المقطع العرضي (الهندسة)

في الهندسة والعلوم ، المقطع العرضي هو التقاطع غير الفارغ لجسم صلب في الفضاء ثلاثي الأبعاد مع مستوى ، أو ما يُماثله في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. يؤدي تقطيع جسم إلى شرائح إلى إنشاء العديد من المقاطع العرضية المتوازية. يُشار أحيانًا إلى حدود المقطع العرضي في الفضاء ثلاثي الأبعاد الموازية لمحورين ، أي الموازية للمستوى المحدد بهذين المحورين، بخط كفاف ؛ على سبيل المثال، إذا قطع مستوى جبال خريطة تضاريسية بارزة موازيًا للأرض، فإن النتيجة هي خط كفاف في الفضاء ثنائي الأبعاد يُظهر نقاطًا على سطح الجبال متساوية الارتفاع .

في الرسم الهندسي، يُعد المقطع العرضي، وهو إسقاط لجسم ما على مستوى يتقاطع معه، أداة شائعة الاستخدام لتصوير التركيب الداخلي لجسم ثلاثي الأبعاد في بعدين. ويُرسم عادةً بخطوط متقاطعة، وغالبًا ما يشير أسلوب هذه الخطوط إلى أنواع المواد المستخدمة.

باستخدام التصوير المقطعي المحوري المحوسب ، يمكن لأجهزة الكمبيوتر إنشاء مقاطع عرضية من بيانات الأشعة السينية .

إذا تقاطع مستوى مع جسم صلب (جسم ثلاثي الأبعاد)، فإن المنطقة المشتركة بين المستوى والجسم الصلب تُسمى مقطعًا عرضيًا للجسم الصلب. ^{[ 1 ]} ويُشار إلى المستوى الذي يحتوي على مقطع عرضي للجسم الصلب باسم مستوى القطع .

قد يعتمد شكل المقطع العرضي لجسم صلب على اتجاه مستوى القطع بالنسبة له. فعلى سبيل المثال، بينما تكون جميع المقاطع العرضية للكرة أقراصًا، ^{[ 2 ]} فإن المقاطع العرضية للمكعب تعتمد على كيفية ارتباط مستوى القطع به. فإذا كان مستوى القطع عموديًا على خط يصل بين مركزي وجهين متقابلين من المكعب، فسيكون المقطع العرضي مربعًا. أما إذا كان مستوى القطع عموديًا على قطر المكعب الواصل بين رأسين متقابلين، فقد يكون المقطع العرضي نقطة أو مثلثًا أو سداسيًا.

المقطع العرضي للمجسم متعدد الأوجه هو مضلع .

المقاطع المخروطية – الدوائر ، والقطع الناقصة ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد – هي مقاطع مستوية للمخروط مع مستويات القطع بزوايا مختلفة، كما هو موضح في الرسم التخطيطي على اليسار.

أي مقطع عرضي يمر بمركز القطع الناقص يُشكّل منطقةً إهليلجية، بينما المقاطع المستوية المقابلة لها تكون قطعًا ناقصة على سطحه. وتتحول هذه المقاطع إلى أقراص ودوائر، على التوالي، عندما تكون مستويات القطع عمودية على محور التناظر. وبشكل أعم، فإن المقاطع المستوية للسطح الرباعي هي مقاطع مخروطية. ^{[ 5 ]}

المقطع العرضي لأسطوانة دائرية قائمة صلبة تمتد بين قاعدتين يكون قرصًا إذا كان المقطع موازيًا لقاعدة الأسطوانة، أو منطقة بيضاوية (انظر الرسم التوضيحي على اليمين) إذا لم يكن موازيًا ولا عموديًا على القاعدة. إذا كان مستوى القطع عموديًا على القاعدة، فإنه يتكون من مستطيل (غير موضح) إلا إذا كان مماسًا للأسطوانة، فحينها يكون قطعة مستقيمة واحدة .

قد يُشير مصطلح الأسطوانة أيضًا إلى السطح الجانبي لأسطوانة صلبة (انظر: الأسطوانة (الهندسة) ). إذا استُخدمت الأسطوانة بهذا المعنى، فستكون الفقرة السابقة كما يلي: يكون المقطع المستوي لأسطوانة دائرية قائمة ذات طول محدود ^{[ 6 ]} دائرةً إذا كان مستوى القطع عموديًا على محور تناظر الأسطوانة، أو قطعًا ناقصًا إذا لم يكن موازيًا ولا عموديًا على ذلك المحور. إذا كان مستوى القطع موازيًا للمحور، فإن المقطع المستوي يتكون من قطعتين مستقيمتين متوازيتين، إلا إذا كان مستوى القطع مماسًا للأسطوانة، فحينها يكون المقطع المستوي قطعة مستقيمة واحدة.

رسم بياني للدالة z = x ² + xy + y ^2. بالنسبة للمشتقة الجزئية عند (1، 1، 3) التي تجعل y ثابتة، فإن خط المماس المقابل يكون موازياً للمستوى xz .

مقطع مستوٍ من الرسم البياني أعلاه يوضح منحنى المستوى في المستوى xz عند y = 1

يمكن استخدام المقطع المستوي لتصوير المشتقة الجزئية لدالة بالنسبة لأحد متغيراتها، كما هو موضح. لنفترض أن z = f ( x , y ) . عند حساب المشتقة الجزئية لـ f ( x , y ) بالنسبة إلى x ، يمكن رسم مقطع مستوي للدالة f عند قيمة ثابتة لـ y لرسم منحنى المستوى لـ z مقابل x فقط ؛ عندئذٍ تكون المشتقة الجزئية بالنسبة إلى x هي ميل الرسم البياني ثنائي الأبعاد الناتج.

ينص مبدأ كافالييري على أن الأجسام الصلبة ذات المقاطع العرضية المتناظرة والمتساوية المساحة لها أحجام متساوية.

مساحة المقطع العرضي (${\displaystyle A'}$مساحة الجسم عند النظر إليه من زاوية معينة هي المساحة الكلية للإسقاط المتعامد للجسم من تلك الزاوية. على سبيل المثال، أسطوانة ارتفاعها h ونصف قطرها r لها${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$عند النظر إليها على طول محورها المركزي، و${\displaystyle A'=2rh}$عند النظر إليها من اتجاه متعامد. كرة نصف قطرها r لها${\displaystyle A'=\pi r^{2}}$عند النظر إليها من أي زاوية. وبشكل أعم،${\displaystyle A'}$يمكن حسابها عن طريق تقييم التكامل السطحي التالي:

${\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$هو متجه الوحدة الذي يشير على طول اتجاه الرؤية نحو المشاهد،${\displaystyle d\mathbf {A} }$هو عنصر سطحي ذو متجه عمودي متجه للخارج، ويتم حساب التكامل فقط على السطح العلوي، أي ذلك الجزء من السطح "المرئي" من منظور المشاهد. بالنسبة لجسم محدب ، يتقاطع كل شعاع يمر عبر الجسم من منظور المشاهد مع سطحين فقط. بالنسبة لهذه الأجسام، يمكن حساب التكامل على السطح بأكمله (${\displaystyle A}$) عن طريق أخذ القيمة المطلقة للدالة التكاملية (بحيث لا يتم طرح "الجزء العلوي" و"الجزء السفلي" من الكائن، كما هو مطلوب بموجب نظرية التباعد المطبقة على حقل المتجهات الثابت)${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$) والقسمة على اثنين:

${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}$

قياسًا على المقطع العرضي لجسم صلب، فإن المقطع العرضي لجسم ذي أبعاد n في فضاء ذي أبعاد n هو التقاطع غير الفارغ للجسم مع مستوى فائق ( فضاء فرعي ذو أبعاد ( n -1) ). وقد استُخدم هذا المفهوم أحيانًا للمساعدة في تصور جوانب الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى. ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، إذا مر جسم رباعي الأبعاد عبر فضائنا ثلاثي الأبعاد، فسنرى مقطعًا عرضيًا ثلاثي الأبعاد لهذا الجسم. وعلى وجه الخصوص، ستظهر كرة رباعية الأبعاد (كرة فائقة) تمر عبر فضاء ثلاثي الأبعاد ككرة ثلاثية الأبعاد ازداد حجمها إلى أقصى حد ثم تناقص أثناء الانتقال. هذا الجسم الديناميكي (من منظور الفضاء ثلاثي الأبعاد) هو سلسلة من المقاطع العرضية للكرة الرباعية الأبعاد.

في علم الجيولوجيا ، غالبًا ما يتم توضيح بنية باطن الكوكب باستخدام رسم تخطيطي لمقطع عرضي للكوكب يمر عبر مركز الكوكب، كما هو الحال في المقطع العرضي للأرض على اليمين.

تُستخدم المقاطع العرضية غالبًا في علم التشريح لتوضيح البنية الداخلية للعضو، كما هو موضح على اليسار.

يُظهر المقطع العرضي لجذع الشجرة ، كما هو موضح على اليسار، حلقات النمو التي يمكن استخدامها لمعرفة عمر الشجرة والخصائص الزمنية لبيئتها.

• الهندسة الوصفية
• رسم توضيحي للأجزاء المفككة
• الإسقاط الرسومي
• المخططات (الرسومات)
• مقياس الملامح
• تبطين المقطع ؛ تمثيل المواد
• المستوى القاطع

• ألبرت، أبراهام أدريان (2016) [1949]، الهندسة التحليلية الصلبة ، دوفر، ISBN 978-0-486-81026-3
• ستيوارت، إيان (2001)، أرض مسطحة / مثل الأرض المسطحة، ولكن بشكل أكبر ، دار نشر بيرسوس، رقم ISBN 0-7382-0675-X
• سوكوفسكي، إيرل دبليو. (1983)، حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية (  طبعة بديلة)، بريندل، ويبر وشميدت، ISBN 0-87150-341-7