى مستوى طاقة منفصل . عندما يكون مستوى الطاقة هذا أعلى من مستوى الإلكترونات، لا يحدث نفق ويكون الصمام الثنائي في تحيز عكسي. بمجرد محاذاة طاقتي الجهد، تتدفق الإلكترونات مثل السلك المفتوح. مع زيادة الجهد بشكل أكبر، يصبح النفق غير محتمل ويعمل الصمام الثنائي مثل الصمام الثنائي العادي مرة أخرى قبل أن يصبح مستوى الطاقة الثاني ملحوظًا. ^[24]

أظهر مشروع بحثي أوروبي ترانزستورات ذات تأثير مجالي يتم التحكم في البوابة (القناة) فيها عبر النفق الكمومي بدلاً من الحقن الحراري، مما يقلل من جهد البوابة من ≈1 فولت إلى 0.2 فولت ويقلل استهلاك الطاقة بما يصل إلى 100 ضعف. إذا كان من الممكن توسيع نطاق هذه الترانزستورات إلى شرائح VLSI ، فإنها ستحسن الأداء لكل قوة للدوائر المتكاملة . ^{[25] [26]}

في حين أن نموذج درودي-لورينتز للتوصيل الكهربائي يقدم تنبؤات ممتازة حول طبيعة الإلكترونات الموصلة في المعادن، إلا أنه يمكن تعزيزه باستخدام النفق الكمومي لشرح طبيعة تصادمات الإلكترونات. ^[21] عندما تصادف حزمة موجة الإلكترون الحرة مجموعة طويلة من الحواجز المتباعدة بشكل متساوٍ ، يتداخل الجزء المنعكس من حزمة الموجة بشكل موحد مع الجزء المنقول بين جميع الحواجز بحيث يصبح النقل بنسبة 100٪ ممكنًا. تتنبأ النظرية بأنه إذا شكلت النوى المشحونة إيجابيا مجموعة مستطيلة تمامًا، فإن الإلكترونات ستنفق عبر المعدن كإلكترونات حرة، مما يؤدي إلى موصلية عالية للغاية ، وأن الشوائب الموجودة في المعدن ستعطلها. ^[21]

قد يسمح المجهر النفقي الماسح (STM)، الذي اخترعه جيرارد بينيج وهينريش رورر ، بتصوير الذرات الفردية على سطح المادة. ^[21] يعمل من خلال الاستفادة من العلاقة بين النفق الكمي والمسافة. عندما يتم تقريب طرف إبرة المجهر النفقي الماسح من سطح توصيل به تحيز جهد، فإن قياس تيار الإلكترونات التي تنفق بين الإبرة والسطح يكشف عن المسافة بين الإبرة والسطح. باستخدام قضبان كهربائية ضغطية تتغير في الحجم عند تطبيق الجهد، يمكن تعديل ارتفاع الطرف للحفاظ على تيار النفق ثابتًا. يمكن تسجيل الفولتية المتغيرة بمرور الوقت والتي يتم تطبيقها على هذه القضبان واستخدامها لتصوير سطح الموصل. ^[21] المجهر النفقي الماسح دقيق حتى 0.001 نانومتر، أو حوالي 1٪ من القطر الذري. ^[24]

النفق الكمومي هو ظاهرة أساسية للاندماج النووي. درجة الحرارة في نوى النجوم غير كافية عمومًا للسماح للنوى الذرية بالتغلب على حاجز كولومب وتحقيق الاندماج النووي الحراري . يزيد النفق الكمومي من احتمالية اختراق هذا الحاجز. على الرغم من أن هذا الاحتمال لا يزال منخفضًا، فإن العدد الكبير للغاية من النوى في قلب النجم كافٍ للحفاظ على تفاعل اندماج ثابت. ^[27]

الاضمحلال الإشعاعي هو عملية انبعاث الجسيمات والطاقة من النواة غير المستقرة للذرة لتكوين منتج مستقر. يتم ذلك من خلال نفق جسيم خارج النواة (نفق الإلكترون في النواة هو التقاط الإلكترون ). كان هذا أول تطبيق للنفق الكمي. الاضمحلال الإشعاعي هو قضية ذات صلة بعلم الأحياء الفلكي لأن هذه النتيجة للنفق الكمي تخلق مصدرًا ثابتًا للطاقة على مدى فترة زمنية كبيرة للبيئات خارج المنطقة الصالحة للسكن حول النجوم حيث لن يكون التعرض لأشعة الشمس ممكنًا ( المحيطات تحت السطحية ) أو فعالاً. ^[27]

قد يكون النفق الكمومي أحد آليات اضمحلال البروتون الافتراضي . ^{[28] [29]}

تحدث التفاعلات الكيميائية في الوسط بين النجوم عند طاقات منخفضة للغاية. ربما يتضمن تفاعل الأيون والجزيء الأكثر أساسية أيونات الهيدروجين مع جزيئات الهيدروجين. تم قياس معدل النفق الميكانيكي الكمي لنفس التفاعل باستخدام نظير الهيدروجين الديوتيريوم ، D ^- + H ₂ → H ^- + HD، تجريبياً في مصيدة أيونات. تم وضع الديوتيريوم في مصيدة أيونات وتبريده. ثم تم ملء المصيدة بالهيدروجين. عند درجات الحرارة المستخدمة في التجربة، لن يسمح حاجز الطاقة للتفاعل بنجاح التفاعل بالديناميكيات الكلاسيكية وحدها. سمح النفق الكمي للتفاعلات بالحدوث في تصادمات نادرة. تم حساب من البيانات التجريبية أن الاصطدامات تحدث مرة واحدة من كل مائة مليار. ^[30]

في الحركية الكيميائية ، يؤدي استبدال نظير خفيف لعنصر بنظير أثقل عادةً إلى معدل تفاعل أبطأ. يُعزى هذا عمومًا إلى الاختلافات في طاقات الاهتزاز عند نقطة الصفر للروابط الكيميائية التي تحتوي على نظائر أخف وأثقل ويتم نمذجتها عمومًا باستخدام نظرية الحالة الانتقالية . ومع ذلك، في حالات معينة، يتم ملاحظة تأثيرات نظيرية كبيرة لا يمكن تفسيرها من خلال المعالجة شبه الكلاسيكية، ويتطلب الأمر نفقًا كميًا. طور RP Bell معالجة معدلة لحركية أرينيوس تُستخدم عادةً لنمذجة هذه الظاهرة. ^[31]

من خلال تضمين النفق الكمومي، يمكن تفسير التركيبات الكيميائية الفلكية لجزيئات مختلفة في السحب بين النجوم ، مثل تركيب الهيدروجين الجزيئي والماء ( الجليد ) والفورمالديهايد المهم قبل الحيوي . ^[27] وقد لوحظ نفق الهيدروجين الجزيئي في المختبر. ^[32]

يعد النفق الكمومي من بين التأثيرات الكمية غير التافهة المركزية في علم الأحياء الكمومي . ^[33] هنا يكون مهمًا سواء كنفق إلكتروني أو نفق بروتوني . يعد نفق الإلكترون عاملًا رئيسيًا في العديد من تفاعلات الأكسدة والاختزال الكيميائية الحيوية ( التمثيل الضوئي ، التنفس الخلوي ) بالإضافة إلى التحفيز الأنزيمي. يعد نفق البروتون عاملًا رئيسيًا في طفرة الحمض النووي العفوية . ^[27]

تحدث الطفرة العفوية عندما يحدث تضاعف طبيعي للحمض النووي بعد أن يخترق بروتون ذو أهمية خاصة. ^[34] تربط رابطة هيدروجينية أزواج قواعد الحمض النووي. تفصل إمكانات البئر المزدوجة على طول الرابطة الهيدروجينية حاجز طاقة محتمل. يُعتقد أن إمكانات البئر المزدوجة غير متماثلة، حيث يكون أحد البئرين أعمق من الآخر بحيث يستقر البروتون عادةً في البئر الأعمق. لكي تحدث طفرة، يجب أن يكون البروتون قد نفق في البئر الأضحل. تسمى حركة البروتون من موضعه العادي بالتحول التوتوميري . إذا حدث تضاعف الحمض النووي في هذه الحالة، فقد تتعرض قاعدة اقتران القواعد للحمض النووي للخطر، مما يتسبب في حدوث طفرة. ^{[35] كان} بير أولوف لودين أول من طور هذه النظرية للطفرة العفوية داخل الحلزون المزدوج . يُعتقد أن حالات أخرى من الطفرات الناجمة عن النفق الكمومي في علم الأحياء هي سبب للشيخوخة والسرطان. ^[36]

يمكن كتابة معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن لجسيم واحد في بعد واحد على النحو التالي أو حيث $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)\equiv {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x),}$$

• ${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المخفض ،
• م هي كتلة الجسيم،
• يمثل x المسافة المقاسة في اتجاه حركة الجسيم،
• Ψ هي دالة موجة شرودنجر،
• V هي الطاقة الكامنة للجسيم (مقاسة بالنسبة لأي مستوى مرجعي مناسب)،
• E هي طاقة الجسيم المرتبطة بالحركة في المحور x (مقاسة بالنسبة إلى V )،
• M ( x ) هي كمية محددة بواسطة V ( x ) − E ، والتي ليس لها اسم مقبول في الفيزياء.

تتخذ حلول معادلة شرودنجر أشكالًا مختلفة لقيم مختلفة لـ x ، اعتمادًا على ما إذا كانت M ( x ) موجبة أم سالبة. عندما تكون M ( x ) ثابتة وسالبة، فيمكن كتابة معادلة شرودنجر في الشكل $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)=-k^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad k^{2}=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

تمثل حلول هذه المعادلة موجات متنقلة، مع ثابت الطور + k أو − k . بدلاً من ذلك، إذا كانت M ( x ) ثابتة وموجبة، فيمكن كتابة معادلة شرودنجر في الشكل $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M(x)\Psi (x)={\kappa }^{2}\Psi (x),\qquad {\text{where}}\quad {\kappa }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}M.}$$

حلول هذه المعادلة هي أسيات صاعدة وهابطة في شكل موجات متلاشية . عندما يتغير M ( x ) مع الموضع، يحدث نفس الاختلاف في السلوك، اعتمادًا على ما إذا كانت M (x) سالبة أم موجبة. ويترتب على ذلك أن علامة M ( x ) تحدد طبيعة الوسط، حيث تتوافق M ( x ) السالبة مع الوسط A و M ( x ) الموجبة مع الوسط B. ويترتب على ذلك أن اقتران الموجة المتلاشية يمكن أن يحدث إذا كانت منطقة M ( x ) الموجبة محصورة بين منطقتين من M ( x ) السالبة، وبالتالي إنشاء حاجز محتمل.

إن التعامل مع الموقف الذي يتغير فيه M ( x ) مع x أمر صعب، إلا في حالات خاصة لا تتوافق عادة مع الواقع المادي. وقد ظهر علاج رياضي كامل في دراسة عام 1965 التي أجراها فرومان وفرومان. ولم يتم دمج أفكارهما في كتب الفيزياء المدرسية، ولكن تصحيحاتهما لم يكن لها تأثير كمي يذكر.

يتم التعبير عن الدالة الموجية على أنها أسي الدالة: حيث يتم بعد ذلك فصلها إلى أجزاء حقيقية وتخيلية: حيث A ( x ) و B ( x ) هما دالتان ذات قيمة حقيقية. $${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$$$${\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$ ${\displaystyle \Phi '(x)}$$${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x),}$$

إن استبدال المعادلة الثانية في الأولى واستخدام حقيقة أن الجزء التخيلي يجب أن يكون 0 يؤدي إلى:

$${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}$$

لحل هذه المعادلة باستخدام التقريب شبه الكلاسيكي، يجب توسيع كل دالة كسلسلة قوى في . من المعادلات، يجب أن تبدأ سلسلة القوى برتبة على الأقل لإرضاء الجزء الحقيقي من المعادلة؛ من الأفضل أن يكون الحد الكلاسيكي الجيد الذي يبدأ بأعلى قوة ممكنة لثابت بلانك ، مما يؤدي إلى و مع القيود التالية على أدنى الحدود، و ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar ^{-1}}$$${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}A_{k}(x)}$$$${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(x),}$$$${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$$$${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0.}$$

في هذه المرحلة، يمكن النظر في حالتين متطرفتين.

الحالة 1

إذا تغيرت السعة ببطء مقارنة بالطور ، وهو ما يتوافق مع الحركة الكلاسيكية. يؤدي حل الترتيب التالي للتوسع إلى ${\displaystyle A_{0}(x)=0}$$${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$$$${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$$

الحالة 2

إذا تغيرت الطور ببطء مقارنة بالسعة، وهو ما يتوافق مع النفق. يؤدي حل الترتيب التالي للتوسع إلى ${\displaystyle B_{0}(x)=0}$$${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$$$${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$$

في كلتا الحالتين، من الواضح من المقام أن كلا الحلول التقريبية سيئة بالقرب من نقاط التحول الكلاسيكية . بعيدًا عن التل المحتمل، يتصرف الجسيم بشكل مشابه للموجة الحرة المتذبذبة؛ أسفل التل المحتمل، يخضع الجسيم لتغيرات أسيّة في السعة. من خلال النظر في السلوك عند هذه الحدود ونقاط التحول الكلاسيكية، يمكن التوصل إلى حل عالمي. ${\displaystyle E=V(x)}$

وللبدء، تم اختيار نقطة تحول كلاسيكية، وتم توسيعها في سلسلة قوية حول : ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1})+v_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$$

يؤدي الاحتفاظ بالمصطلح من الدرجة الأولى فقط إلى ضمان الخطية: $${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=v_{1}(x-x_{1}).}$$

وباستخدام هذا التقريب، تصبح المعادلة القريبة معادلة تفاضلية : ${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=v_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$$

يمكن حل هذه المشكلة باستخدام وظائف Airy كحلول. $${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}Ai\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}Bi\left({\sqrt[{3}]{v_{1}}}(x-x_{1})\right)}$$

باستخدام هذه الحلول لجميع نقاط التحول الكلاسيكية، يمكن تكوين حل عالمي يربط بين الحلول المحدودة. وبإعطاء المعاملين على أحد جانبي نقطة التحول الكلاسيكية، يمكن تحديد المعاملين على الجانب الآخر من نقطة التحول الكلاسيكية باستخدام هذا الحل المحلي لربطهما.

ومن ثم، فإن حلول دالة إيري سوف تقترب من دوال الجيب وجيب التمام والدوال الأسية في الحدود المناسبة. العلاقات بين و هي و ${\displaystyle C,\theta }$${\displaystyle C_{+},C_{-}}$$${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$$

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

باستخدام المعاملات التي تم العثور عليها، يمكن إيجاد الحل الشامل. وبالتالي، فإن معامل النقل لجسيم يخترق حاجز جهد واحد هو حيث نقطتا التحول الكلاسيكيتان للحاجز الجهدي. $${\displaystyle T(E)=e^{-2\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left[V(x)-E\right]}}},}$$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

بالنسبة للحاجز المستطيلي، يتم تبسيط هذا التعبير إلى: $${\displaystyle T(E)=e^{-2{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}(x_{2}-x_{1})}.}$$

ادعى بعض الفيزيائيين أنه من الممكن أن تنتقل الجسيمات ذات الدوران الصفري بسرعة أكبر من سرعة الضوء عند النفق. ^[7] ويبدو أن هذا ينتهك مبدأ السببية ، حيث يوجد إطار مرجعي يصل فيه الجسيم قبل مغادرته. في عام 1998، استعرض فرانسيس إي. لو بإيجاز ظاهرة النفق الزمني الصفري. ^[37] وفي الآونة الأخيرة، نشر غونتر نيمتز بيانات زمنية تجريبية للنفق للفونونات والفوتونات والإلكترونات . ^[38] ويبدو أن تجربة أخرى أشرف عليها إيه إم شتاينبرغ تشير إلى أن الجسيمات يمكن أن تنتقل بسرعات ظاهرية أسرع من الضوء. [ ^{39] [} 40 ^]

وقد عارض فيزيائيون آخرون، مثل هربرت وينفول ، ^[41] هذه الادعاءات. وزعم وينفول أن حزمة الموجة لجسيم نفقي تنتشر محليًا، وبالتالي لا يمكن للجسيم أن ينفق عبر الحاجز بشكل غير محلي. كما زعم وينفول أن التجارب التي يُفترض أنها تُظهر الانتشار غير المحلي قد تم تفسيرها بشكل خاطئ. وعلى وجه الخصوص، لا تقيس سرعة المجموعة لحزمة الموجة سرعتها، ولكنها مرتبطة بكمية الوقت الذي يتم تخزين حزمة الموجة فيه في الحاجز. وعلاوة على ذلك، إذا تم نمذجة النفق الكمومي باستخدام معادلة ديراك النسبية ، فإن النظريات الرياضية الراسخة تشير إلى أن العملية أقل من الضوء تمامًا. ^{[42] [43]}

يمكن توسيع مفهوم النفق الكمي ليشمل المواقف التي يوجد فيها نقل كمي بين مناطق غير متصلة بشكل كلاسيكي حتى لو لم يكن هناك حاجز محتمل مرتبط. تُعرف هذه الظاهرة بالنفق الديناميكي. ^{[44] [45]}

يعد مفهوم النفق الديناميكي مناسبًا بشكل خاص لمعالجة مشكلة النفق الكمي في الأبعاد العالية (d>1). في حالة النظام القابل للتكامل ، حيث تقتصر المسارات الكلاسيكية المحدودة على حلقتين في فضاء الطور ، يمكن فهم النفق على أنه النقل الكمي بين الحالات شبه الكلاسيكية المبنية على حلقتين متميزتين ولكن متماثلتين. ^[46]

في الحياة الواقعية، لا يمكن تكامل معظم الأنظمة وتظهر درجات مختلفة من الفوضى. يُقال بعد ذلك إن الديناميكيات الكلاسيكية مختلطة وأن مساحة طور النظام تتكون عادةً من جزر ذات مدارات منتظمة محاطة ببحر كبير من المدارات الفوضوية. يساعد وجود البحر الفوضوي، حيث يُسمح بالنقل بشكل كلاسيكي، بين الحلقتين المتماثلتين، في النفق الكمومي بينهما. يشار إلى هذه الظاهرة باسم النفق بمساعدة الفوضى. ^[47] وتتميز بالرنينات الحادة لمعدل النفق عند تغيير أي معلمة للنظام.

عندما تكون صغيرة أمام حجم الجزر العادية، فإن البنية الدقيقة لمساحة الطور الكلاسيكية تلعب دورًا رئيسيًا في النفق. على وجه الخصوص، يتم ربط الحلقتين المتماثلتين "عبر سلسلة من التحولات المحظورة كلاسيكيًا عبر الرنينات غير الخطية" المحيطة بالجزيرتين. ^[48]${\displaystyle \hbar }$

هناك العديد من الظواهر التي لها نفس سلوك النفق الكمومي. ومن الأمثلة على ذلك اقتران الموجة المتلاشية ^[49] (تطبيق معادلة الموجة لماكسويل على الضوء ) وتطبيق معادلة الموجة غير المشتتة من الصوتيات المطبقة على "الموجات على الأوتار" . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يتم نمذجة هذه التأثيرات على نحو مماثل للحاجز المحتمل المستطيل . في هذه الحالات، يكون هناك وسط نقل واحد تنتشر من خلاله الموجة وهو نفسه أو متماثل تقريبًا في جميع الأنحاء، ووسط ثانٍ تنتقل الموجة من خلاله بشكل مختلف. ويمكن وصف ذلك بأنه منطقة رفيعة من الوسط B بين منطقتين من الوسط A. ويمكن تكييف تحليل الحاجز المستطيل عن طريق معادلة شرودنجر مع هذه التأثيرات الأخرى بشرط أن تحتوي معادلة الموجة على حلول للموجة المتنقلة في الوسط A ولكن لها حلول أسيّة حقيقية في الوسط B.

في علم البصريات ، الوسط أ هو فراغ بينما الوسط ب هو زجاج. في علم الصوتيات، قد يكون الوسط أ سائلاً أو غازاً والوسط ب مادة صلبة. في كلتا الحالتين، الوسط أ هو منطقة من الفضاء حيث تكون الطاقة الكلية للجسيم أكبر من طاقته الكامنة والوسط ب هو حاجز الجهد. لديهما موجة واردة وموجات محصلة في كلا الاتجاهين. يمكن أن يكون هناك المزيد من الوسائط والحواجز، ولا يلزم أن تكون الحواجز منفصلة. التقريبات مفيدة في هذه الحالة.

تم تحليل ارتباط الموجة والجسيم الكلاسيكي في الأصل على أنه مماثل للنفق الكمومي، ^[50] لكن التحليل اللاحق وجد سببًا ديناميكيًا للسوائل مرتبطًا بالزخم الرأسي الممنوح للجسيمات بالقرب من الحاجز. ^[51]

• تفريغ الحاجز العازل
• انبعاث الإلكترونات الميدانية
• طريقة هولشتاين-هيرنج
• نفق البروتون
• الاستنساخ الكمي
• تقاطع النفق الفائق التوصيل
• الصمام الثنائي النفقي
• تقاطع النفق
• ثقب أبيض

• بيني، جيمس؛ سكينر، ديفيد (2010). فيزياء ميكانيكا الكم (الطبعة الثالثة). جريت مالفرن: أرشيف كابيلا. رقم ISBN 978-1-902918-51-8.
• فرومان، ناني؛ فرومان، بير أولوف (1965). تقريب JWKB: مساهمات في النظرية . أمستردام: شمال هولندا. ISBN 978-0-7204-0085-4.
• جريفثس، ديفيد جيه. (2004). مقدمة في الديناميكا الكهربائية (الطبعة الثالثة). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. رقم ISBN 978-0-13-805326-0.
• ليبوف، ريتشارد ل. (2002). ميكانيكا الكم التمهيدية (الطبعة الرابعة). سان فرانسيسكو: أديسون ويسلي. رقم ISBN 978-0-8053-8714-8.
• مولر-كيرستن، هارالد جيه دبليو (2012). مقدمة في ميكانيكا الكم: معادلة شرودنجر والتكامل المساري (الطبعة الثانية). سنغافورة: شركة النشر العلمي العالمية. رقم ISBN 978-981-4397-76-6.
• رازافي، محسن (2003). نظرية الكم في النفق . ريفر إيدج، نيوجيرسي: وورلد ساينتيفيك. رقم ISBN 978-981-238-019-7. OCLC  52498470.
• هونغ، جويو؛ فيلينكين، ألكسندر؛ وينيتسكي، سيرج (2003). "خلق الجسيمات في كون نفقي". المراجعة الفيزيائية د . 68 (2): 023520. arXiv : gr-qc/0210034 . رمز Bibcode : 2003PhRvD..68b3520H. doi : 10.1103/PhysRevD.68.023520. ISSN  0556-2821. S2CID  118969589.
• وولف، إي إل (2012). مبادئ التحليل الطيفي لنفق الإلكترونات . سلسلة دولية من الدراسات عن الفيزياء (الطبعة الثانية). أكسفورد؛ نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-958949-4. OCLC  768067375.

• الرسوم المتحركة والتطبيقات والبحوث المرتبطة بتأثير النفق والظواهر الكمومية الأخرى (جامعة باريس الجنوبية)
• رسم توضيحي متحرك للنفق الكمومي
• رسم توضيحي متحرك للنفق الكمومي في جهاز RTD
• الحل التفاعلي لمعادلة نفق شرودنجر