مجموعة هايزنبرغ

في الرياضيات ، مجموعة هايزنبرغ${\displaystyle H}$، والتي سميت على اسم فيرنر هايزنبرغ ، هي مجموعة من المصفوفات المثلثية العلوية 3×3 من الشكل

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

تحت عملية ضرب المصفوفات . يمكن أخذ العناصر a و b و c من أي حلقة تبديلية مع عنصر محايد، وغالبًا ما يتم اعتبارها حلقة الأعداد الحقيقية (مما ينتج عنه "مجموعة هايزنبرغ المتصلة") أو حلقة الأعداد الصحيحة (مما ينتج عنه "مجموعة هايزنبرغ المنفصلة").

تظهر مجموعة هايزنبرغ المتصلة في وصف الأنظمة الميكانيكية الكمومية أحادية البعد ، وخاصة في سياق نظرية ستون-فون نيومان . وبشكل أعم، يمكن اعتبار مجموعات هايزنبرغ المرتبطة بالأنظمة ذات الأبعاد n ، وبشكل أعم، بأي فضاء متجهي تماثلي .

في الحالة ثلاثية الأبعاد، يُعطى حاصل ضرب مصفوفتين من مصفوفات هايزنبرغ بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

كما يمكن للمرء أن يرى من المصطلح ab ′ ، فإن المجموعة غير تبديلية .

العنصر المحايد في مجموعة هايزنبرغ هو مصفوفة الوحدة ، ومعكوساتها معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

المجموعة هي مجموعة فرعية من المجموعة الأفينية ثنائية الأبعاد Aff(2) : تأثير العنصر ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$على المتجه${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$يتوافق مع التحويل الأفيني${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}.}$

هناك العديد من الأمثلة البارزة على الحالة ثلاثية الأبعاد.

مجموعة هايزنبرغ المنفصلة

إذا كانت a و b و c أعدادًا صحيحة (في الحلقة Z )، فإن لدينا زمرة هايزنبرغ المنفصلة _H3 ( Z ) . وهي زمرة غير تبديلية عديمة القوة . ولها مولدان:

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

والعلاقات

${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1},\quad xz=zx,\quad yz=zy,}$

أين

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

هو مولد مركز H 3. ₍ لاحظ أن معكوسات x و y و z تستبدل الرقم 1 الموجود أعلى القطر بالرقم -1.)

وبحسب نظرية باس ، فإن معدل نموها متعدد الحدود من الدرجة الرابعة.

يمكن للمرء أن يُنشئ أي عنصر من خلال

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}.}$

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$من مجموعة هايزنبرغ${\displaystyle H}$(على الأعداد الحقيقية) تُعرف باسم جبر هايزنبرغ. ^{[ 1 ]} ويمكن تمثيلها باستخدام فضاء المصفوفات 3×3 من الشكل ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

مع${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

تشكل العناصر الثلاثة التالية أساسًا لـ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$:

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$

تحقق عناصر الأساس هذه علاقات التبادل

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0.}$

اسم "مجموعة هايزنبرغ" مستوحى من العلاقات السابقة، والتي لها نفس شكل علاقات التبادل المتعارف عليها في ميكانيكا الكم:

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar I,\quad [{\hat {x}},i\hbar I]=0,\quad [{\hat {p}},i\hbar I]=0,}$

أين${\displaystyle {\hat {x}}}$هو عامل تحديد المواقع،${\displaystyle {\hat {p}}}$هو عامل الزخم، و${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك .

تتمتع مجموعة هايزنبرغ H بخاصية مميزة، وهي أن التطبيق الأسي هو تطبيق أحادي وشامل من جبر لي.${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$إلى المجموعة H : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$

مجموعات هايزنبرغ الأكثر عمومية${\displaystyle H_{2n+1}}$يمكن تعريفها للأبعاد الأعلى في الفضاء الإقليدي ، وبشكل أعم على الفضاءات المتجهة التبسيطية . أبسط حالة عامة هي زمرة هايزنبرغ الحقيقية ذات البعد${\displaystyle 2n+1}$، لأي عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$كمجموعة من المصفوفات،${\displaystyle H_{2n+1}}$(أو${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$للإشارة إلى أن هذه هي مجموعة هايزنبرغ فوق الحقل${\displaystyle \mathbb {R} }$تُعرَّف مجموعة الأعداد الحقيقية بأنها المجموعة${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$المصفوفات ذات المدخلات في${\displaystyle \mathbb {R} }$وأن يكون على شكل

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}},}$

أين

a هو متجه صف بطول n ،

b هو متجه عمودي طوله n ،

I _n هي مصفوفة الوحدة ذات الحجم n .

جبر لي

مجموعة هايزنبرغ هي مجموعة لي بسيطة الاتصال، ويتكون جبر لي الخاص بها من مصفوفات.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},}$

أين

a هو متجه صف بطول n ،

b هو متجه عمودي طوله n ،

0 _n هي المصفوفة الصفرية ذات الحجم n .

بجعل e ₁ , ..., e _n الأساس المتعارف عليه لـ R ⁿ ووضع

${\displaystyle p_{i}={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {0} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},\quad q_{j}={\begin{bmatrix}0&\mathbf {0} &0\\\mathbf {0} &0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},\quad z={\begin{bmatrix}0&\mathbf {0} &1\\\mathbf {0} &0_{n}&\mathbf {0} \\0&\mathbf {0} &0\end{bmatrix}},}$

يمكن وصف جبر لي المرتبط بعلاقات التبادل الأساسية

${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{i},q_{j}\end{bmatrix}}=\delta _{ij}z,\quad {\begin{bmatrix}p_{i},z\end{bmatrix}}=0,\quad {\begin{bmatrix}q_{j},z\end{bmatrix}}=0,}$

1

حيث p ₁ ،  ...، p _n ، q ₁ ، ...، q _n ، z هي مولدات الجبر.   

على وجه الخصوص، يُعدّ z عنصرًا أساسيًا في جبر لي هايزنبرغ. تجدر الإشارة إلى أن جبر لي لمجموعة هايزنبرغ هو جبر عديم القوة.

إن نظرية التمثيل الوحدوي لمجموعة هايزنبرغ بسيطة إلى حد ما - تم تعميمها لاحقًا بواسطة نظرية ماكي - وكانت الدافع وراء إدخالها في الفيزياء الكمومية، كما هو موضح أدناه.  

لكل عدد حقيقي غير صفري${\displaystyle \hbar }$، يمكننا تعريف تمثيل وحدوي غير قابل للاختزال${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ل${\displaystyle H_{2n+1}}$العمل في فضاء هيلبرت${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$وفقًا للصيغة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](\mathbf {x} )=e^{i\hbar c}e^{i\mathbf {b} \cdot \mathbf {x} }\psi (\mathbf {x} +\hbar \mathbf {a} ).}$

يُعرف هذا التمثيل باسم تمثيل شرودنغر . ويكمن الدافع وراء هذا التمثيل في تأثير معاملات الموضع والزخم الأسية في ميكانيكا الكم.${\displaystyle a}$يصف هذا المصطلح عمليات الانتقال في فضاء الموضع، وهو المعامل${\displaystyle b}$يصف الانتقالات في فضاء الزخم، والمعامل${\displaystyle c}$يُعطي عامل طور إجمالي. عامل الطور ضروري للحصول على مجموعة من المؤثرات، لأن الانتقالات في فضاء الموضع والانتقالات في فضاء الزخم لا تتبادل.

النتيجة الرئيسية هي نظرية ستون-فون نيومان ، التي تنص على أن كل تمثيل وحدوي غير قابل للاختزال (مستمر بقوة) لمجموعة هايزنبرغ حيث يعمل المركز بشكل غير تافه يكون مكافئًا لـ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \hbar }$[ ^{5 ]} بدلاً من ذلك، أن جميعها مكافئة لجبر ويل ⁽ أو جبر CCR ) على فضاء تماثلي ذي بُعد 2n .

بما أن مجموعة هايزنبرغ هي امتداد مركزي أحادي البعد لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$، ويمكن اعتبار تمثيلاتها الوحدوية غير القابلة للاختزال بمثابة تمثيلات إسقاطية وحدوية غير قابلة للاختزال لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$من الناحية المفاهيمية، يشكل التمثيل المذكور أعلاه النظير الكمي لمجموعة التناظرات الانتقالية على فضاء الطور الكلاسيكي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$إن حقيقة أن النسخة الكمومية ليست سوى تمثيل إسقاطي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$يُقترح هذا بالفعل على المستوى الكلاسيكي. مولدات هاميلتونية للانتقالات في فضاء الطور هي دوال الموضع والزخم. مع ذلك، لا يشكل مدى هذه الدوال جبر لي تحت قوس بواسون ، لأن${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$بل إن مدى دالتي الموضع والزخم والثوابت يشكل جبر لي تحت قوس بواسون. هذا الجبر هو امتداد مركزي أحادي البعد لجبر لي التبادلي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$، متماثل مع جبر لي لمجموعة هايزنبرغ.

يُبنى التجريد العام لمجموعة هايزنبرغ من أي فضاء متجهي تماثلي . ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، ليكن ( V , ω) فضاءً متجهيًا تماثليًا حقيقيًا محدود الأبعاد (بحيث يكون ω شكلًا ثنائيًا خطيًا غير منحل ومتناظرًا معكوسًا على V ). مجموعة هايزنبرغ H( V ) على ( V , ω ) (أو V اختصارًا) هي المجموعة V × R المزودة بقانون المجموعة.

${\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).}$

تُعدّ مجموعة هايزنبرغ امتدادًا مركزيًا للمجموعة الجمعية V. وبالتالي، توجد متتالية تامة

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

أي فضاء متجهي تماثلي يقبل أساس داربو { e _j , f ^k } حيث _{1 ≤ j , k ≤ n} يحقق ω ( e _j , f ^k ) = δ _j ^k و 2 n هو بُعد V (بُعد V زوجي بالضرورة). وباستخدام هذا الأساس، يتحلل كل متجه إلى

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

الإحداثيات q a ^و p _a هي إحداثيات مترافقة بشكل قانوني .

إذا كانت { e j , f  k } 1 ≤ j , k ≤ n أساس داربو للفضاء V ، فليكن { E } أساسًا للفضاء R ، وليكن { e j , f k  , E }  1 ≤ j , k ≤ n الأساس المقابل للفضاء V × R. ويُعطى متجه في H( V ) بالعلاقة التالية:

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

ويصبح قانون المجموعة

${\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

بما أن الفضاء الأساسي لمجموعة هايزنبرغ هو فضاء خطي، فإنه يمكن تحديد المتجهات في جبر لي بشكل قانوني مع المتجهات في المجموعة. ويُعطى جبر لي لمجموعة هايزنبرغ بعلاقة التبادل.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

أو مكتوبة وفقًا لأساس داربو

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}$

وتختفي جميع المبدلات الأخرى.

من الممكن أيضًا تعريف قانون المجموعة بطريقة مختلفة، لكنها تُنتج مجموعة متماثلة مع المجموعة التي عرّفناها للتو. ولتجنب الالتباس، سنستخدم u بدلًا من t ، وبالتالي يُعطى المتجه بالصيغة التالية:

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

وقانون المجموعة هو

${\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).}$

عنصر من عناصر المجموعة

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

ويمكن التعبير عنها بعد ذلك كمصفوفة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$،

مما يُعطي تمثيلاً مصفوفيًا دقيقًا لـ H( V ). يرتبط u في هذه الصيغة بـ t في صيغتنا السابقة من خلال${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$بحيث تصبح قيمة t للمنتج هي

${\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}}$،

كما كان من قبل.

يعتمد التشاكل مع المجموعة باستخدام المصفوفات المثلثية العليا على تحليل V إلى أساس داربو، وهو ما يُعادل اختيار التشاكل V ≅ U ⊕ U *. على الرغم من أن قانون المجموعة الجديد يُنتج مجموعة متماثلة مع تلك المذكورة أعلاه، إلا أن المجموعة التي تخضع لهذا القانون تُسمى أحيانًا مجموعة هايزنبرغ المستقطبة، وذلك للتذكير بأن قانون المجموعة هذا يعتمد على اختيار أساس (اختيار فضاء لاغرانجي فرعي من V هو استقطاب ).

لكل جبر لي، توجد زمرة لي متصلة وبسيطة الاتصال فريدة من نوعها G. جميع زمر لي المتصلة الأخرى التي لها نفس جبر لي الخاص بـ G هي من الشكل G / N، حيث N زمرة منفصلة مركزية في G. في هذه الحالة، يكون مركز H( V ) هو R ، والزمر الفرعية المنفصلة الوحيدة هي المتماثلة مع Z. بالتالي، فإن H( V )/ Z هي زمرة لي أخرى تشترك في جبر لي هذا. من الجدير بالذكر أن هذه الزمرة لا تقبل أي تمثيلات أمينة ذات أبعاد منتهية؛ فهي ليست متماثلة مع أي زمرة مصفوفية. ومع ذلك، فهي تمتلك عائلة معروفة من التمثيلات الوحدوية ذات الأبعاد اللانهائية.

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$تم وصف مجموعة هايزنبرغ أعلاه، (1)، على أنها جبر لي للمصفوفات. تنطبق نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت لتحديد الجبر الشامل المغلف${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$من بين خصائص أخرى، فإن الجبر الشامل المغلف هو جبر ترابطي يتم فيه${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$يتم حقنه داخل الخلايا.

وبحسب نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت، فإنها بالتالي فضاء المتجهات الحر المتولد بواسطة أحاديات الحدود

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

حيث تكون جميع الأسس غير سالبة.

بالتالي،${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$يتكون من كثيرات الحدود الحقيقية

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

مع علاقات التبادل

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

الجبر${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$يرتبط ارتباطًا وثيقًا بجبر المؤثرات التفاضلية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بمعاملات متعددة الحدود، لأن أي عامل من هذا القبيل له تمثيل فريد على شكل

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

يُطلق على هذا الجبر اسم جبر فايل . ويترتب على هذا الهراء المجرد أن جبر فايل W _n هو خارج قسمة${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ومع ذلك، يسهل ملاحظة ذلك مباشرةً من التمثيلات المذكورة أعلاه؛ أي من خلال عملية الربط

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

يمكن فهم زمرة هايزنبرغ ثلاثية الأبعاد H₃ ( R ) على الأعداد الحقيقية على أنها متشعب أملس ، وتحديدًا، مثال بسيط على متشعب شبه ريماني . ^{[ 11 ]} بفرض نقطة p = ( x , y , z ₎ في R³ ^، نُعرّف شكلًا تفاضليًا من الدرجة الأولى Θ عند هذه النقطة كما يلي:

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

ينتمي هذا الشكل الأحادي إلى حزمة الظل التمام لـ R ³ ؛ أي،

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

هي دالة على حزمة المماس . ليكن

${\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.}$

يتضح أن H حزمة فرعية من حزمة المماس T R ^3. ويُعطى المقياس المشترك على H بإسقاط المتجهات على الفضاء ثنائي الأبعاد الممتد بواسطة المتجهات في الاتجاهين x و y . أي، بمعلومية المتجهات${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$و${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$في T R ³ ، يُعطى الجداء الداخلي بواسطة

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

يحوّل التركيب الناتج H إلى فضاء متعدد الشعب لمجموعة هايزنبرغ. ويُعطى إطار متعامد على هذا الفضاء بواسطة حقول متجهات لي.

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}}$

والتي تخضع للعلاقتين [ X , Y ] = Z و [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. وباعتبارها حقول متجهات لي، فإنها تُشكّل أساسًا ثابتًا من اليسار لتأثير المجموعة. أما الخطوط الجيوديسية على المتشعب فهي حلزونات، تُسقط لأسفل على شكل دوائر في بُعدين. أي، إذا

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

إذا كان منحنى جيوديسيًا، فإن المنحنى${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$هو قوس من دائرة، و

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

مع اقتصار التكامل على المستوى ثنائي الأبعاد. أي أن ارتفاع المنحنى يتناسب مع مساحة الدائرة التي يقابلها القوس الدائري ، وهو ما يتبعه من نظرية غرين .

تُعدّ مجموعة هايزنبرغ مثالاً أساسياً في تحليل المؤثرات شبه الإهليلجية . في الإحداثيات ${\displaystyle (x,y,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} }$، يُعطى الإطار الأفقي القياسي الثابت من اليسار بواسطة

${\displaystyle X_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-{\frac {1}{2}}y_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad Y_{j}={\frac {\partial }{\partial y_{j}}}+{\frac {1}{2}}x_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad 1\leq j\leq n,}$

بالإضافة إلى حقل المتجهات المركزي

${\displaystyle T={\frac {\partial }{\partial t}}.}$

تُحقق هذه الحقول المتجهة الشروط التالية

${\displaystyle [X_{j},Y_{k}]=\delta _{jk}T,\qquad [X_{j},T]=[Y_{j},T]=0.}$

وبالتالي حقول المتجهات الأفقية${\displaystyle X_{j},Y_{j}}$تشكل هذه العناصر، بالإضافة إلى مبدلاتها الأولى، الفضاء المماسي بأكمله. هذا هو أبسط نموذج لشرط قوس هورماندر ، وهو يعني أن مجموع مربعات حقول المتجهات الأفقية يكون ناقص القطع الناقص. ^{[ 12 ]}

المشغل${\displaystyle {\mathcal {L}}}$متجانس من الدرجة الثانية بالنسبة للتمددات الطبيعية

${\displaystyle \delta _{r}(x,y,t)=(rx,ry,r^{2}t).}$

هذه التمددات تجعل مجموعة هايزنبرغ مجموعة كارنو ، مع جبر لي الطبقي

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}=V_{1}\oplus V_{2},\qquad [V_{1},V_{1}]=V_{2},\qquad [V_{1},V_{2}]=0,}$

أين${\displaystyle V_{1}}$يمتد بواسطة حقول المتجهات الأفقية و${\displaystyle V_{2}}$يمثل المركز أحادي البعد. البعد المتجانس المقابل هو

${\displaystyle Q=2n+2,}$

بدلاً من البعد الطوبولوجي${\displaystyle 2n+1}$يُعدّ هذا التمييز مهمًا في دراسة نوى الحرارة، ومتباينات سوبوليف، والتكاملات الشاذة، وفضاءات الدوال على المجموعة. ^{[ 13 ] [ 14 ]} وهو أيضًا بُعد هاوسدورف للفضاء المتري المرتبط به، وذلك بديهيًا لأن الكرات ذات نصف قطر مُحدد تنضغط (بشكل تربيعي) على مستوى التماس الفائق عندما يؤول نصف القطر إلى الصفر.

المؤثر التفاضلي شبه لابلاس على زمرة هايزنبرغ هو المؤثر التفاضلي الثابت من اليسار

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\sum _{j=1}^{n}\left(X_{j}^{2}+Y_{j}^{2}\right).}$

بخلاف عامل لابلاس العادي في الفضاء الإقليدي،${\displaystyle {\mathcal {L}}}$لا يحتوي على مشتقة ثانية في الاتجاه المركزي${\displaystyle T}$لذا، فهو ليس إهليلجيًا كمؤثر على حزمة المماس الكاملة . ومع ذلك، فهو ناقص الإهليلجية لأن الاتجاه المركزي المفقود يُستعاد من خلال المبدلات.${\displaystyle [X_{j},Y_{j}]}$[ ^{14 ]​}

يعمل شبه لابلاس على تحسين عملية التفكيك لـ${\displaystyle L^{2}(H_{n})}$أبعد من تمثيلات شرودنغر، التي يتم فهرستها بواسطة معلمة حقيقية (مستمرة) غير صفرية${\displaystyle \lambda }$ضمن كل تمثيل لشرودنغر، يكون لدى المرء

${\displaystyle d\pi _{\lambda }({\mathcal {L}})=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi _{j}^{2}}}+\lambda ^{2}|\xi |^{2}}$

أين${\displaystyle \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}$يشير إلى الإحداثي في ​​فضاء التمثيل${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$في نموذج شرودنغر. وبالتالي، لكل قيمة ثابتة${\displaystyle \lambda \neq 0}$، يمتلك المؤثر المحوّل طيف مذبذب منفصل

${\displaystyle (2|\alpha |+n)|\lambda |,\qquad \alpha \in \mathbb {N} ^{n},}$

حتى اتفاقيات التطبيع. ^{[ 7 ] : 350-406}

من الممكن بشكل عام تعريف زمرة هايزنبرغ لزمرة أبيلية محلية التراص K ، مزودة بمقياس هار . ^{[ 20 ]} تمتلك هذه الزمرة ثنائية بونترياغين.${\displaystyle {\hat {K}}}$، تتكون من جميع العناصر المتصلة${\displaystyle U(1)}$الخصائص ذات القيم على K ، والتي تُعدّ أيضًا زمرة أبيلية متراصة محليًا إذا زُوّدت بطوبولوجيا متراصة مفتوحة . زمرة هايزنبرغ المرتبطة بالزمرة الأبيلية المتراصة محليًا K هي الزمرة الجزئية من الزمرة الوحدوية لـ${\displaystyle L^{2}(K)}$يتم توليدها عن طريق عمليات الترجمة من K وعمليات الضرب بعناصر من${\displaystyle {\hat {K}}}$.

بمزيد من التفصيل، مساحة هيلبرت${\displaystyle L^{2}(K)}$تتكون من دوال مركبة قابلة للتكامل التربيعي${\displaystyle f}$على K. تشكل الإزاحات في K تمثيلاً وحدوياً لـ K كمؤثرات على${\displaystyle L^{2}(K)}$:

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

ل${\displaystyle x,y\in K}$وكذلك عمليات الضرب بالأحرف:

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

ل${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$لا تتبادل هذه المؤثرات، بل تُحقق الشروط التالية:

${\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

الضرب في عدد مركب ذي معيار ثابت.

إذن، مجموعة هايزنبرغ${\displaystyle H(K)}$يرتبط بـ K نوع من الامتداد المركزي لـ${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$، عبر تسلسل دقيق من المجموعات:

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

تُوصَف مجموعات هايزنبرغ الأكثر عمومية بواسطة دورات ثنائية في مجموعة التماثل.${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$وجود ازدواجية بين${\displaystyle K}$و${\displaystyle {\hat {K}}}$يؤدي ذلك إلى دورة مشتركة أساسية، ولكن هناك دورات أخرى بشكل عام.

تؤثر مجموعة هايزنبرغ بشكل لا يمكن اختزاله على${\displaystyle L^{2}(K)}$في الواقع، تفصل الأحرف المتصلة النقاط ^{[ 21 ]،} لذا فإن أي عامل وحدوي من${\displaystyle L^{2}(K)}$الذي يتنقل معهم هو${\displaystyle L^{\infty }}$المضاعف . لكن التبادل مع الإزاحات يعني أن المضاعف ثابت. ^{[ 22 ]}

تُعتبر نسخة من نظرية ستون-فون نيومان ، التي أثبتها جورج ماكي ، صحيحة بالنسبة لمجموعة هايزنبرغ.${\displaystyle H(K)}$[ ^{23 ] [ 24 ]} يُعد تحويل فورييه الرابط الفريد ^بين تمثيلات${\displaystyle L^{2}(K)}$و${\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}$انظر المناقشة في نظرية ستون-فون نيومان#العلاقة بتحويل فورييه لمزيد من التفاصيل.

• علاقات التبادل الأساسية
• تحويل ويغنر-ويل
• نظرية ستون-فون نيومان
• التمثيل الإسقاطي
• تخمين الهندسة

• بينز، إرنست؛ بودز، سونيا (2008). هندسة زمر هايزنبرغ . الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0-8218-4495-3.
• هول، برايان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  267، سبرينغر، رمز Bibcode : 2013qtm..book.....H ، ISBN 978-1461471158
• هول، برايان سي. (2015). زمر لي، وجبر لي، والتمثيلات: مقدمة تمهيدية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  222 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-3319134666.
• هاو، روجر (1980). "حول دور مجموعة هايزنبرغ في التحليل التوافقي" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 3 (2): 821-843 . doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14825-9 . MR 0578375 . 
• كيريلوف، ألكسندر أ. (2004). "الفصل 2: ​​"تمثيلات ومدارات مجموعة هايزنبرغ". محاضرات في طريقة المدار . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-3530-0.
• ماكي، جورج (1976). نظرية تمثيلات المجموعة الوحدوية . محاضرات شيكاغو في الرياضيات. مطبعة جامعة شيكاغو . ISBN 978-0226500522.

• Groupprops، موسوعة خصائص المجموعات، مجموعة المصفوفات المثلثية الأحادية UT(3,p)