نصف قطر الدوران

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة

يُعرَّف نصف قطر الدوران لجسم حول محور الدوران بأنه المسافة الشعاعية إلى نقطة يكون لها عزم قصور ذاتي مساوي لعزم القصور الذاتي لتوزيع كتلة الجسم الفعلي ، إذا ما تركزت كتلة الجسم الكلية عند تلك النقطة. ويُقاس نصف قطر الدوران بوحدة المسافة [ L]، ويُعبر عنه بوحدة المتر في النظام الدولي للوحدات .

التركيبة

رياضيًا، يُعرَّف نصف قطر الدوران بأنه الجذر التربيعي لمتوسط ​​المسافة بين أجزاء الجسم ومركز كتلته أو محور معين، وذلك حسب التطبيق ذي الصلة. وهو في الواقع المسافة العمودية من نقطة الكتلة إلى محور الدوران. يمكن تمثيل مسار نقطة متحركة كجسم، ومن ثم يُستخدم نصف قطر الدوران لوصف المسافة النموذجية التي تقطعها هذه النقطة.

لنفترض أن جسمًا ما يتكون منن{\displaystyle n}جسيمات كل منها كتلتهام{\displaystyle m}. يتركر1،ر2،ر3،...،رن{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}}لنفترض أن المسافات العمودية بينهما وبين محور الدوران هي . عندئذٍ، يكون عزم القصور الذاتيأنا{\displaystyle I}حركة الجسم حول محور الدوران هي

أنا=م1ر12+م2ر22+⋯+منرن2{\displaystyle I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}}

إذا كانت جميع الكتل متساوية (م{\displaystyle m}إذا كان )، فإن عزم القصور الذاتي هوأنا=م(ر12+ر22+⋯+رن2){\displaystyle I=m(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})}.

منذم=م/ن{\displaystyle m=M/n}(م{\displaystyle M}(حيث تمثل الكتلة الإجمالية للجسم).

أنا=م(ر12+ر22+⋯+رن2)/ن{\displaystyle I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}

من المعادلات السابقة، لدينا

مRز2=م(ر12+ر22+⋯+رن2)/ن{\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}

نصف قطر الدوران هو الجذر التربيعي لمتوسط ​​المسافة بين الجسيمات والمحور.

Rز2=(ر12+ر22+⋯+رن2)/ن{\displaystyle R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}

لذا، يمكن تعريف نصف قطر الدوران لجسم حول محور معين بأنه الجذر التربيعي المتوسط ​​للمسافة بين جسيمات الجسم المختلفة ومحور الدوران. ويُعرف أيضاً بأنه مقياس لكيفية توزيع كتلة الجسم الصلب الدوار حول محور دورانه.

تطبيقات في الهندسة الإنشائية

في الهندسة الإنشائية ، يُستخدم نصف قطر الدوران ثنائي الأبعاد لوصف توزيع مساحة المقطع العرضي في عمود حول محوره المركزي مع كتلة الجسم. ويُعطى نصف قطر الدوران بالصيغة التالية:

Rز=أناأ{\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}}

أينأنا{\displaystyle I}هو عزم المساحة الثاني وأ{\displaystyle A}هي المساحة الكلية للمقطع العرضي.

يُعدّ نصف قطر الدوران مفيدًا في تقدير صلابة العمود. فإذا لم تتساوى العزوم الرئيسية لموتر الدوران ثنائي الأبعاد ، سيميل العمود إلى الانبعاج حول المحور ذي العزم الرئيسي الأصغر. على سبيل المثال، يميل العمود ذو المقطع العرضي الإهليلجي إلى الانبعاج في اتجاه نصف المحور الأصغر.

في الهندسة ، حيث تكون الأجسام المتصلة من المادة هي موضوع الدراسة بشكل عام، يتم عادةً حساب نصف قطر الدوران كتكامل.

تطبيقات في الميكانيكا

نصف قطر الدوران حول محور معين (رز محور{\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}}يمكن حساب ) بدلالة عزم القصور الذاتي الكتليأنامحور{\displaystyle I_{\text{axis}}}حول ذلك المحور، والكتلة الكلية m ؛

رز محور=أنامحورم{\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axis}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axis}}}{m}}}}

أنامحور{\displaystyle I_{\text{axis}}}هو كمية قياسية ، وليس موتر عزم القصور الذاتي . [ 1 ]

التطبيقات الجزيئية

تعريف الاتحاد الدولي للطب البحت والتطبيقي (IUPAP)

نصف قطر الدوران (في علم البوليمرات)s{\displaystyle s}(الوحدة: نانومتر أو وحدة النظام الدولي: متر): لجزيء ضخم مكون منن{\displaystyle n}العناصر الكتلية، ذات الكتلمأنا{\displaystyle m_{i}}،أنا{\displaystyle i}=1،2،…،ن{\displaystyle n}، تقع على مسافات ثابتةsأنا{\displaystyle s_{i}}من مركز الكتلة، يكون نصف قطر الدوران هو الجذر التربيعي لمتوسط ​​الكتلة لـsأنا2{\displaystyle s_{i}^{2}}على جميع عناصر الكتلة، أي

s=(∑أنا=1نمأناsأنا2/∑أنا=1نمأنا)1/2{\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_{i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}}

ملاحظة: عادةً ما تُؤخذ عناصر الكتلة على أنها كتل المجموعات الهيكلية التي تُكوّن الجزيء الكبير، على سبيل المثال، –CH 2 – في بولي (ميثيلين). [ 2 ]

تعريف الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية لنصف قطر الدوران

في فيزياء البوليمرات ، يُستخدم نصف قطر الدوران لوصف أبعاد سلسلة البوليمر . ويُعرَّف نصف قطر الدوران لبوليمر متجانس فردي بدرجة بلمرة N عند زمن معين على النحو التالي: [ 3 ]

Rز2 =دهـو 1شمال∑ك=1شمال|رك-رمهـأن|2//

أينرمهـأن{\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}يمثل متوسط ​​موضع المونومرات. وكما هو موضح أدناه، فإن نصف قطر الدوران يتناسب أيضًا مع الجذر التربيعي لمتوسط ​​المسافة بين المونومرات:

Rز2 =دهـو 12شمال2∑أنا≠ج|رأنا-رج|2{\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i\neq j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}

كطريقة ثالثة، يمكن أيضًا حساب نصف قطر الدوران عن طريق جمع اللحظات الرئيسية لموتر الدوران .

بما أن عدد التشكيلات السلسلية لعينة البوليمر شبه لانهائي ويتغير باستمرار مع مرور الوقت، فإن "نصف قطر الدوران" الذي يُناقش في فيزياء البوليمرات يجب فهمه عادةً على أنه متوسط ​​لجميع جزيئات البوليمر في العينة وعلى مدار الزمن. أي أن نصف قطر الدوران الذي يُقاس كمتوسط ​​على مدار الزمن أو مجموعة من الجزيئات :

Rز2 =دهـو 1شمال⟨∑ك=1شمال|رك-رمهـأن|2⟩// }\يمين|^{2}\يمين\rangle }

حيث الأقواس الزاوية⟨...⟩{\displaystyle \langle \ldots \rangle }يشير إلى متوسط ​​المجموعة .

تتبع سلسلة بوليمرية محكومة بالإنتروبيا (أي في ما يسمى بشروط ثيتا) مسارًا عشوائيًا في ثلاثة أبعاد. يُعطى نصف قطر الدوران في هذه الحالة بواسطة

Rز=16  شمال أ{\displaystyle R_{\mathrm {g}}={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a}

لاحظ أنه على الرغم منأشمال{\displaystyle aN}يمثل طول محيط البوليمر،أ{\displaystyle a}يعتمد بشكل كبير على صلابة البوليمر ويمكن أن يختلف على مدى عدة مراتب.شمال{\displaystyle N}يتم تخفيضها وفقًا لذلك.

من الأسباب التي تجعل نصف قطر الدوران خاصيةً مثيرةً للاهتمام إمكانية تحديده تجريبياً باستخدام تشتت الضوء الساكن، وكذلك باستخدام تشتت النيوترونات والأشعة السينية بزوايا صغيرة . وهذا يُمكّن علماء فيزياء البوليمرات النظرية من التحقق من صحة نماذجهم ومقارنتها بالواقع. أما نصف القطر الهيدروديناميكي فهو مشابه عددياً، ويمكن قياسه باستخدام تشتت الضوء الديناميكي (DLS).

اشتقاق الهوية

لإظهار أن التعريفين لـRز2{\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}}إذا كانت متطابقة، فإننا نضرب أولاً الحد في التعريف الأول:

Rز2 =دهـو 1شمال∑ك=1شمال(رك-رمهـأن)2=1شمال∑ك=1شمال[رك⋅رك+رمهـأن⋅رمهـأن-2رك⋅رمهـأن]// $$ \mathbf {r} _{\mathrm {يعني} }\يمين]}

بإجراء عملية الجمع على الحدين الأخيرين وباستخدام تعريفرمهـأن{\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }}تعطي الصيغة

Rز2 =دهـو -رمهـأن⋅رمهـأن+1شمال∑ك=1شمال(رك⋅رك){\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _ {ك = 1} ^ {N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)}

من ناحية أخرى، يمكن حساب التعريف الثاني بنفس الطريقة كما يلي.

Rز2 =دهـو 12شمال2∑أنا،ج|رأنا-رج|2=12شمال2∑أنا،ج(رأنا⋅رأنا-2رأنا⋅رج+رج⋅رج)=12شمال2[شمال∑أنا(رأنا⋅رأنا)-2∑أنا،ج(رأنا⋅رج)+شمال∑ج(رج⋅رج)]=1شمال∑كشمال(رك⋅رك)-1شمال2∑أنا،ج(رأنا⋅رج)=1شمال∑كشمال(رك⋅رك)-رمهـأن⋅رمهـأن{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}

وبالتالي، فإن التعريفين متطابقان.

يستخدم التحويل الأخير العلاقة

1شمال2∑أنا،ج(رأنا⋅رج)=1شمال2∑أنارأنا⋅(∑جرج)=1شمال∑أنارأنا⋅رمهـأن=رمهـأن⋅رمهـأن.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \left(\sum _{j}\mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\\&=\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }.\end{aligned}}}

تطبيقات في تحليل البيانات الجغرافية

في تحليل البيانات، يُستخدم نصف قطر الدوران لحساب العديد من الإحصائيات المختلفة، بما في ذلك انتشار المواقع الجغرافية. وقد جُمعت هذه المواقع مؤخرًا من مستخدمي وسائل التواصل الاجتماعي لدراسة الإشارات الشائعة لكل مستخدم. وهذا يُفيد في فهم كيفية استخدام فئة معينة من المستخدمين لهذه المنصات.

Rز=∑أنا=1شمالمأنا(رأنا-رج)2∑أنا=1شمالمأنا{\displaystyle R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}m_{i}}}}}

ملحوظات

  1. ↑ انظر على سبيل المثال: غولدشتاين، هربرت (1950)، الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الأولى)، ريدينغ، ماساتشوستس: شركة أديسون-ويسلي للنشرالمعادلة 5-30
  2. ↑ ستيبتو، ر.؛ تشانغ، ت.؛ كراتوشفيل، ب.؛ هيس، م.؛ هوري، ك.؛ ساتو، ت.؛ فوهليدال، ج. (2015). "تعريفات المصطلحات المتعلقة بالجزيئات الكبيرة المفردة، والتجمعات الجزيئية الكبيرة، ومحاليل البوليمرات، والبوليمرات الكتلية غير المتبلورة (توصيات الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية 2014)" (ملف PDF) . الكيمياء البحتة والتطبيقية . 87 (1): 71. doi : 10.1515/pac-2013-0201 .
  3. ↑ فيكسمان، مارشال (1962). "نصف قطر دوران سلاسل البوليمر". مجلة الفيزياء الكيميائية . 36 (2): 306-310 . Bibcode : 1962JChPh..36..306F . doi : 10.1063/1.1732501 .

مراجع

  • غروسبرغ، أ.ي. وخوخلوف، أ.ر. (1994). الفيزياء الإحصائية للجزيئات الكبيرة (ترجمة أتانوف، ي.أ.)، دار نشر معهد الفيزياء الأمريكي. رقم ISBN 1-56396-071-0
  • فلوري بي جيه. (1953) مبادئ كيمياء البوليمر ، جامعة كورنيل، ص  428-429 (الملحق ج من الفصل العاشر).