ملخص رامانوجان

مجموع رامانوجان هو أسلوب ابتكره عالم الرياضيات سرينيفاسا رامانوجان لتحديد قيمة للمتسلسلات اللانهائية المتباعدة . ورغم أن مجموع رامانوجان للمتسلسلة المتباعدة ليس مجموعًا بالمعنى التقليدي، إلا أنه يتمتع بخصائص تجعله مفيدًا رياضيًا في دراسة المتسلسلات اللانهائية المتباعدة ، التي يكون فيها الجمع التقليدي غير مُعرَّف.

بما أنه لا توجد خصائص للمجموع الكلي، فإن دالة جمع رامانوجان تُعدّ خاصية من خصائص المجاميع الجزئية. إذا أخذنا صيغة جمع أويلر-ماكلورين مع قاعدة التصحيح باستخدام أعداد برنولي ، فسنجد ما يلي:

$\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)=\sum _{k=0}^{n}f(k)-{\frac {f(0)+f(n)}{2}}\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left[f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}$

كتب رامانوجان ^{[ 1 ]} هذا مرة أخرى لحدود مختلفة للتكامل والمجموع المقابل للحالة التي تؤول فيها قيمة p إلى اللانهاية :

${\displaystyle \sum _{k=a}^{x}f(k)=C+\int _{a}^{x}f(t)dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}$

حيث C ثابت خاص بالمتسلسلة وامتدادها التحليلي ، ولم يحدد رامانوجان حدود التكامل، ولكن يُفترض أنها كانت كما ذُكر أعلاه. بمقارنة الصيغتين، وبافتراض أن R تؤول إلى الصفر عندما تؤول x إلى اللانهاية، نرى أنه في الحالة العامة، بالنسبة للدوال f ( x ) التي لا يوجد لها تباعد عند x  =  0:

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}$

حيث افترض رامانوجان${\displaystyle a=0}$عن طريق أخذ${\displaystyle a=\infty }$عادةً ما نستعيد المجموع المعتاد للمتسلسلات المتقاربة. بالنسبة للدوال f ( x ) التي لا يوجد لها تباعد عند x = 1 ، نحصل على:

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}$

أو بدلاً من ذلك، تطبيق المجاميع المُنعّمة .

تكون الصيغة المتقاربة للجمع للدوال ذات شرط النمو المناسب كما يلي :

${\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}$

في النص التالي،${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$يشير إلى "مجموع رامانوجان". ظهرت هذه الصيغة في الأصل في إحدى دفاتر رامانوجان، دون أي تدوين يشير إلى أنها تمثل طريقة جديدة للجمع.

على سبيل المثال، الـ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$الناتج عن 1 − 1 + 1 − ⋯ هو:

${\displaystyle 1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).}$

قام رامانوجان بحساب "مجاميع" المتسلسلات المتباعدة المعروفة. من المهم الإشارة إلى أن مجاميع رامانوجان ليست مجاميع المتسلسلات بالمعنى المعتاد، ^{[ 2 ] [ 3 ]} أي أن المجاميع الجزئية لا تتقارب إلى هذه القيمة، والتي يُرمز لها بالرمز ⁠${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$. على وجه الخصوص،${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$تم حساب مجموع 1 + 2 + 3 + 4 + ... على النحو التالي:

${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

وبإضافة القوى الزوجية الموجبة، ينتج عن ذلك ما يلي:

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})}$

وبالنسبة للقوى الفردية، اقترح النهج وجود علاقة مع أعداد برنولي :

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

لقد تم اقتراح استخدام C (1) بدلاً من C (0) كنتيجة لمجموع رامانوجان، لأنه عندئذٍ يمكن التأكد من أن سلسلة واحدة${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$يقبل مجموع رامانوجان واحدًا ووحيدًا، ويُعرَّف بأنه القيمة في 1 للحل الوحيد لمعادلة الفرق${\displaystyle R(x)-R(x+1)=f(x)}$وهذا يؤكد الحالة${\displaystyle \textstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt=0}$[ ⁴ ]^​​

هذا العرض التوضيحي لمجموع رامانوجان (المشار إليه بـ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$لا تتطابق هذه المتسلسلة مع مجموع رامانوجان المعرّف سابقًا، C (0)، ولا مع مجموع المتسلسلات المتقاربة، ولكنها تتمتع بخصائص مثيرة للاهتمام، مثل: إذا كانت R ( x ) تؤول إلى حدٍّ نهائي عندما x  →  1، فإن المتسلسلة${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$متقاربة، ولدينا

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}$

على وجه الخصوص، لدينا

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma }$

أين${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

يمكن توسيع إعادة تجميع رامانوجان لتشمل التكاملات؛ على سبيل المثال، باستخدام صيغة تجميع أويلر-ماكلورين، يمكن كتابة

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }x^{m-s}\,dx&={\frac {m-s}{2}}\int _{a}^{\infty }\,dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^{a}\left[i^{m-s}+a^{m-s}\right]\\&\qquad -\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\theta (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{aligned}}}$

وهو الامتداد الطبيعي لخوارزمية تنظيم زيتا إلى التكاملات.

هذه المعادلة التكرارية محدودة، لأنه من أجل ⁠${\displaystyle m-2r<-1}$،​

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}.}$

لاحظ أن هذا يتضمن (انظر إعادة التطبيع §  تنظيم دالة زيتا )

${\displaystyle I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}.}$

مع​${\displaystyle \Lambda \to \infty }$، إن تطبيق إعادة تجميع رامانوجان هذا يؤدي إلى نتائج محدودة فيإعادة تطبيع نظريات الحقل الكمومي .

• صيغة أبيل-بلانا
• مجموع بوريل
• ملخص سيزارو
• سلسلة دايفرجنت
• مجموع رامانوجان