Ramanujan–Petersson conjecture

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 74 صور
الموسوعة الحرة

In mathematics, the Ramanujan-Petersson conjecture is a conjecture concerning the growth rate of coefficients of modular forms and more generally, automorphic forms. The name of the conjecture comes from Srinivasa Ramanujan, who proposed it for Ramanujan tau function, and Hans Petersson, who generalized it for coefficients of modular forms.

In the version for modular forms, the conjecture says that for any cusp form of weight k{\displaystyle k} with Fourier coefficientsan{\displaystyle a_{n}} and every ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} thatan=Oϵ(n(k−1)/2+ϵ){\displaystyle a_{n}=O_{\epsilon }{\bigl (}n^{(k-1)/2+\epsilon }{\bigr )}}The generalization for automorphic forms is more sophisticated due to counterexamples found for many of the simplest propositions. Its current form was proposed by Howe and Piatetski-Shapiro, and states that for a globally generic cuspidal automorphic representation of a connected reductive group that admits a Whittaker model, each local component of the representation is tempered.

For modular forms, the conjecture was proven following the extensive work of Erich Hecke, Michio Kuga and Pierre Deligne. Despite many similarities between modular forms and Maass forms, the conjecture's counterpart for Maass forms is still an open problem, as the Deligne method which solves the holomorphic case does not work in the real-analytic case of Maass forms. The generalization of the conjecture for automorphic forms also remains an open problem.

Ramanujan conjecture

Let q=e2πiz{\textstyle q=e^{2\pi iz}}. The discriminant modular form is usually defined byΔ(z)=q∏n>0(1−qn)24=η(z)24,{\displaystyle \Delta (z)=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=\eta (z)^{24},}where η(z){\textstyle \eta (z)} is the Dedekind eta function. Δ(z){\textstyle \Delta (z)} is a holomorphic cusp form of weight 12 and level 1. The Ramanujan tau functionτ(n){\displaystyle \tau (n)} is defined for natural numbers by the Fourier series coefficients of this modular form:Δ(z)=∑n=1∞τ(n)qn=q−24q2+252q3−1472q4+4830q5−⋯.{\displaystyle \Delta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots .}Ramanujan (1916) conjectured the following:

  1. τ{\textstyle \tau } is multiplicative.
  2. τ{\textstyle \tau } is not completely multiplicative, but has the following recursive dependence for prime p{\textstyle p} and j≥2{\textstyle j\geq 2}: τ(pj+1)=τ(p)τ(pj)−p11τ(pj−1){\textstyle \tau (p^{j+1})=\tau (p)\tau (p^{j})-p^{11}\tau (p^{j-1})}
  3. |τ(p)|≤2p11/2{\textstyle \vert \tau (p)\vert \leq 2p^{11/2}} for all primesp{\displaystyle p}.

As noted by Ramanujan, these conjectures imply that |τ(n)|≤d(n)n11/2{\textstyle \vert \tau (n)\vert \leq d(n)n^{11/2}} for all n≥1{\displaystyle n\geq 1}, where d(n){\displaystyle d(n)} is the number-of-divisor function. A classic bound on d(n){\displaystyle d(n)} thus yields

τ(n)=O(n11/2+ϵ).{\displaystyle \tau (n)=O{\bigl (}n^{11/2+\epsilon }{\bigl )}.}

في عام ١٩١٧، أثبت ل. مورديل العلاقتين الأوليين باستخدام تقنيات من التحليل المركب، وتحديدًا باستخدام ما يُعرف الآن بمؤثرات هيك . وقدّم ميتشيو كوجا، بمساهمات من ميكيو ساتو ، وغورو شيمورا ، وياسوتاكا إيهارا ، برهانًا على أن تقدير العمومية الكاملة يتبع من ثلاث تخمينات سابقة، تبعه ديلين (١٩٧١) . أما العبارة الثالثة فقد انبثقت من برهان تخمينات ويل (وبشكل أدق، نظيرتها من فرضية ريمان لدوال زيتا المحلية) الذي قدمه ديلين (١٩٧٤) .

دالة رامانوجان L

استُلهمت فرضية رامانوجان الأصلية من بحثه حول دالة L معينة ، تُعرف اليوم بدالة رامانوجان L. ويمكن تعريفها على أنها متسلسلة ديريشليه لدالة تاو لرامانوجان.ل(s،τ)=∑ن=1∞τ(ن)نs.{\displaystyle L(s,\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}.}تنشأ هذه السلسلة بشكل طبيعي كتحول من ميلين لـΔ(z){\displaystyle \Delta (z)}من التقدير العام لدالة تاو∑ك=1نτ(ك)=يا(ن13/2+ϵ)،{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\tau (k)=O{\bigl (}n^{13/2+\epsilon }{\bigr )},}إذن، تتقارب هذه السلسلة تقاربًا مطلقًا لـيكرر⁡(s)>132{\textstyle \operatorname {Re} (s)>{\frac {13}{2}}}أما في بقية المستوى المركب، فيمكن تعريف دالة رامانوجان L من خلال الاستمرار التحليلي لهذه المتسلسلة. ومثل دوال L الأخرى ، تحقق دالة رامانوجان L معادلة دالية:Γ(s)ل(s،τ)(2π)s=Γ(12-s)ل(12-s،τ)(2π)12-s.{\displaystyle {\frac {\Gamma (s)L(s,\tau )}{(2\pi )^{s}}}={\frac {\Gamma (12-s)L(12-s,\tau )}{(2\pi )^{12-s}}}.}انطلاقاً من خاصية الضرب لدالة تاو، يمكن كتابة متسلسلة L في مجال التقارب على النحو التالي : حاصل ضرب أويلر :ل(s،τ)=∏ص برايم∑ن=0∞τ(صن)صنs.{\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\tau (p^{n})}{p^{ns}}}.}بما أن دالة تاو ليست ضربية تمامًا، فلا يمكن كتابة المجاميع باستخدام المتسلسلات الهندسية كما في حالة دالة زيتا لريمان أو دوال ديريشليه L. ومع ذلك، باستخدام التبعية التكرارية لقوى الأعداد الأولية، يمكن تبسيط هذا المجموع ويمكننا كتابته

ل(s،τ)=∏ص11-τ(ص)ص-s+ص11-2s.{\displaystyle L(s,\tau )=\prod _{p}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}}.}

استخدم رامانوجان الخصائص المذكورة أعلاه بشكل مشروط فقط. وقد تحقق من بعض المعادلات التربيعية المستنتجة من المقامات في صيغة دالة L التي تم الحصول عليها عن طريق التعويض.u=ص-s{\displaystyle u=p^{-s}}: 1+τ(ص)u-ص11u2=0.{\displaystyle 1+\tau (p)up^{11}u^{2}=0.}ولاحظ أنه إذا كانت لهذه المعادلات جذور غير حقيقية أو جذور حقيقية مزدوجة، فإنه من المميز لها يتبين أن Δ=τ(ص)2-4ص11≤0،{\displaystyle \Delta =\tau (p)^{2}-4p^{11}\leq 0,} وبالتالي|τ(ص)|≤2ص112.{\displaystyle \vert \tau (p)\vert \leq 2p^{\frac {11}{2}}.} وبصورة مكافئة، بما أن جميع معاملات المعادلة حقيقية والجذور غير الحقيقية تظهر في أزواج مترافقة، يمكننا القول إن هذا ينطبق إذا كانت جذور هذه المعادلة تقع على نفس الخط المستقيم في المستوى المركب. يكرر⁡(u1)=يكرر⁡(u2).{\displaystyle \operatorname {Re} (u_{1})=\operatorname {Re} (u_{2}).} تتبع هذه الخاصية تمامًا من فرضية ريمان المقابلة لوظائف زيتا المحلية التي عرضها ديلين.

افترض رامانوجان أيضًا، على غرار فرضية ريمان ، أن جميع الأصفار غير التافهة يجب أن تقع على الخط الحرج.يكرر⁡(s)=6{\textstyle \operatorname {Re} (s)=6}ولاحظ أن التخمين يستلزم τ(ن)=يا(ن11/2+ϵ).{\displaystyle \tau (n)=O{\bigl (}n^{11/2+\epsilon }{\bigr )}.}فرضية ريمان لـل(s،τ){\textstyle L(s,\tau )}لا يزال الأمر غير مثبت، ولكن تم إثبات هذا التقدير بشكل قاطع.

تخمين رامانوجان-بيترسون للصيغ النمطية s

لأي شكل معياريو(z){\displaystyle f(z)}وزنك≥2{\displaystyle k\geq 2}فيما يتعلق بمجموعة فرعية حسابيةΓ⊆Sل(2،Z){\displaystyle \Gamma \subseteq SL(2,\mathbb {Z} )}يمكننا كتابتها على شكل متسلسلة فورييه و(z)=∑ن=0∞أنqن،{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},}أينq=هـ2πأناz{\displaystyle q=e^{2\pi iz}}كما كان من قبل.

إذا كان لديناأ0=0{\textstyle a_{0}=0}نقول ذلكو(z){\displaystyle f(z)}هي شكل حدبي . في عام 1937، استخدم إريك هيك مؤثرات هيك لتعميم طريقة برهان مورديل للتخمينين الأولين للأشكال الحدبية الهولومورفية. وقد طُرح تخمين رامانوجان-بيترسون الأكثر عمومية للأشكال الحدبية الهولومورفية لمجموعات التطابق الفرعية في بيترسون (1930) وله صياغة مماثلة:أن=يا(ن(ك-1)/2+ϵ).{\displaystyle a_{n}=O{\bigl (}n^{(k-1)/2+\epsilon }{\bigr )}.}استخدم ديلين (1971) تماثل إيخلر-شيمورا لاختزال هذه الفرضية إلى فرضيات ويل التي أثبتها لاحقًا. وينطبق هذا أيضًا على الحالةك=1{\displaystyle k=1}، حيث أنها نتيجة لـ Deligne & Serre (1974) .

في هذه الحالةك≥3{\displaystyle k\geq 3}قدّم هانز بيترسون مقياسًا على فضاء الأشكال النمطية، يُسمى مقياس بيترسون (انظر أيضًا مقياس ويل-بيترسون ). وبموجب مقياس بيترسون، يُمكن إثبات إمكانية تعريف التعامد على فضاء الأشكال النمطية كما هو الحال على الفضاء الجزئي للأشكال الحدية وفضائه المتعامد؛ علاوة على ذلك، فإن لكليهما أبعادًا محدودة. إضافةً إلى ذلك، يُمكننا حساب بُعد فضاء الأشكال النمطية الهولومورفية باستخدام نظرية ريمان-روخ (انظر أبعاد الأشكال النمطية ).

حتى عام 2025، لا تزال صيغة حدسية رامانوجان-بيترسون لأشكال ماس مفتوحة. طريقة ديلين، التي تُجدي نفعاً في الحالة التحليلية التحليلية، لا تُجدي نفعاً في الحالة التحليلية الحقيقية.

دوال L للأشكال النمطية

بالنظر إلى شكل معياري و(z)=∑ن=0∞أنqن{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}يمكن للمرء تكوين متسلسلة ديريشليهφ(s)=∑ن=1∞أننs.{\displaystyle \varphi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}هذه المراسلات بينو{\displaystyle f}وφ{\displaystyle \varphi }علاقة واحد لواحد.R(s)=(2π)-sΓ(s)φ(s)،{\displaystyle R(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)\varphi (s),}وز(x)=و(أناx)-أ0ل x>0.{\displaystyle g(x)=f(ix)-a_{0}\quad {\text{for }}x>0.}R(s){\displaystyle R(s)}يرتبط بـز(x){\displaystyle g(x)}عبر تحويل ميلين : R(s)=∫0∞ز(x)xs-1دx.{\displaystyle R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}\,dx.}بتطبيق تحويل ميلين العكسي نحصل على ز(x)=12πأنا∫يكرر⁡(s)=σ0R(s)x-sدs.{\displaystyle g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}}R(s)x^{-s}\,ds.}لأنأن=يا(نك-1+ϵ){\displaystyle a_{n}=O{\bigl (}n^{k-1+\epsilon }{\bigr )}}،φ(s){\displaystyle \varphi (s)}يتقارب بشكل مطلق لـيكرر⁡(s)>ك{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>k}في عام 1929، أثبت ويلتون أن متسلسلة ديريشليه هذه لها امتداد تحليلي وقطب بسيط واحد على الأكثر عندs=ك{\displaystyle s=k}(للأشكال غير المدببة) مع بقايا

أ0=(-1)ك2Rهـss=ك⁡R(s)=(-1)ك2(2π)ك(ك-1)!Rهـss=ك⁡φ(s).{\displaystyle a_{0}=(-1)^{\frac {k}{2}}\mathop {\rm {Res}} _{s=k}R(s)=(-1)^{\frac {k}{2}}{\frac {(2\pi )^{k}}{(k-1)!}}\mathop {\rm {Res}} _{s=k}\varphi (s).}

باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، يتضح أنR{\displaystyle R}يحقق المعادلة الوظيفية

R(s-ك)=(-1)ك2R(s).{\displaystyle R(s-k)=(-1)^{\frac {k}{2}}R(s).}

يربط تحويل ميلين متسلسلات ديريشليه التي تحقق المعادلة الوظيفية المذكورة أعلاه بالأشكال الذاتية لمجموعة فرعية منفصلة منSل(2،Z){\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}من صيغة الباقي، نرى أنه بالنسبة للأشكال الحدية تحديدًا، فإن هذه المتسلسلة لها امتداد تحليلي إلى دالة كاملة. وهذا يُظهر أن حدسية رامانوجان-بيترسون تفشل بالنسبة للأشكال غير الحدية، لأن كل متسلسلة ديريشليه ذات المعاملات التي تحققها تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا.يكرر>ك+12{\textstyle \operatorname {Re} >{\frac {k+1}{2}}}وإذاك>1{\displaystyle k>1}لا يمكن أن يكون هناك عمود فيs=ك{\displaystyle s=k}.

انطلاقًا من خاصية الضرب للمعاملات، يتبين وجود جداء أويلر لهذه الدالة L. ومن الخاصية التكرارية، يمكن إعادة كتابة مجاميع قوى الأعداد الأولية على شكل مقلوب كثيرات حدود منص-s{\displaystyle p^{-s}}يتبع.

تخمين رامانوجان-بيترسون للأشكال الذاتية

أعاد ساتيك (1966) صياغة حدسية رامانوجان-بيترسون بدلالة التمثيلات الذاتية لـ GL(2) بحيث تنص على أن المكونات المحلية للتمثيلات الذاتية تقع في السلسلة الرئيسية، واقترح هذا الشرط كتعميم لحدسية رامانوجان-بيترسون على الأشكال الذاتية في مجموعات أخرى. وبعبارة أخرى، ينبغي تعديل المكونات المحلية لأشكال الحدبة.

مع ذلك، وجد العديد من المؤلفين أمثلة مضادة للمجموعات غير المتناحية حيث لم يكن المكون عند اللانهاية معتدلاً. وقد أظهر كل من كوروكاوا (1978) وهاو وبياتيتسكي -شابيرو (1979) أن الفرضية خاطئة أيضاً حتى بالنسبة لبعض المجموعات شبه المنقسمة والمنقسمة، وذلك من خلال بناء أشكال ذاتية الشكل للمجموعة الوحدوية U(2, 1) والمجموعة التبسيطية Sp(4) غير معتدلة في كل مكان تقريباً، والمرتبطة بالتمثيل θ 10 .

بعد العثور على الأمثلة المضادة، اقترح هاو وبياتيتسكي -شابيرو (1979) أن إعادة صياغة الفرضية لا تزال قائمة. وتتعلق الصياغة الحالية بتمثيل ذاتي الشكل ذي قمة حادة عام عالمي لمجموعة اختزالية متصلة ، حيث يعني الافتراض العام أن التمثيل يقبل نموذج ويتاكر . وينص هذا الافتراض على أن كل مكون محلي من هذا التمثيل يجب أن يكون مُعدَّلاً.

من الملاحظات التي توصل إليها لانجلاندز أن إثبات خاصية الدوال للقوى المتناظرة للتمثيلات الذاتية لـ GL( n ) سيقدم برهانًا على هذه الصيغة من حدسية رامانوجان-بيترسون. بالنسبة للمجموعات المختزلة الأخرى غير GL( n ) ، فإن حدسية رامانوجان المعممة ستُستنتج من مبدأ خاصية الدوال في لانجلاندز .

تخمين رامانوجان-بيترسون حول حقول الدوال العالمية

يُفضي برهان درينفيلد على تناظر لانجلاندز العالمي لـ GL(2) على حقل دوال عالمي إلى برهان حدسية رامانوجان-بيترسون. وقد نجح لافورج (2002) في توسيع تقنية شتوكا لدرينفيلد لتشمل حالة GL( n ) في خاصية موجبة. وباستخدام تقنية مختلفة تُوسّع طريقة لانجلاندز-شاهيدي لتشمل حقول الدوال العالمية، يُثبت لوميلي (2009) حدسية رامانوجان للمجموعات الكلاسيكية .

حدود باتجاه رامانوجان على حقول الأعداد

لفهم حدود رامانوجان لـ GL( n ) ، ضع في اعتبارك تمثيلًا ذاتيًا أحاديًا مدببًا :

π=⨂πv.{\displaystyle \pi =\bigotimes \pi _{v}.}

يمكن استخدام تصنيف لانجلاندز للأماكن الأرخميدية . ويخبرنا تصنيف برنشتاين-زيلفينسكي أنه يمكن الحصول على كل مكان p-adic π v عن طريق الاستقراء المكافئ الوحدوي من تمثيل:

τ1،v⊗⋯⊗τد،v.{\displaystyle \tau _{1,v}\otimes \cdots \otimes \tau _{d,v}.}

هنا كلτأنا،v{\displaystyle \tau _{i,v}}يمثل تمثيلاً لـ GL( ni ) على المكان v ، بالشكل التالي :

τأنا0،v⊗|المحقق|vσأنا،v{\displaystyle \tau _{i_{0},v}\otimes \left|\det \right|_{v}^{\sigma _{i,v}}}

معτأنا0،v{\displaystyle \tau _{i_{0},v}}معتدل. إذا كان n ≥ 2 ، فإن حد رامانوجان هو عدد δ ≥ 0 بحيث

الأعلىأنا|σأنا،v|≤دلتا.{\displaystyle \max _{i}\left|\sigma _{i,v}\right|\leq \delta .}

استحوذ الحصول على أفضل حدود ممكنة لتخمين رامانوجان المعمم في حالة حقول الأعداد على اهتمام العديد من علماء الرياضيات. ويُعتبر كل تحسين يُحرز في هذا الصدد علامة فارقة في عالم نظرية الأعداد الحديثة. ويُكافئ تخمين رامانوجان-بيترسون المعمم الحد التالي:

دلتا=0{\displaystyle \delta =0}

حصل جاكيه، بياتيتسكي-شابيرو وشاليكا (1983) على الحد الأول التالي:

دلتا=12{\displaystyle \delta ={\frac {1}{2}}}

بالنسبة للمجموعة الخطية العامة GL( n ) ، والمعروفة بالحد التافه. وقد حقق لو، ورودنيك ، وسارناك (1999) إنجازًا هامًا ، وهم الذين يمتلكون حاليًا أفضل حد عام وهو:

دلتا=12-1ن2+1{\displaystyle \delta ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n^{2}+1}}}

لأي قيمة n وأي حقل عددي .

في حالة خاصة من GL(2) ، فإن أفضل حد مُثبت هو δ = 7/64 . كانت النتيجة الأصلية لكيم وسارناك في كيم (2002) خاصة بحقل الأعداد الذي يتكون من أعداد نسبية ، وقد تم التوصل إليها كنتيجة لنتيجة الدوال على التناظر الرابع التي تم الحصول عليها باستخدام طريقة لانجلاندز-شاهيدي . ويمكن تعميم نتيجة كيم-سارناك لتشمل أي حقل أعداد باستخدام نتائج بلومر وبروملي (2011) .

ومن الأمثلة المهمة المجموعات الكلاسيكية ، حيث تم الحصول على أفضل الحدود الممكنة بواسطة Cogdell et al. (2004) كنتيجة لرفع دالة لانجلاندز الخاصة بهم .

عواقب

من تطبيقات حدسية رامانوجان البناء الصريح لمخططات رامانوجان بواسطة لوبوتزكي وفيليبس وسارناك . في الواقع، اشتُق اسم "مخطط رامانوجان" من هذا الربط .

ومن النتائج الأخرى لتخمين رامانوجان-بيترسون للمجموعة الخطية العامة GL( n ) تخمين سيلبرغ 1/4 حول القيم الذاتية لمؤثر لابلاس لبعض المجموعات المنفصلة.

مراجع