الزمكان الكمومي

تم تقديم نموذج الزمكان ثنائي الضرب المتقاطع بواسطة شاهن ماجد وهنري رويج ^{[ 3 ]} وله علاقات جبر لي

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=0,\quad [x_{i},t]=i\lambda x_{i}}$

بالنسبة للمتغيرات المكانية${\displaystyle x_{i}}$والمتغير الزمني${\displaystyle t}$. هنا${\displaystyle \lambda }$له أبعاد زمنية، ولذلك يُتوقع أن يكون شبيهاً بزمن بلانك. وتتشوه مجموعة بوانكاريه هنا تبعاً لذلك، لتصبح مجموعة كمومية ثنائية الضرب ذات خصائص مميزة.

مولدات الزخم${\displaystyle p_{i}}$تتبادل هذه الجسيمات فيما بينها، لكن عملية جمع الزخم، التي تنعكس في بنية المجموعة الكمومية، تتشوه (يصبح فضاء الزخم مجموعة غير تبديلية ). في الوقت نفسه، تتمتع مولدات مجموعة لورنتز بعلاقاتها المعتادة فيما بينها، لكنها تتصرف بشكل غير خطي على فضاء الزخم. تُصوَّر مدارات هذا الفعل في الشكل كمقطع عرضي لـ${\displaystyle p_{0}}$ضد أحد${\displaystyle p_{i}}$المنطقة الموجودة على الغلاف والتي تصف الجسيمات في الجزء العلوي المركزي من الصورة عادةً ما تكون قطعًا زائدية، ولكنها الآن "مضغوطة" داخل الأسطوانة.

${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}<\lambda ^{-1}\,}$

بوحدات مبسطة. والنتيجة هي أن تعزيز الزخم باستخدام لورنتز لن يزيد أبدًا عن زخم بلانك. يتوافق وجود مقياس أعلى للزخم أو مقياس أدنى للمسافة مع الصورة الفيزيائية. ينشأ هذا الانضغاط من اللاخطية في تعزيز لورنتز، وهو سمة متأصلة في مجموعات الكم ثنائية الضرب التقاطعي المعروفة منذ تقديمها عام 1988. ^{[ 4 ]} يطلق بعض الفيزيائيين على نموذج الضرب التقاطعي اسم النسبية الخاصة المزدوجة ، لأنه يضع حدًا أعلى لكل من السرعة والزخم.

من النتائج الأخرى لهذا الانضغاط تشوه انتشار الجسيمات، حتى الضوء، مما يؤدي إلى سرعة متغيرة للضوء . ويتطلب هذا التوقع حالة خاصة.${\displaystyle p_{0},p_{i}}$أن تكون الطاقة الفيزيائية والزخم المكاني (بدلاً من أي دالة أخرى لهما). وقد قدم جيوفاني أميلينو-كاميليا وماجد ^{[ 5 ]} حججًا لهذا التحديد في عام 1999 من خلال دراسة الموجات المستوية لحساب التفاضل الكمي في النموذج. وتأخذ هذه الحجج الشكل التالي:

${\displaystyle e^{i\sum _{i}p_{i}x_{i}}e^{ip_{0}t}\,}$

بمعنى آخر، شكل قريب بما يكفي من الشكل الكلاسيكي بحيث يمكن تصديق التفسير بشكل معقول. في الوقت الحالي، يمثل تحليل الموجات هذا أفضل أمل للحصول على تنبؤات قابلة للاختبار الفيزيائي من النموذج.

قبل هذا العمل، كانت هناك عدة ادعاءات غير مدعومة تستند إلى شكل مجموعة بوانكاريه الكمومية فقط، وذلك للتنبؤ بالنتائج من النموذج. كما كانت هناك ادعاءات أخرى تستند إلى دراسة سابقة.${\displaystyle \kappa }$- مجموعة بوانكاريه الكمومية التي قدمها يوريك لوكيرسكي وزملاؤه ^{[ 6 ]} ، والتي كانت بمثابة مقدمة مهمة للضرب الثنائي، وإن كان ذلك بدون الزمكان الكمومي الفعلي وباستخدام مولدات مقترحة مختلفة لا تنطبق عليها الصورة المذكورة أعلاه. وقد أطلق على نموذج الزمكان للضرب الثنائي أيضًا اسم${\displaystyle \kappa }$الزمكان المشوه مع${\displaystyle \kappa =\lambda ^{-1}}$.

طُرح هذا النموذج بشكل مستقل من قِبل فريق ^{[ 7 ]} يعمل تحت إشراف يوليوس ويس عام 1990، ومن قِبل شاهن ماجد وزملاؤه في سلسلة من الأبحاث حول المصفوفات المضفرة بدءًا من العام التالي. ^{[ 8 ]} تتمثل وجهة النظر في النهج الثاني في أن فضاء مينكوفسكي الزمكاني المعتاد يُمكن وصفه عبر مصفوفات باولي على أنه فضاء من المصفوفات الهرميتية 2×2. في نظرية الزمر الكمومية، وباستخدام طرق الفئات الأحادية المضفرة ، يُعرَّف هنا إصدار q طبيعي لهذا النموذج للقيم الحقيقية لـ${\displaystyle q}$باعتبارها "مصفوفة هيرميتية مضفرة" من المولدات والعلاقات

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}^{\dagger },\quad \beta \alpha =q^{2}\alpha \beta ,\ [\alpha ,\delta ]=0,\ [\beta ,\gamma ]=(1-q^{-2})\alpha (\delta -\alpha ),\ [\delta ,\beta ]=(1-q^{-2})\alpha \beta }$

تشير هذه العلاقات إلى أن المولدات تتبادل أماكنها كـ${\displaystyle q\to 1}$وبذلك استعادة مساحة مينكوفسكي المعتادة. العمل مع متغيرات أكثر ألفة${\displaystyle x,y,z,t}$باعتبارها توليفات خطية من هذه، وعلى وجه الخصوص، الوقت

${\displaystyle t={\text{Trace}}_{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=q\delta +q^{-1}\alpha }$

يُعطى بواسطة أثر مضفر طبيعي للمصفوفة ويتبادل مع المولدات الأخرى (لذا يختلف هذا النموذج عن نموذج الضرب الثنائي). كما تؤدي صورة المصفوفة المضفرة بشكل طبيعي إلى كمية

${\displaystyle {\det} _{q}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}=\alpha \delta -q^{2}\gamma \beta }$

والتي هي${\displaystyle q\to 1}$تُعيد هذه الدالة مسافة مينكوفسكي المعتادة (وهذا يُترجم إلى مقياس في الهندسة التفاضلية الكمومية).${\displaystyle q=e^{\lambda }}$أو${\displaystyle q=e^{i\lambda }}$هو بلا أبعاد و${\displaystyle \lambda }$يُعتقد أن هذه النسبة هي نسبة بين مقياس بلانك والطول الكوني. أي أن هناك مؤشرات على أن هذا النموذج يرتبط بالجاذبية الكمومية ذات ثابت كوني غير صفري ، وهو اختيار${\displaystyle q}$يعتمد ذلك على ما إذا كان هذا موجبًا أم سالبًا. وهذا يصف الحالة الموجبة الأكثر فهمًا من الناحية الرياضية، ولكنها ربما أقل تبريرًا من الناحية الفيزيائية.

يتطلب الفهم الكامل لهذا النموذج (وقد تزامن ذلك مع تطوير) نظرية كاملة لـ "الجبر الخطي المضفر" لمثل هذه الفضاءات. فضاء الزخم لهذه النظرية هو نسخة أخرى من نفس الجبر، وهناك "إضافة مضفرة" معينة للزخم عليه، معبر عنها ببنية جبر هوبف المضفر أو مجموعة كمومية في فئة أحادية مضفرة معينة. وقد وفرت هذه النظرية، بحلول عام 1993، ما يقابلها${\displaystyle q}$مجموعة بوانكاريه المشوهة الناتجة عن هذه التحويلات و${\displaystyle q}$- تحويلات لورنتز، مما يكمل التفسير باعتباره فضاءً كموميًا. ^{[ 9 ]}

خلال هذه العملية، اكتُشف أن مجموعة بوانكاريه لا تحتاج فقط إلى تشويه، بل إلى توسيع لتشمل تمددات الزمكان الكمومي. ولكي تكون هذه النظرية دقيقة، يجب أن تكون جميع الجسيمات فيها عديمة الكتلة، وهو ما يتوافق مع التجربة، إذ إن كتل الجسيمات الأولية ضئيلة للغاية مقارنةً بكتلة بلانك . إذا كان التفكير السائد في علم الكونيات صحيحًا، فإن هذا النموذج أكثر ملاءمة، ولكنه أكثر تعقيدًا بكثير، ولهذا السبب لم تُطوَّر تنبؤاته الفيزيائية بعد.

يشير هذا في الاستخدام الحديث إلى جبر الزخم الزاوي

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]=2i\lambda x_{3},\ [x_{2},x_{3}]=2i\lambda x_{1},\ [x_{3},x_{1}]=2i\lambda x_{2}}$

مألوفة من ميكانيكا الكم، ولكنها تُفسَّر في هذا السياق على أنها إحداثيات فضاء كمومي أو زمكان. اقترح روجر بنروز هذه العلاقات في نظريته الأولى لشبكة الدوران في الفضاء. وهو نموذج مبسط للجاذبية الكمومية في ثلاثة أبعاد زمكانية (وليس الأبعاد الأربعة الفيزيائية) ببصمة إقليدية (وليست مينكوفسكية الفيزيائية). وقد اقترحها جيراردوس هوفت مرة أخرى ^{[ 10 ]} في هذا السياق . وقدم ماجد وإ. باتيستا ^{[ 11 ]} تطويرًا إضافيًا يتضمن حسابًا تفاضليًا كموميًا وتأثير مجموعة كمومية معينة "مزدوجة كموميًا" كمجموعة حركات إقليدية مشوهة.

من السمات البارزة للهندسة غير التبادلية أن أصغر حساب تفاضلي كمومي متغاير له بُعد واحد أعلى من المتوقع، وهو 4، مما يشير إلى إمكانية اعتبار ما سبق جزءًا مكانيًا من فضاء-زمن كمومي رباعي الأبعاد. يجب عدم الخلط بين هذا النموذج والكرات الضبابية ، وهي جبر مصفوفي محدود الأبعاد يمكن اعتباره كرات في فضاء-زمن نموذج الدوران ذي نصف قطر ثابت.

يقترح نموذج الزمكان الكمومي لهارتلاند سنايدر أن

${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=iM_{\mu \nu }}$

حيث${\displaystyle M_{\mu \nu }}$توليد مجموعة لورنتز. هذا الزمكان الكمومي، وكذلك زمكان سي إن يانغ، يستلزمان توحيدًا جذريًا للزمكان والطاقة والزخم الزاوي.

أُعيد إحياء الفكرة في سياق حديث من قبل سيرجيو دوبليشر وكلاوس فريدنهاجن وجون روبرتس في عام 1995، ^{[ 12 ]} عن طريق السماح${\displaystyle M_{\mu \nu }}$يمكن ببساطة اعتبارها وظيفة من وظائف${\displaystyle x_{\mu }}$كما هو محدد في العلاقة المذكورة أعلاه، وأي علاقات تتضمنها تُعتبر علاقات من الدرجة الأعلى بين${\displaystyle x_{\mu }}$يتم ترتيب تناظر لورنتز بحيث يتم تحويل المؤشرات كالمعتاد ودون تشويهها.

وهناك صيغة أبسط لهذا النموذج وهي السماح${\displaystyle M}$ليكن موترًا عدديًا مضادًا للتناظر، وفي هذا السياق يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle \theta }$إذن، العلاقات هي${\displaystyle [x_{\mu },x_{\nu }]=i\theta _{\mu \nu }}$في الأبعاد الزوجية${\displaystyle D}$يمكن تحويل أي قيمة غير متدهورة من هذا النوع (θ) إلى شكل طبيعي، حيث يكون هذا الشكل في الواقع مجرد جبر هايزنبرغ، مع اختلاف يتمثل في أن المتغيرات تُقترح على أنها متغيرات الزمكان. كان هذا الاقتراح شائعًا في السابق نظرًا لشكل علاقاته المألوف، ولأنه قيل ^{[ 13 ]} أنه ينبثق من نظرية الأوتار المفتوحة التي تهبط على أغشية D، انظر نظرية الحقل الكمومي غير التبادلية ومستوى مويال . ومع ذلك، فإن غشاء D هذا موجود في بعض أبعاد الزمكان الأعلى في النظرية، وبالتالي فهو ليس الزمكان الفيزيائي الذي تقترحه نظرية الأوتار ليكون كموميًا بشكل فعال بهذه الطريقة. كما يتطلب ذلك الاشتراك في أغشية D كنهج للجاذبية الكمومية في المقام الأول. عند افتراضه على أنه زمكان كمومي، يصعب الحصول على تنبؤات فيزيائية، وأحد أسباب ذلك هو أنه إذا${\displaystyle \theta }$إذا كان موترًا، فبحسب التحليل البُعدي، يجب أن تكون أبعاده بطول${\displaystyle {}^{2}}$وإذا تم التكهن بأن هذا الطول هو طول بلانك، فسيكون من الصعب اكتشاف التأثيرات مقارنة بالنماذج الأخرى.