جسم صلب

موضع الجسم الصلب هو موضع جميع الجسيمات المكونة له. ولتبسيط وصف هذا الموضع، نستغل خاصية صلابة الجسم، أي أن جميع جسيماته تحافظ على نفس المسافة النسبية. إذا كان الجسم صلبًا، يكفي وصف موضع ثلاثة جسيمات على الأقل غير متوازية . وهذا يُتيح إعادة بناء موضع جميع الجسيمات الأخرى، شريطة معرفة موضعها الثابت زمنيًا بالنسبة للجسيمات الثلاثة المختارة. مع ذلك، يُستخدم عادةً نهج مختلف، أكثر ملاءمةً من الناحية الرياضية، ولكنه مكافئ. يُعبَّر عن موضع الجسم ككل بما يلي:

1. الموضع الخطي أو موضع الجسم، أي موضع إحدى جسيمات الجسم، المختارة تحديدًا كنقطة مرجعية (عادةً ما تتطابق مع مركز كتلة الجسم أو مركز ثقله )، بالإضافة إلى
2. الوضع الزاوي (المعروف أيضًا باسم التوجه أو الوضع ) للجسم.

وبالتالي، فإن موضع الجسم الصلب يتكون من مركبتين: خطية وزاوية . ^{[ 3 ]} وينطبق الأمر نفسه على الكميات الحركية والديناميكية الأخرى التي ^تصف حركة الجسم الصلب، مثل السرعة الخطية والزاوية ، والتسارع ، والزخم ، والدفع ، والطاقة الحركية . ^{[ 4} ]

يمكن تمثيل الموضع الخطي بمتجه ذيله عند نقطة مرجعية اختيارية في الفضاء (أصل نظام إحداثيات مُختار ) ورأسه عند نقطة اهتمام اختيارية على الجسم الصلب، والتي عادةً ما تتطابق مع مركز كتلته أو مركز ثقله . قد تُحدد هذه النقطة المرجعية أصل نظام إحداثيات مُثبت على الجسم.

توجد عدة طرق لوصف اتجاه جسم صلب عدديًا، بما في ذلك مجموعة من ثلاث زوايا أويلر ، أو الكواترنيون ، أو مصفوفة جيب التمام الاتجاهية (المعروفة أيضًا بمصفوفة الدوران ). تُحدد جميع هذه الطرق اتجاه مجموعة أساسية (أو نظام إحداثيات ) ذات اتجاه ثابت بالنسبة للجسم (أي تدور معه)، وذلك بالنسبة لمجموعة أساسية أخرى (أو نظام إحداثيات) تُلاحظ من خلالها حركة الجسم الصلب. على سبيل المثال، يمكن تعريف مجموعة أساسية ذات اتجاه ثابت بالنسبة لطائرة على أنها مجموعة من ثلاثة متجهات وحدة متعامدة _{b1 ،} b2 ، _b3 ، بحيث _يكون b1 موازيًا لوتر الجناح وموجهًا للأمام، ويكون b2 _{عموديًا على} مستوى التناظر وموجهًا لليمين، ويُعطى b3 بالضرب الاتجاهي .${\displaystyle b_{3}=b_{1}\times b_{2}}$.

بشكل عام، عندما يتحرك جسم صلب، يتغير كل من موضعه واتجاهه مع مرور الوقت. في علم الحركة، يُشار إلى هذه التغيرات بالانتقال والدوران ، على التوالي. في الواقع، يمكن اعتبار موضع الجسم الصلب انتقالًا ودورانًا افتراضيين (انتقالًا دورانيًا) للجسم انطلاقًا من موضع مرجعي افتراضي (لا يتطابق بالضرورة مع الموضع الفعلي الذي يتخذه الجسم أثناء حركته).

يتم قياس السرعة (وتسمى أيضًا السرعة الخطية ) والسرعة الزاوية بالنسبة إلى إطار مرجعي .

السرعة الخطية لجسم صلب هي كمية متجهة ، تساوي معدل تغير موضعه الخطي مع الزمن. وبالتالي، فهي سرعة نقطة مرجعية ثابتة على الجسم. خلال الحركة الانتقالية البحتة (الحركة بدون دوران)، تتحرك جميع النقاط على الجسم الصلب بنفس السرعة . مع ذلك، عندما تتضمن الحركة دورانًا، فإن السرعة اللحظية لأي نقطتين على الجسم لن تكون متساوية عمومًا. تتساوى السرعة اللحظية لنقطتين على جسم دوار فقط إذا وقعتا على محور موازٍ لمحور الدوران اللحظي .

السرعة الزاوية كمية متجهة تصف السرعة الزاوية التي يتغير بها اتجاه الجسم الصلب والمحور اللحظي الذي يدور حوله (يضمن وجود هذا المحور اللحظي نظرية أويلر للدوران ). جميع نقاط الجسم الصلب لها نفس السرعة الزاوية في جميع الأوقات. أثناء الحركة الدورانية البحتة، تتغير مواقع جميع نقاط الجسم باستثناء تلك الواقعة على محور الدوران اللحظي . العلاقة بين الاتجاه والسرعة الزاوية ليست مماثلة مباشرة للعلاقة بين الموقع والسرعة. السرعة الزاوية ليست معدل تغير الاتجاه مع الزمن، لأنه لا يوجد مفهوم لمتجه الاتجاه يمكن اشتقاقه للحصول على السرعة الزاوية.

السرعة الزاوية لجسم صلب B في إطار مرجعي N تساوي مجموع السرعة الزاوية لجسم صلب D في N والسرعة الزاوية لـ B بالنسبة إلى D: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }={}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {D} }+{}^{\mathrm {D} }\!{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }.}$

في هذه الحالة، لا يمكن التمييز بين الأجسام الصلبة والأطر المرجعية، ويمكن استبدالها تمامًا.

بالنسبة لأي مجموعة من ثلاث نقاط P و Q و R، فإن متجه الموضع من P إلى R هو مجموع متجه الموضع من P إلى Q ومتجه الموضع من Q إلى R:

${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PR} }=\mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }+\mathbf {r} ^{\mathrm {QR} }.}$

معيار متجه الموضع هو المسافة المكانية. هنا، يجب التعبير عن إحداثيات المتجهات الثلاثة جميعها في أنظمة إحداثيات ذات اتجاه واحد.

يتم تعريف سرعة النقطة P في الإطار المرجعي N على أنها المشتق الزمني في N لمتجه الموضع من O إلى P: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }={\frac {{}^{\mathrm {N} }\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} ^{\mathrm {OP} })}$

حيث O هي أي نقطة اختيارية ثابتة في الإطار المرجعي N، ويشير N الموجود على يسار عامل d/d t إلى أن المشتقة مأخوذة في الإطار المرجعي N. وتكون النتيجة مستقلة عن اختيار O طالما أن O ثابتة في N.

يتم تعريف تسارع النقطة P في الإطار المرجعي N على أنه المشتق الزمني لسرعتها في N: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }={\frac {^{\mathrm {N} }\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}({}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }).}$

بالنسبة لنقطتين P و Q مثبتتين على جسم صلب B، حيث B له سرعة زاوية${\displaystyle \scriptstyle {^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}}$في الإطار المرجعي N، يمكن التعبير عن سرعة Q في N كدالة لسرعة P في N: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\!\mathbf {v} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }.}$

أين${\displaystyle \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }}$يمثل متجه الموضع من P إلى Q، ^{[ 7 ]} مع إحداثيات معبر عنها في N (أو إطار له نفس اتجاه N). يمكن اشتقاق هذه العلاقة من الثبات الزمني لمسافة المعيار بين P و Q.

باشتقاق معادلة سرعة نقطتين مثبتتين على جسم صلب في الإطار المرجعي N بالنسبة للزمن، يمكن التعبير عن تسارع النقطة Q المثبتة على الجسم الصلب B في الإطار المرجعي N على النحو التالي:

${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {P} }+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }\times \left({}^{\mathrm {N} {\boldsymbol {\omega}}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^{\mathrm {PQ} }\right)+{}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }\times \mathbf {r} ^ {\mathrm {PQ} }}$

أين${\displaystyle \scriptstyle {{}^{\mathrm {N} }\!{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }}}$يمثل التسارع الزاوي لـ B في الإطار المرجعي N. ^{[ 7 ]}

كما ذكرنا سابقاً ، فإن جميع النقاط على الجسم الصلب B لها نفس السرعة الزاوية.${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\omega }}^{\mathrm {B} }}$في إطار مرجعي ثابت N، وبالتالي نفس التسارع الزاوي${\displaystyle {}^{\mathrm {N} }{\boldsymbol {\alpha }}^{\mathrm {B} }.}$

إذا كانت النقطة R تتحرك في الجسم الصلب B بينما يتحرك B في الإطار المرجعي N، فإن سرعة R في N هي

${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {v} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

حيث Q هي النقطة الثابتة في B التي تتطابق لحظيًا مع R في اللحظة محل الاهتمام. ^{[ 8 ]} غالبًا ما تُدمج هذه العلاقة مع علاقة سرعة نقطتين ثابتتين على جسم صلب .

يُعطى تسارع النقطة R المتحركة في الجسم B في الإطار المرجعي N، بينما يتحرك الجسم B في الإطار N، بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {}^{\mathrm {N}}\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }={}^{\mathrm {N} }\mathbf {a} ^{\mathrm {Q} }+{}^{\mathrm {B} }\mathbf {a} ^{\mathrm {R} }+2{}^{\mathrm {N} {\boldsymbol {\omega}}^{\mathrm {B} }\times {}^{\mathrm {B} }\mathbf {v} ^{\mathrm {R} }}$

حيث Q هي النقطة الثابتة في B التي تتطابق لحظيًا مع R في اللحظة محل الاهتمام. ^{[ 8 ]} غالبًا ما تُدمج هذه المعادلة مع تسارع نقطتين ثابتتين على جسم صلب .

إذا كانت C هي أصل نظام إحداثيات محلي L ، متصل بالجسم، فإن التسارع المكاني أو الالتوائي لجسم صلب يُعرَّف بأنه التسارع المكاني لـ C (على عكس التسارع المادي أعلاه):$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})=\mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})-{\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})={\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)+{\boldsymbol {\alpha }}(t)\times A(t)\mathbf {r} _{0}}$$ أين

• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$يمثل موضع النقطة/الجسيم بالنسبة إلى نقطة مرجعية للجسم من حيث نظام الإحداثيات المحلي L (صلابة الجسم تعني أن هذا لا يعتمد على الوقت).
• ${\displaystyle A(t)\,}$هي مصفوفة التوجيه ، وهي مصفوفة متعامدة بمحدد يساوي 1، تمثل توجيه (الموضع الزاوي) نظام الإحداثيات المحلي L ، بالنسبة إلى التوجيه المرجعي التعسفي لنظام إحداثيات آخر G. يمكن اعتبار هذه المصفوفة بمثابة ثلاثة متجهات وحدة متعامدة، واحد في كل عمود، والتي تحدد توجيه محاور L بالنسبة إلى G.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\أوميغا }}(t)}$يمثل السرعة الزاوية للجسم الصلب
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t,\mathbf {r} _{0})}$يمثل السرعة الكلية للنقطة/الجسيم
• ${\displaystyle \mathbf {a} (t,\mathbf {r} _{0})}$يمثل التسارع الكلي للنقطة/الجسيم
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)}$يمثل التسارع الزاوي للجسم الصلب
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}(t,\mathbf {r} _{0})}$يمثل التسارع المكاني للنقطة/الجسيم
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{c}(t)}$يمثل التسارع المكاني للجسم الصلب (أي التسارع المكاني لأصل L ).

في البعدين، السرعة الزاوية هي كمية قياسية، والمصفوفة A(t) تمثل ببساطة دورانًا في المستوى xy بزاوية هي تكامل السرعة الزاوية على الزمن.

عادةً ما تدور المركبات والأشخاص، وما إلى ذلك، وفقًا لتغيرات اتجاه السرعة: فهي تتحرك للأمام بالنسبة لاتجاهها. إذا كان الجسم يسير في مدار مغلق في مستوى، فإن السرعة الزاوية، عند تكاملها على مدى فترة زمنية تُكمل فيها الدورة مرة واحدة، تساوي عددًا صحيحًا مضروبًا في 360 درجة. هذا العدد الصحيح هو عدد اللفات بالنسبة لنقطة الأصل. قارن مقدار الدوران المرتبط برؤوس المضلع .

افترض أن${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {P} )}$هو حقل متجه ثلاثي الأبعاد سلس و${\displaystyle O}$هي نقطة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، مع${\displaystyle \mathbf {v} _{O}=\mathbf {v} (O)}$. يدل${\displaystyle B_{\varepsilon }}$كرة نصف قطرها${\displaystyle \varepsilon }$مركزها في${\displaystyle O}$، و ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {P} -O}$ندرس التعبير ${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }=\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O})}{r^{2}}}\,dV.}$

تحويل حقل السرعة إلى خطي عند${\displaystyle O}$أعطِ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O}=(\nabla \mathbf {v} )_{O}\,\mathbf {r} +o(r),}$ أين${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{O}}$هي مصفوفة جاكوبيان عند${\displaystyle O}$.

قم بتحليلها إلى أجزاء متناظرة وغير متناظرة:${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{O}=J_{s}+J_{a}}$، مع${\displaystyle J_{a}}$مضاد للتناظر. بحسب الجبر الخطي، يوجد متجه ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$بحيث${\displaystyle J_{a}\mathbf {r} ={\boldsymbol {w}}\times \mathbf {r} }$في الواقع، تُظهر الحسابات المباشرة أن${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={1 \over 2}\nabla \times \mathbf {v} (O)}$الجزء المتناظر${\displaystyle J_{s}}$لا يساهم في التكامل، وبالتالي

${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }=\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (J_{a}\mathbf {r} )}{r^{2}}}\,dV+o(\varepsilon ^{3})=\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {w}}\times \mathbf {r} )}{r^{2}}}\,dV+o(\varepsilon ^{3}).}$

باستخدام هوية المنتج الثلاثي، هناك $${\displaystyle {\frac {\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {w}}\times \mathbf {r} )}{r^{2}}}={\boldsymbol {w}}-{\frac {(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {w}})\mathbf {r} }{r^{2}}}.}$$

بإجراء التكامل على الكرة وباستخدام التناظر الكروي، $${\displaystyle \int _{B_{\varepsilon }}{\frac {(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {w}})\mathbf {r} }{r^{2}}}\,dV={\frac {1}{3}}{\text{Vol}}(B_{\varepsilon }){\boldsymbol {w}},}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle \mathbf {I} _{\varepsilon }={\frac {2}{3}}{\text{Vol}}(B_{\varepsilon }){\boldsymbol {w}}+o(\varepsilon ^{3}),\quad {\rm {with}}\quad {\boldsymbol {w}}={1 \over 2}\nabla \times \mathbf {v} (O).\quad (*)}$$

بالمناسبة، توفر هذه الصيغة صياغة تكاملية لدوران حقل المتجهات عند${\displaystyle O}$: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} (O)=\lim _{\varepsilon \to 0}{3 \over {\text{Vol}}(B_{\varepsilon })}\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} _{O})}{r^{2}}}\,dV.}$$