سلسلة دايفرجنت

The Séries Divergentes هي بشكل عام مجموعة مختارة من الأشياء الجيدة القاتلة وهي فكرة صادقة تقوم بها وتؤسس aucune démonstration. ("المتسلسلات المتباعدة بشكل عام شيء قاتل، ومن العار أن نبني أي دليل عليها." غالبًا ما تُترجم على أنها "المتسلسلات المتباعدة هي اختراع من الشيطان ...")

— رسالة من إن إتش أبيل إلى هولمبو ، يناير 1826، أعيد طبعها في المجلد 2 من أوراقه المجمعة.

في الرياضيات ، المتسلسلة المتباعدة هي متسلسلة لانهائية غير متقاربة ، مما يعني أن التسلسل اللانهائي للمجاميع الجزئية للمتسلسلة ليس له نهاية محدودة .

إذا تقاربت متسلسلة، فلا بد أن تقترب حدودها الفردية من الصفر. وبالتالي، فإن أي متسلسلة لا تقترب حدودها الفردية من الصفر تكون متباعدة. مع ذلك، يُعد التقارب شرطًا أقوى: فليست كل المتسلسلات التي تقترب حدودها من الصفر متقاربة. ومن الأمثلة المضادة على ذلك المتسلسلة التوافقية.

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.

أثبت عالم الرياضيات في العصور الوسطى نيكول أورسم تباعد السلسلة التوافقية .

في سياقات رياضية متخصصة، يمكن إسناد قيم موضوعية لمتسلسلات معينة تتباعد مجاميعها الجزئية، وذلك لإضفاء معنى على تباعد هذه المتسلسلات. تُعرف طريقة الجمع أو طريقة التجميع بأنها دالة جزئية من مجموعة المتسلسلات تُسند قيمًا إليها. على سبيل المثال، تُسند طريقة سيزارو للتجميع قيمًا إلى متسلسلة غراندي المتباعدة .

1-1+1-1+\cdots

القيمة 1/2 . يُعدّ جمع سيزارو طريقةً لحساب المتوسط ، إذ يعتمد على المتوسط الحسابي لسلسلة من المجاميع الجزئية. وتتضمن طرق أخرى استمرارات تحليلية لمتسلسلات ذات صلة. في الفيزياء ، توجد مجموعة واسعة من طرق الجمع؛ وقد نُوقشت هذه الطرق بمزيد من التفصيل في مقال التنظيم .

تاريخ

... ولكن من الصحيح بشكل عام القول بأن علماء الرياضيات قبل كوشي لم يسألوا "كيف نحدد 1 − 1 + 1 ...؟" بل "ما هو 1 − 1 + 1 ...؟"، وأن هذه العادة العقلية قادتهم إلى حيرة وجدالات غير ضرورية كانت في كثير من الأحيان لفظية بالفعل.

— جي إتش هاردي، سلسلة المتباينة، الصفحة 6

قبل القرن التاسع عشر، شاع استخدام المتسلسلات المتباعدة على يد ليونارد أويلر وغيره، لكنها غالبًا ما كانت تؤدي إلى نتائج محيرة ومتناقضة. تمثلت إحدى المشكلات الرئيسية في فكرة أويلر القائلة بأن أي متسلسلة متباعدة يجب أن يكون لها مجموع طبيعي، دون تحديد المقصود بمجموع المتسلسلة المتباعدة. في نهاية المطاف، قدم أوغستين لويس كوشي تعريفًا دقيقًا لمجموع المتسلسلة (المتقاربة)، وبعد ذلك، استُبعدت المتسلسلات المتباعدة من الرياضيات لفترة من الزمن. ثم عادت للظهور عام ١٨٨٦ مع أعمال هنري بوانكاريه حول المتسلسلات التقاربية. وفي عام ١٨٩٠، أدرك إرنستو سيزارو أنه يمكن تقديم تعريف دقيق لمجموع بعض المتسلسلات المتباعدة، فعرّف مجموع سيزارو . (لم يكن هذا الاستخدام الأول لطريقة جمع سيزارو، التي استخدمها فرديناند جورج فروبينيوس ضمنيًا عام 1880؛ لم تكن مساهمة سيزارو الرئيسية اكتشاف هذه الطريقة، بل فكرته بضرورة تقديم تعريف صريح لمجموع المتسلسلة المتباعدة). في السنوات التي تلت ورقة سيزارو، قدم العديد من علماء الرياضيات تعريفات أخرى لمجموع المتسلسلة المتباعدة، على الرغم من أن هذه التعريفات ليست متوافقة دائمًا: إذ يمكن أن تعطي التعريفات المختلفة نتائج مختلفة لمجموع المتسلسلة المتباعدة نفسها؛ لذلك، عند الحديث عن مجموع المتسلسلة المتباعدة، من الضروري تحديد طريقة الجمع المستخدمة.

أمثلة

1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}$
1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}$
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots$
1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}$
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-1$
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}$
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}$
1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}0$

نظريات حول طرق جمع المتسلسلات المتباعدة

تُعتبر طريقة الجمع M منتظمة إذا كانت تتطابق مع النهاية الفعلية لجميع المتسلسلات المتقاربة . تُسمى هذه النتيجة نظرية أبيلية لـ M ، نسبةً إلى نظرية أبيل النموذجية . أما النتائج العكسية الجزئية، والتي تُسمى نظريات تاوبر ، فهي أكثر دقة، نسبةً إلى نموذج أولي أثبته ألفريد تاوبر . هنا، يعني العكس الجزئي أنه إذا جمعت M المتسلسلة Σ ، وتحقق شرط جانبي معين، فإن Σ كانت متقاربة في الأصل؛ أما بدون أي شرط جانبي، فإن هذه النتيجة ستُشير إلى أن M جمعت المتسلسلات المتقاربة فقط (مما يجعلها غير مجدية كطريقة جمع للمتسلسلات المتباعدة).

الدالة التي تُعطي مجموع متسلسلة متقاربة هي دالة خطية ، ويترتب على نظرية هان-باناخ أنه يمكن توسيعها لتشمل طريقة جمع أي متسلسلة ذات مجاميع جزئية محدودة. يُطلق على هذه الطريقة اسم حد باناخ . هذه الحقيقة ليست مفيدة جدًا في التطبيق العملي، نظرًا لوجود العديد من هذه الامتدادات غير المتسقة فيما بينها، ولأن إثبات وجود هذه المؤثرات يتطلب اللجوء إلى بديهية الاختيار أو ما يُعادلها، مثل مبرهنة زورن . ولذلك، فهي غير بنائية.

يهتم موضوع المتسلسلات المتباعدة، كمجال من مجالات التحليل الرياضي ، بشكل أساسي بالتقنيات الصريحة والطبيعية مثل جمع أبيل ، وجمع سيزارو ، وجمع بوريل ، وعلاقاتها. وقد مثّل ظهور نظرية تاوبر لـ وينر حقبةً في هذا المجال، إذ أدخل روابط غير متوقعة مع أساليب جبر باناخ في تحليل فورييه .

يرتبط جمع المتسلسلات المتباعدة أيضًا بطرق الاستقراء وتحويلات المتتابعات كتقنيات عددية. ومن أمثلة هذه التقنيات تقريبات باديه ، وتحويلات المتتابعات من نوع ليفين ، والتحويلات المعتمدة على الرتبة والمرتبطة بتقنيات إعادة التطبيع لنظرية الاضطراب ذات الرتبة الكبيرة في ميكانيكا الكم .

خصائص طرق الجمع

تركز طرق الجمع عادةً على متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة. ورغم أن هذه المتتالية لا تتقارب، إلا أننا قد نجد غالبًا أنه عند حساب متوسط أعداد متزايدة من الحدود الأولية للمتتالية، يتقارب المتوسط، ويمكننا استخدام هذا المتوسط بدلًا من النهاية لتقييم مجموع المتسلسلة. يمكن اعتبار طريقة الجمع دالةً من مجموعة متتاليات المجاميع الجزئية إلى قيم. إذا كانت A أي طريقة جمع تُسند قيمًا لمجموعة من المتتاليات، فيمكننا ترجمة ذلك آليًا إلى طريقة جمع متسلسلة A ^Σ تُسند القيم نفسها للمتسلسلة المقابلة. هناك خصائص معينة يُستحسن أن تمتلكها هذه الطرق للوصول إلى قيم تُقابل النهايات والمجاميع، على التوالي.

الانتظام . تكون طريقة الجمع منتظمة إذا كان، كلما تقاربت المتتالية s إلى x ، فإن A ( s ) = x . وبالمثل، ^فإن طريقة جمع المتسلسلة المقابلة تُقيّم AΣ ( a ) = x .
الخطية . تكون الدالة A خطية إذا كانت دالة خطية على المتتاليات التي تُعرَّف عليها، بحيث يكون A ( kr + s ) = kA ( r ) + A ( s ) للمتتاليتين r و s ، و k عدد حقيقي أو مركب . وبما أن حدود المتسلسلة a _n_+1⁼ s  _n_+1 - s n _ هي دوال خطية على المتتالية s ، والعكس صحيح، فإن هذا يُكافئ كون AΣ دالة خطية على حدود المتسلسلة.
الاستقرار (ويُسمى أيضًا الانتقالية ). إذا كانت s متتالية تبدأ من s₀ _، و s ′ متتالية ناتجة عن حذف القيمة الأولى وطرحها من باقي المتتاليات، بحيث _s′ₙ= sₙ₊₁ - _s₀، فإن A ₍ s ) تكون مُعرَّفة إذا وفقط إذا _كانت A ( s ′ ₎ مُعرَّفة، و _A ( s ) = s₀ + A ( s ′ ) . وبصورة مكافئة ، عندما يكون a′ₙ = aₙ₊₁ لجميع قيم n ، فإن AΣ ( a ) = a₀ ₊AΣ ( a ^′ ) . ^[¹^]^[²^] وبعبارة أخرى، يجب أن ^تكون_قاعدة_{الإزاحة} صالحة للمتسلسلات التي يمكن جمعها بهذه الطريقة.

الشرط الثالث أقل أهمية، وبعض الطرق المهمة، مثل جمع بوريل ، لا تمتلكه. ^{[ 3 ]}

يمكن أيضاً تقديم بديل أضعف للشرط الأخير.

قابلية إعادة الفهرسة المحدودة . إذا كانت a و a ′ سلسلتين بحيث يوجد تقابل بينهما $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ بحيث يكون _aᵢ = a′f ( _i₎_لجميع قيم i ، _وإذا وُجد بعض $N\in \mathbb {N}$ بحيث يكون _aᵢ = a′ᵢ لكل i > N ، فإن AΣ ( a ₎ = AΣ ( a ′). (بمعنى آخر، ^a^′ هي نفس متسلسلة a ، مع إعادة فهرسة عدد محدود فقط من الحدود). هذا شرط أضعف من الاستقرار ، لأن أي طريقة جمع تُظهر الاستقرار تُظهر أيضًا إمكانية إعادة فهرسة محدودة ، ولكن العكس غير صحيح.

من الخصائص المرغوبة التي يجب أن تشترك فيها طريقتان مختلفتان للجمع، A و B، هي الاتساق : تكون A و B متسقتين إذا كان لكل متتالية s تُسند إليها كلتاهما قيمة، A ( s ) = B ( s ). (باستخدام هذه اللغة، تكون طريقة الجمع A منتظمة إذا وفقط إذا كانت متسقة مع المجموع القياسي Σ ). إذا كانت الطريقتان متسقتين، وكانت إحداهما تجمع عددًا أكبر من المتسلسلات مقارنةً بالأخرى، فإن الطريقة التي تجمع عددًا أكبر من المتسلسلات تكون أقوى .

توجد طرق جمع عددية قوية ليست منتظمة ولا خطية، على سبيل المثال تحويلات التسلسل غير الخطية مثل تحويلات التسلسل من نوع ليفين وتقريبات باديه ، بالإضافة إلى عمليات الربط المعتمدة على الترتيب للسلاسل الاضطرابية القائمة على تقنيات إعادة التطبيع .

باعتبار الانتظام والخطية والاستقرار بديهيات، يُمكن جمع العديد من المتسلسلات المتباعدة من خلال عمليات جبرية بسيطة. وهذا يُفسر جزئياً سبب إعطاء العديد من طرق الجمع المختلفة نفس النتيجة لبعض المتسلسلات.

على سبيل المثال، عندما يكون r ≠ 1، فإن المتسلسلة الهندسية

{\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}

يمكن تقييمها بغض النظر عن التقارب. وبشكل أدق، فإن أي طريقة جمع تمتلك هذه الخصائص وتُسند قيمة محدودة للمتسلسلة الهندسية، يجب أن تُسند هذه القيمة. مع ذلك، عندما يكون r عددًا حقيقيًا أكبر من 1، فإن المجاميع الجزئية تزداد بلا حدود، وتُسند طرق حساب المتوسطات حدًا لانهائيًا.

طرق الجمع الكلاسيكية

تُعرّف طريقتان كلاسيكيتان لجمع المتسلسلات، وهما التقارب العادي والتقارب المطلق ، المجموعَ على أنه نهاية لبعض المجاميع الجزئية. وقد أُدرجتا هنا من باب الإكمال فقط؛ إذ إنهما، بالمعنى الدقيق، ليستا طريقتين حقيقيتين لجمع المتسلسلات المتباعدة، لأن المتسلسلة، بحسب التعريف، تكون متباعدة فقط إذا لم تنجح هاتان الطريقتان. وتُوسّع معظم طرق جمع المتسلسلات المتباعدة، وليس جميعها، نطاق هذه الطرق ليشمل فئة أوسع من المتتابعات.

مجموع متسلسلة

يُعرّف تعريف كوشي الكلاسيكي لمجموع المتسلسلة a₀ ₊a₁ ₊ ... المجموع بأنه نهاية متتالية المجاميع الجزئية a₀ ₊ ... + aₙ _. وهذا هو التعريف الافتراضي لتقارب المتسلسلة.

التقارب المطلق

_{يُعرّف التقارب المطلق مجموع متتالية (أو مجموعة) من} الأعداد بأنه نهاية محصلة جميع المجاميع الجزئية aₖ₁ _₊ ... + aₖₙ _{_،}_{إن وُجدت. ولا يعتمد هذا التقارب} على ترتيب عناصر المتتالية، وتنص نظرية كلاسيكية على أن المتتالية تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا إذا وفقط إذا كانت متتالية القيم المطلقة متقاربة بالمعنى المتعارف عليه.

نورلوند تعني

لنفترض أن p _n متتالية من الحدود الموجبة، تبدأ من p _0 . ولنفترض أيضًا أن

{\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.

إذا قمنا الآن بتحويل متتالية s باستخدام p لإعطاء المتوسطات المرجحة، مع وضع

t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}

ثم فإن نهاية t _n عندما n تذهب إلى اللانهاية هي متوسط يسمى متوسط نورلوند N _p ( s ).

متوسط نورلوند منتظم وخطي ومستقر. علاوة على ذلك، فإن أي متوسطين من متوسطات نورلوند متسقان.

ملخص سيزارو

أهم متوسطات نورلوند هي مجاميع سيزارو. هنا، إذا عرفنا المتتالية p ^k بواسطة

p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}

يُعرَّف مجموع سيزارو C  _{k بالعلاقة}C _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s ). مجاميع سيزارو هي مجاميع نورلوند إذا كان k ≥ 0 ، وبالتالي فهي منتظمة، خطية، مستقرة، ومتسقة. C _0 هو مجموع عادي، و C _{1 هو}مجموع سيزارو عادي . تتميز مجاميع سيزارو بخاصية أنه إذا كان h > k ، فإن C _h أقوى من C _k .

أبيليان تعني

لنفترض أن λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } متتالية متزايدة تمامًا تتجه نحو اللانهاية، وأن λ ₀ ≥ 0 .

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}

يتقارب لجميع الأعداد الحقيقية x > 0. عندئذٍ يُعرَّف المتوسط الأبلي A _{λ على النحو التالي:}

A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).

وبشكل عام، إذا كانت متسلسلة f تتقارب فقط لقيم x الكبيرة ولكن يمكن الاستمرار تحليليًا إلى جميع قيم x الحقيقية الموجبة ، فإنه لا يزال بإمكان المرء تعريف مجموع المتسلسلة المتباعدة بالنهاية المذكورة أعلاه.

تُعرف سلسلة من هذا النوع باسم سلسلة ديريشلي المعممة ؛ وفي تطبيقات الفيزياء، تُعرف هذه الطريقة باسم طريقة تنظيم النواة الحرارية .

المتوسطات الأبيلية منتظمة وخطية، لكنها غير مستقرة وليست متسقة دائمًا بين الخيارات المختلفة لـ λ . ومع ذلك، فإن بعض الحالات الخاصة تُعدّ طرقًا مهمة جدًا للجمع.

ملخص أبيل

إذا كان λ _n = n ، فإننا نحصل على طريقة جمع أبيل . هنا

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},

حيث z = exp(− x ). عندئذٍ، تكون نهاية f ( x ) عندما تقترب x من 0 عبر الأعداد الحقيقية الموجبة هي نهاية متسلسلة القوى لـ f ( z ) عندما تقترب z من 1 من الأسفل عبر الأعداد الحقيقية الموجبة، ويُعرَّف مجموع أبيل A ( s ) على النحو التالي:

A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.

يُعدّ مجموع أبيل مثيرًا للاهتمام جزئيًا لأنه متسق مع مجموع سيزارو، ولكنه أقوى منه : A ( s ) = Ck ( s ) عندما يكون الأخير مُعرّفًا. ولذلك، فإن مجموع أبيل منتظم، وخطي، ومستقر، ومتسق مع مجموع سيزارو _.

ملخص لينديلوف

إذا كان λ _n = n log( n ) ، فعندئذٍ (بالترقيم من واحد) لدينا

f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .

إذن ، L ( s )، مجموع ليندلوف ، ^{[ 4 ]} هو نهاية f ( x ) عندما تؤول x إلى الصفر الموجب. يُعد مجموع ليندلوف طريقة فعّالة عند تطبيقه على متسلسلات القوى، من بين تطبيقات أخرى، لجمع متسلسلات القوى في نجمة ميتاغ-ليفلر .

إذا كانت الدالة g ( z ) تحليلية في قرص حول الصفر، وبالتالي لها متسلسلة ماكلورين G ( z ) ذات نصف قطر تقارب موجب، فإن L ( G ( z )) = g ( z ) في نجمة ميتاغ-ليفلر. علاوة على ذلك، يكون التقارب إلى g ( z ) منتظمًا على المجموعات الجزئية المدمجة من النجمة.

متابعة تحليلية

تتضمن العديد من طرق الجمع أخذ قيمة الاستمرار التحليلي لدالة ما.

الاستمرار التحليلي لسلسلة القوى

إذا كانت المتسلسلة Σ a _n x ⁿ متقاربة لقيم x المركبة الصغيرة ، ويمكن تمديدها تحليليًا على طول مسار ما من x = 0 إلى النقطة x = 1، فإن مجموع المتسلسلة يُعرَّف بأنه القيمة عند x = 1. قد تعتمد هذه القيمة على اختيار المسار. أحد الأمثلة الأولى على المجاميع المختلفة المحتملة لمتسلسلة متباعدة، باستخدام التمديد التحليلي، قدمه كاليه ^{[ 5 ]،} الذي لاحظ أنه إذا $1\leq m<n$ ثم

${\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots +x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots$

التقييم في $x=1$ ، يحصل المرء

$1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.$

لكن الفجوات في السلسلة هي المفتاح. $m=1,n=3$ على سبيل المثال، سنحصل بالفعل على

$1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}$ لذا فإن المجاميع المختلفة تتوافق مع مواضع مختلفة لـ $0$ 's.

ومن الأمثلة الأخرى على الاستمرار التحليلي المتسلسلة المتناوبة المتباعدة $\sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots$ وهو مجموع على نواتج $\Gamma$ الدوال ورموز بوخامر . باستخدام صيغة التكرار الخاصة بـ $\Gamma$ -دالة، فإنها تختزل إلى متسلسلة فوق هندسية معممة $\ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.$

مجموع أويلر

يُعدّ مجموع أويلر شكلاً صريحاً من أشكال الاستمرار التحليلي. إذا تقاربت متسلسلة قوى لقيم z العقدية الصغيرة ، وكان بالإمكان استمرارها تحليلياً إلى القرص المفتوح بقطر يتراوح من -1 / q + 1 إلى 1 ، وكانت متصلة عند 1، فإن قيمتها عند q تُسمى مجموع أويلر أو مجموع (E, q ) للمتسلسلة Σ an _. وقد استخدم أويلر هذا المجموع قبل تعريف الاستمرار التحليلي بشكل عام، وقدّم صيغاً صريحة لمتسلسلة قوى الاستمرار التحليلي.

يمكن تكرار عملية جمع أويلر عدة مرات، وهذا يعادل بشكل أساسي أخذ استمرار تحليلي لسلسلة قوى إلى النقطة z = 1.

استمرار تحليلي لسلسلة ديريشليه

تُعرّف هذه الطريقة مجموع متسلسلة ما بأنه قيمة الاستمرار التحليلي لمتسلسلة ديريشليه

f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots

عند s = 0، إذا كان هذا موجودًا وفريدًا. يُخلط أحيانًا بين هذه الطريقة وتنظيم دالة زيتا.

إذا كانت s = 0 نقطة تفرد معزولة، فإن المجموع يتم تحديده بواسطة الحد الثابت لتوسيع سلسلة لوران .

تنظيم دالة زيتا

إذا كانت السلسلة

f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots

(للقيم الموجبة لـ a  _n ) تتقارب عند قيم s الحقيقية الكبيرة ، ويمكن تمديدها تحليليًا على طول خط الأعداد الحقيقية حتى s = -1، وعندها تُسمى قيمتها عند s = -1 مجموع متسلسلة a _1 + a _2 + ... المُنتظمة بدالة زيتا. تنظيم دالة زيتا غير خطي. في التطبيقات، تكون الأعداد a _i أحيانًا هي القيم الذاتية لمؤثر ذاتي الترافق A ذي مُحلِّل مضغوط، ويكون f ( s ) حينها أثر A ^-^s . على سبيل المثال، إذا كانت A لها القيم الذاتية 1، 2، 3، ... فإن f ( s ) هي دالة زيتا لريمان ، ζ ( s )، التي قيمتها عند s = -1 هي -1/12 ، مما يُعطي قيمة للمتسلسلة المتباعدة 1 + 2 + 3 + 4 + ... يمكن أيضًا استخدام قيم أخرى لـ s لتعيين قيم للمجاميع المتباعدة ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2، و ζ ( −2 ) = 1 + 4 + 9 + ... = 0، وبشكل عام

\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,

حيث B _k هو عدد برنولي و $B_{1}=+{\frac {1}{2}}$ [ ⁶^]

الدالة التكاملية تعني

إذا كانت J ( x ) = Σ pⁿ _xⁿ دالة تكاملية، فإن مجموع المتسلسلة a₀ ₊^... يُعرَّف على النحو التالي :

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},

إذا كان هذا الحد موجودًا.

يوجد شكل مختلف لهذه الطريقة حيث يكون للمتسلسلة J نصف قطر تقارب محدود r وتتباعد عند x = r . في هذه الحالة، يُعرَّف المجموع كما سبق، باستثناء أخذ النهاية عندما تؤول x إلى r بدلاً من اللانهاية.

مجموع بوريل

في الحالة الخاصة عندما J ( x ) = e ^x هذا يعطي شكلاً (ضعيفاً) من جمع بوريل .

طريقة فاليرون

تُعدّ طريقة فاليرون تعميمًا لمجموع بوريل ليشمل دوالًا تكاملية أكثر عمومية J. وقد بيّن فاليرون أنه في ظل شروط معينة، فإنها تُكافئ تعريف مجموع متسلسلة على النحو التالي:

\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})

حيث H هي المشتقة الثانية لـ G و c ( n ) = e ⁻^G⁽ⁿ⁾ ، و a ₀ + ... + a _h يجب تفسيرها على أنها 0 عندما h < 0.

طرق العزوم

لنفترض أن dμ هو مقياس على خط الأعداد الحقيقية بحيث تكون جميع العزوم

\mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu

هي متسلسلة محدودة. إذا كانت _a₀ + a₁ ₊ ... متسلسلة بحيث

a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots

إذا تقاربت المتسلسلة لجميع قيم x في مجال μ ، فإن مجموع ( dμ ) المتسلسلة يُعرَّف بأنه قيمة التكامل

\int a(x)\,d\mu

إذا تم تعريفها. (إذا زادت الأعداد μ _n بسرعة كبيرة، فإنها لا تحدد القياس μ بشكل فريد .)

مجموع بوريل

على سبيل المثال، إذا كان dμ = e ⁻^x dx لقيم x الموجبة و 0 لقيم x السالبة، فإن μ _n = n !، وهذا يعطينا أحد أشكال مجموع بوريل ، حيث تُعطى قيمة المجموع بواسطة

\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.

يوجد تعميم لهذا يعتمد على متغير α ، يُسمى مجموع (B′, α )، حيث يُعرَّف مجموع متسلسلة a ₀ + ... على أنه

\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt

إذا كان هذا التكامل موجودًا. ويتمثل تعميم آخر في استبدال المجموع تحت التكامل بامتداده التحليلي من قيم t الصغيرة .

أساليب متنوعة

تجميع BGN الواقعي الفائق

تعتمد طريقة الجمع هذه على استخدام امتداد للأعداد الحقيقية يُعرف بالأعداد الفائقة الحقيقية . ولأن الأعداد الفائقة الحقيقية تتضمن قيمًا لانهائية مميزة، يمكن استخدامها لتمثيل قيم المتسلسلات المتباعدة. وتتمثل الطريقة الأساسية في تحديد قيمة لانهائية معينة يتم جمعها، وعادةً ما تكون $\omega$ ، والتي تُستخدم كوحدة لقياس اللانهاية. بدلاً من الجمع إلى قيمة لانهائية عشوائية (كما هو معتاد مع $\infty$ ، وتجمع طريقة BGN إلى قيمة لانهائية فائقة الواقعية محددة تحمل اسم $\omega$ لذلك، تكون المجاميع على الشكل التالي:

\sum _{x=1}^{\omega }f(x)

يُتيح ذلك استخدام الصيغ القياسية للمتسلسلات المنتهية، مثل المتتابعات الحسابية، في سياق غير منتهٍ. على سبيل المثال، باستخدام هذه الطريقة، يكون مجموع المتتابعة $1+2+3+\ldots$ يكون ${\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}$ أو، باستخدام الجزء الأكثر أهمية من الجزء اللانهائي الواقعي الفائق فقط، ${\frac {\omega ^{2}}{2}}$ [ ⁷^]

تحويلات هاوسدورف

هاردي (1949 ، الفصل 11) .

ملخص هولدر

طريقة هاتون

في عام 1812، قدم هاتون طريقة لجمع المتسلسلات المتباعدة بالبدء بمتتالية المجاميع الجزئية، وتطبيق عملية استبدال المتتالية s ₀ ، s ₁ ، ^... بشكل متكرر بمتتالية المتوسطات s ₀ + s ₁ / 2 ، s 1 + s ₂ / ₂ ، ... ، ثم أخذ النهاية ^.^[ 8 ]

قابلية جمع إنجام

تُسمى المتسلسلة a ₁ + ... متسلسلة إنجام القابلة للجمع إلى s إذا

\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.

أثبت ألبرت إنجام أنه إذا كان δ أي عدد موجب، فإن قابلية الجمع (C,− δ ) (سيزارو) تستلزم قابلية الجمع إنجام، وقابلية الجمع إنجام تستلزم قابلية الجمع (C, δ ). ^{[ 9 ]}

قابلية جمع لامبرت

تُسمى المتسلسلة a ₁ + ... قابلة للجمع وفقًا لمعيار لامبرت إلى s إذا

\lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.

إذا كانت المتسلسلة قابلة للجمع وفقًا لـ (C, k ) (Cesàro) لأي قيمة لـ k، فإنها قابلة للجمع وفقًا لـ Lambert إلى نفس القيمة، وإذا كانت المتسلسلة قابلة للجمع وفقًا لـ Lambert، فإنها قابلة للجمع وفقًا لـ Abel إلى نفس القيمة. ^{[ 9 ]}

ملخص لو روي

تُسمى المتسلسلة a ₀ + ... قابلة للجمع إلى s وفقًا لـ Le Roy إذا كان ^[¹⁰^]

\lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.

ملخص ميتاج-ليفلر

تُسمى المتسلسلة a ₀ + ... قابلة للجمع إلى s وفقًا لـ Mittag-Leffler (M) إذا ^[¹⁰^]

\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.

ملخص رامانوجان

مجموع رامانوجان هو طريقة لتحديد قيمة المتسلسلات المتباعدة، استخدمها رامانوجان، وهي مبنية على صيغة مجموع أويلر-ماكلورين . يعتمد مجموع رامانوجان للمتسلسلة f (0) + f (1) + ... ليس فقط على قيم f عند الأعداد الصحيحة، بل أيضًا على قيم الدالة f عند النقاط غير الصحيحة، لذا فهو ليس طريقة جمع بالمعنى المقصود في هذه المقالة.

قابلية جمع ريمان

تُسمى المتسلسلة a ₁ + ... قابلة للجمع (R, k ) (أو ريمان) إلى s إذا ^[¹¹^]

\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.

تُسمى المتسلسلة a ₁ + ... قابلة للجمع إلى s في R ₂ إذا

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.

ريز تعني

إذا شكلت λ _n متتالية متزايدة من الأعداد الحقيقية و

A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}

ثم يُعرَّف مجموع ريز (R، λ ، κ ) للمتسلسلة a ₀ + ... على النحو التالي:

\lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.

قابلية جمع فالي بوسان

تُسمى المتسلسلة a ₁ + ... متسلسلة VP (أو فالي بوسان) قابلة للجمع إلى s إذا

\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,

أين $\Gamma (x)$ هي دالة غاما. ^{[ 11 ]}

قابلية جمع زيلدوفيتش

تكون المتسلسلة قابلة للجمع وفقًا لزيلدوفيتش إذا

\lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ "طرق الجمع" . كتاب ميشون في علم الأعداد الأمريكية .
↑ "الترجمة" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر.
↑ موراييف، إي بي (1978)، "مجموع بوريل للمتسلسلات المتعددة من الرتبة n ، والدوال الكاملة المرتبطة بها"، أكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي ، 19 (6): 1332-1340 ، 1438، MR 0515185 يلاحظ موراييف أن جمع بوريل قابل للتحويل في أحد الاتجاهين: فإضافة صفر في بداية متسلسلة لا يغير من قابلية جمعها أو قيمتها. ومع ذلك، يقول إن "العكس غير صحيح".
↑ فولكوف 2001 .
↑ هاردي 1949 ، ص 14.
↑ تاو، تيرينس (10 أبريل 2010). "صيغة أويلر-ماكلورين، أعداد برنولي، دالة زيتا، والاستمرار التحليلي للمتغيرات الحقيقية" .
^ بارتليت، جوناثان. جاسترا، لوغان؛ نعمتي ، ديفيد (يناير 2020). “أرقام Hyperreal لسلسلة متباينة لا حصر لها”. اتصالات معهد بليث . 2 (1): 7– 15. أرخايف : 1804.11342 . دوى : 10.33014/issn.2640-5652.2.1.bartlett-et-al.1 . S2CID 119665957 .
↑ هاردي 1949 ، ص 21.
1 2 هاردي 1949 ، الملحق الثاني.
1 2 هاردي 1949 ، 4.11.
1 2 هاردي 1949 ، 4.17.

مراجع

أرتيكا، جي إيه؛ فرنانديز، إف إم؛ كاسترو، إي إيه (1990)، نظرية الاضطراب ذات الرتبة الكبيرة وطرق الجمع في ميكانيكا الكم ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ.
بيكر الابن، جي إيه؛ غريفز-موريس، بي. (1996)، تقريبات باديه ، مطبعة جامعة كامبريدج.
بريزينسكي، سي.؛ ريديفو زاجليا، م. (1991)، أساليب الاستقراء: النظرية والتطبيق ، نورث هولاند.
هاردي، جي إتش (1949)، سلسلة متباينة ، أكسفورد: مطبعة كلارندون.
ليغيو، جيه.-سي.؛ زين-جاستن، جيه. (1990)، سلوك نظرية الاضطراب من الرتبة الكبيرة ، أمستردام: نورث هولاند.
فولكوف، الثاني (2001) [1994]، "طريقة ليندلوف للجمع" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
زاخاروف، أ.أ. (2001) [1994]، "طريقة جمع أبيل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
"طريقة جمع ريز" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
فيرنر بالسر: "من متسلسلات القوى المتباعدة إلى الدوال التحليلية"، سبرينغر-فيرلاغ، LNM 1582، ISBN 0-387-58268-1 (1994).
William O. Bray and Časlav V. Stanojevi(Eds.): “تحليل الاختلاف”، سبرينغر، ISBN 978-1-4612-7467-4 (1999).
ألكسندر آي. سايتشيف و ووجبور فويتشينسكي: "التوزيعات في العلوم الفيزيائية والهندسية، المجلد 1"، الفصل 8 "مجموع المتسلسلات والتكاملات المتباعدة"، سبرينغر (2018).

[1] "طرق الجمع" . كتاب ميشون في علم الأعداد الأمريكية .

[2] "الترجمة" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر.

[3] موراييف، إي بي (1978)، "مجموع بوريل للمتسلسلات المتعددة من الرتبة n ، والدوال الكاملة المرتبطة بها"، أكاديمية العلوم في الاتحاد السوفيتي ، 19 (6): 1332-1340 ، 1438، MR 0515185 يلاحظ موراييف أن جمع بوريل قابل للتحويل في أحد الاتجاهين: فإضافة صفر في بداية متسلسلة لا يغير من قابلية جمعها أو قيمتها. ومع ذلك، يقول إن "العكس غير صحيح".

[FOOTNOTEVolkov2001-4] فولكوف 2001 .

[FOOTNOTEHardy194914-5] هاردي 1949 ، ص 14.

[6] تاو، تيرينس (10 أبريل 2010). "صيغة أويلر-ماكلورين، أعداد برنولي، دالة زيتا، والاستمرار التحليلي للمتغيرات الحقيقية" .

[7] بارتليت، جوناثان. جاسترا، لوغان؛ نعمتي ، ديفيد (يناير 2020). “أرقام Hyperreal لسلسلة متباينة لا حصر لها”. اتصالات معهد بليث . 2 (1): 7– 15. أرخايف : 1804.11342 . دوى : 10.33014/issn.2640-5652.2.1.bartlett-et-al.1 . S2CID 119665957 .

[FOOTNOTEHardy1949p._21-8] هاردي 1949 ، ص 21.

[FOOTNOTEHardy1949Appendix_II-9] 1 2 هاردي 1949 ، الملحق الثاني.

[FOOTNOTEHardy19494.11-10] 1 2 هاردي 1949 ، 4.11.

[FOOTNOTEHardy19494.17-11] 1 2 هاردي 1949 ، 4.17.

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]،

6

7

...

[ 9 ]

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗