دالة L

هذا التعريف مجرد وغير مكتمل، إذ لا يحدد الكائنات الحسابية التي يُسند إليها دوال L، ولا الآلية الدقيقة لهذا الإسناد. مع ذلك، فهو يتضمن خصائص متوقعة عمومًا من دوال L.

تم توسيع التعريف وبدأ بتحديد 6 تعريفات تمهيدية، على النحو التالي:

الشروط الواجب استيفاؤها

الأشياء المذكورة أعلاه، المرتبطة بالشيء الحسابي${\displaystyle \textstyle f}$يجب الآن استيفاء الشروط التالية حتى${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$يفي بتعريف دالة L وفقًا لإيوانيك وكوالسكي:

الشروط الواجب توافرها للكائن الحسابي${\displaystyle f}$

فِهرِس	حالة	وصف
1	القيمة المطلقة للمعاملات المحلية لـ${\displaystyle \textstyle p}$	لكل عدد أولي${\displaystyle \textstyle p}$وكل${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$لدينا${\displaystyle \textstyle |\alpha _{i}(f,p)|<p}$.
2	قيم المعاملات المحلية للأنظمة غير المتفرعة${\displaystyle \textstyle p}$	لجميع الأعداد الأولية${\displaystyle \textstyle p}$التي لا تتفرع فيما يتعلق بـ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ولجميع${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$لدينا${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\neq 0}$.
3	متطلبات المعاملات المحلية عند اللانهاية	المعايير${\displaystyle \textstyle \kappa _{j}}$تكون إما حقيقية أو تظهر في شكل أزواج مترافقة معقدة في عامل جاما${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$. بالإضافة إلى،${\displaystyle \textstyle \Re (\kappa _{j})>-1}$لكل${\displaystyle \textstyle j\in \{1,\ldots ,d\}}$يضمن هذا الشرط الأخير أن${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$لا يحتوي على أصفار في${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$ولا أعمدة مع${\displaystyle \textstyle \Re (s)\geq 1}$.${\displaystyle \textstyle \Re }$يشير إلى الجزء الحقيقي من العدد المركب.
4	التقارب المطلق لمتسلسلة ديريشليه وحاصل ضرب أويلر	ترتبط كل من متسلسلة ديريشليه ومنتج أويلر بـ${\displaystyle \textstyle f}$يجب أن تتقارب بشكل مطلق من أجل${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$.
5	التوافق بين دالة L، ومتسلسلة ديريشليه، وجداء أويلر في نصف مستوى مركب	الدالة L، ومتسلسلة ديريشليه، وحاصل ضرب أويلر المرتبط بـ${\displaystyle \textstyle f}$يجب أن تتطابق في نصف المستوى المركب${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$: ${\displaystyle L(f,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \cdots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}.}$
6	الاستمرارية التحليلية ونقاط القطب	ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \textstyle f}$يجب أن يثبت أن متسلسلة ديريشليه هي متسلسلة تامة الشكل في نصف المستوى${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ومع ذلك، يجب أن يكون هذا قابلاً للتمديد التحليلي أيضًا إلى دالة ميرومورفية من الرتبة 1 على كامل${\displaystyle \mathbb {C} }$والتي تحتوي على أقطاب في أقصى حد${\displaystyle \textstyle s=0}$و${\displaystyle \textstyle s=1}$.
7	القيمة المطلقة للعدد الجذري	العدد الجذري${\displaystyle \textstyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$لها القيمة المطلقة 1. وبالتالي،${\displaystyle \textstyle |\epsilon (f)|}$يجب أن يساوي 1.
8	متطلبات الكائنات المرتبطة بالثنائي لـ${\displaystyle \textstyle f}$	فيما يتعلق بالازدواجية${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ل${\displaystyle \textstyle f}$، يجب أن تتحقق الشروط التالية: ${\displaystyle \textstyle \lambda ({\bar {f}},n)={\bar {\lambda }}(f,n)}$للجميع  :${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$، إلى جانب ${\displaystyle \textstyle \gamma ({\bar {f}},s)=\gamma (f,s)}$و ${\displaystyle \textstyle q({\bar {f}})=q(f)}$. وهذا يعني أن سلسلة ديريشليه المرتبطة بـ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$، ال${\displaystyle \textstyle \lambda }$المعاملات هي بالضبط المرافقات المعقدة لـ${\displaystyle \textstyle \lambda }$المعاملات في متسلسلة ديريشليه المرتبطة بـ${\displaystyle \textstyle f}$العوامل والقادة المرتبطون بـ${\displaystyle \textstyle f}$و${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$يجب أن تتطابق، على التوالي.
9	المعادلة الوظيفية	الدالتان الكاملتان من نوع L المرتبطتان بـ${\displaystyle \textstyle f}$و${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$، على التوالي، تحقق المعادلة الوظيفية ${\displaystyle \Lambda (f,s)=\epsilon (f)\Lambda ({\bar {f}},1-s)}$ للجميع${\displaystyle \textstyle s\in \mathbb {C} }$.

يعكس تعريف إيوانيك وكوالسكي حقيقة أن الدالة التي تُعتبر دالة L تظهر عادةً كتحويل من دالة L إلى كائن رياضي (مثل مُعامل ديريشلي أو حقل أعداد جبري). إلا أن تعريفهما مجرد وغير مكتمل، إذ يترك السؤال مفتوحًا حول ماهية هذه الكائنات الرياضية وكيفية إجراء هذا التحويل.

إن التعريف الذي اقترحه عالم الرياضيات النرويجي الأمريكي أتلي سيلبرغ عام ١٩٨٩ مستقل عن الكائنات الرياضية الأخرى. في تعريف غير مجرد وواضح، يحدد سيلبرغ مجموعة فرعية من مجموعة جميع متسلسلات ديريشليه، والتي يجب أن تحقق عناصرها خصائص معينة: التقارب المطلق لمتسلسلة ديريشليه، والاستمرار التحليلي، والمعادلة الدالية، وتخمين رامانوجان ^{[ ملاحظة ١ ]} ، وجداء أويلر. تُعرف هذه المجموعة الفرعية اليوم باسم فئة سيلبرغ . ^{[ ٣ ]}

الفرضية الأساسية والدافع وراء تعريف فئة سيلبرغ هي ما يُعرف بفرضية ريمان الكبرى . عند تطبيقها على فئة سيلبرغ، تنص هذه الفرضية على أنه لا يوجد جذر لأي امتداد تحليلي لمتسلسلة ديريشليه في فئة سيلبرغ له جزء حقيقي أكبر من 1/2. في حالة العنصر (المفترض) الأبسط في فئة سيلبرغ (متسلسلة ريمان ديريشليه مع امتدادها التحليلي إلى دالة زيتا لريمان)، فإن هذا التخمين يُقابل فرضية ريمان ، التي لم يتم إثباتها أو دحضها حتى الآن.

في هذا السياق، يجب النظر إلى أوجه القصور المتبقية في تعريف مصطلح "دالة L": إذ يرغب المرء في تعريف هذا المصطلح بحيث تحقق دوال L فرضية ريمان الكبرى بشكل قابل للتحقق. ومع ذلك، من جهة أخرى، لم يتمكن المرء حتى من إثبات أبسط الحالات (فرضية ريمان لدالة زيتا لريمان)، وهو ما قد يدل على قصور في فهم دالة زيتا لريمان، وبالتالي يصعب تقديم تعريف واضح للمفهوم العام لدالة L.

أبسط مثال على دالة L، وفي الوقت نفسه الأساس الجوهري لأي تعريف لمصطلح دالة L استنادًا إلى عمل ليونارد أويلر ، هو دالة زيتا لريمان${\displaystyle \textstyle \zeta }$[ ^{4 ]​}

أحد "الأشياء الحسابية" المحتملة${\displaystyle \textstyle f}$بالمعنى الذي حدده إيوانيك وكوالسكي في منهج التعريف، والذي يمكن إسناد دالة L هذه إليه، هو الحقل${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية . متسلسلة ديريشليه الخاصة بها

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,}$

إنه

${\displaystyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)=1}$

للجميع${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$، يتقارب بشكل مطلق لـ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$بالإضافة إلى جداء أويلر الخاص به، والذي هو أيضًا متقارب تقاربًا مطلقًا، ينطبق ما يلي على${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.}$

بما أن الجميع${\displaystyle \textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)}$هي أعداد حقيقية، أي تساوي 1،${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$هو ثنائي ذاتي. الكائن الثنائي لـ${\displaystyle \textstyle f=\mathbb {Q} }$وبالتالي فهو كذلك${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$، لذا${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q} }$.

درجة حاصل ضرب أويلر لدالة زيتا لريمان هي

${\displaystyle d=1}$.

بالنسبة لمعاييرها المحلية في${\displaystyle \textstyle p}$وينطبق ما يلي:

${\displaystyle \alpha (\mathbb {Q} ,p)=1}$

للجميع${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$عادةً ما يتم استخدام عامل جاما التالي لدالة زيتا لريمان:

${\displaystyle \gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).}$

المعلمة المحلية${\displaystyle \textstyle \kappa }$وبالتالي فإن الموصل عند اللانهاية يساوي صفرًا.${\displaystyle \textstyle \zeta }$يكون

${\displaystyle \textstyle q(\mathbb {Q} )=1}$،

بحيث تأخذ دالة زيتا الكاملة لريمان الشكل التالي:

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

هذا التعريف صالح فقط لـ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$بما أن دالة زيتا لريمان لا يمكن تعريفها عبر متسلسلة ديريشليه أو جداء أويلر إلا في هذا النصف من المستوى، فإن دالة زيتا الكاملة لريمان لها امتداد تحليلي إلى دالة ميرومورفية على المستوى العقدي بأكمله. هذا الامتداد هولومورفي باستثناء قطبين بسيطين عند${\displaystyle \textstyle s=0}$و${\displaystyle \textstyle s=1}$مع بقايا −1 و1 على التوالي. ^{[ 6 ]} إذا رمزنا أيضًا لدالة زيتا ريمان المستمرة والكاملة بـ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$إذن فهو يحقق العدد الجذري

${\displaystyle \epsilon (\mathbb {Q} )=1}$

المعادلة الوظيفية ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).}$

وبالتالي، فإن دالة زيتا لريمان، المعرفة في البداية فقط لـ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$عبر متسلسلة ديريشليه أو جداء أويلر، أصبح الآن له امتداد تحليلي لدالة ميرومورفية على${\displaystyle \mathbb {C} }$، وهو غير محدد فقط عند${\displaystyle \textstyle s=1}$، لأنها تحتوي على قطب بسيط بباقي يساوي 1. إذا احتفظنا بالترميز${\displaystyle \textstyle \zeta }$وبالنسبة لدالة زيتا ريمان المستمرة أيضًا، فإنها تحقق المعادلة الوظيفية ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$

تُثير دالة زيتا لريمان (الممتدة تحليليًا) أحد أهم الأسئلة في نظرية الأعداد التحليلية: سؤال الموقع الدقيق لما يُسمى بأصفارها غير التافهة . تقع هذه الأصفار في "الشريط الحرج".${\displaystyle \textstyle 0<\Re (s)<1}$تفترض فرضية ريمان لعام 1859 - والتي لم يتم إثباتها أو دحضها حتى يومنا هذا - أن جميع الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان لها جزء حقيقي من${\displaystyle 1/2}$إن إثبات هذه الفرضية من شأنه أن يسمح بتقديرات دقيقة بشكل خاص لتوزيع الأعداد الأولية.

أقرب الدوال صلةً بدالة زيتا لريمان هي دوال ديريشليه L، التي تتضمن دالة زيتا لريمان كحالة خاصة. بينما في متسلسلة ديريشليه المرتبطة بدالة زيتا لريمان، جميع${\displaystyle \lambda }$تكون المعاملات مساوية لـ 1، وفي دوال ديريشليه L، تُعرَّف هذه المعاملات باستخدام مُؤَثِّر ديريشليه . وبالتالي، تأخذ قيمًا مركبة بقيمة مطلقة تساوي 1 أو تساوي 0. ليكن${\displaystyle \textstyle m\in \mathbb {N} }$ليكن عددًا صحيحًا، وليكن${\displaystyle \chi }$كن شخصية ديريشليه modulo${\displaystyle \textstyle m}$:

${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C}  :|z|=1\}}

معطى، أي، تشاكل زمرة من زمرة العناصر القابلة للعكس بالنسبة للضرب في حلقة فئة الباقي${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /m}$إلى مجموعة الدائرة${\displaystyle \textstyle S^{1}}$من الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة 1. مثل هذه الخاصية من خصائص ديريشليه${\displaystyle \textstyle \chi }$يُطلق عليه اسم بدائي ، و${\displaystyle \textstyle m}$هو مولد${\displaystyle \textstyle \chi }$إذا لم يتم تحديدها بالفعل من خلال تركيبة

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

يتبع ذلك شخصية ديريشليه${\displaystyle \textstyle \chi '}$modulo${\displaystyle \textstyle m'}$مع قاسم مناسب${\displaystyle \textstyle m'}$ل${\displaystyle \textstyle m}$باستخدام مثل هذه الخاصية من خصائص ديريشليه${\displaystyle \textstyle \chi }$يُعرّف المرء التعيين التالي، والذي يُشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle \textstyle \chi }$ويُشار إليه باسم خاصية ديريشليه modulo${\displaystyle \textstyle m}$[ ^{9 ]​}

${\displaystyle \chi$ إذا كان عدد Z يؤول إلى عدد C، فإن χ(n) = χ(n mod m) إذا كان القاسم المشترك الأكبر (n,m) يساوي 1، و χ(n,m) أكبر من 1 إذا كان القاسم المشترك الأكبر (n,m) يساوي 0.

شخصيات ديريشليه التافهة${\displaystyle \textstyle \chi ^{0}}$modulo${\displaystyle m}$خذ القيمة 1 إذا${\displaystyle \textstyle \operatorname {gcd} (n,m)=1}$و صفر فيما عدا ذلك. يُطلق على مُعامل ديريشليه التافه بتردد 1 اسم المُعامل الرئيسي. وهو يُحقق${\displaystyle \chi (n)=1}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

الآن، إذا${\displaystyle \textstyle \chi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} } هو محرف ديريشليه بدائي modulo${\displaystyle \textstyle m}$ثم يتم تعيين دالة L لهذا الكائن الحسابي${\displaystyle \chi }$على النحو التالي: مع

${\displaystyle \lambda (\chi ,n):=\chi (n)}$

سلسلة ديريشليه (وتسمى أيضًا سلسلة ديريشليه L)

${\displaystyle L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

ل${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$هو مطلق. ^{[ 11 ]} مع المعاملات المحلية لـ${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\chi ,p):=\chi (p)}$

وينطبق هذا أيضًا على حاصل ضرب أويلر المقابل، ولدينا المتطابقة ^{[ 12 ]}

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$

ل${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$كما هو الحال مع دالة زيتا لريمان،

${\displaystyle d=1}$

هي رتبة جداء أويلر. إذا وضعنا${\displaystyle \textstyle \kappa =0}$متى${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=1}$(في هذه الحالة،${\displaystyle \textstyle \chi }$يُطلق عليه "زوجي")، و${\displaystyle \textstyle \kappa =1}$لو${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=-1}$(في هذه الحالة،${\displaystyle \textstyle \chi }$يُطلق عليه "فردي")، ثم

${\displaystyle \gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)}$

عامل جاما المرتبط بـ${\displaystyle \textstyle \chi }$. الذي - التي${\displaystyle \textstyle \kappa \in \{0,1\}}$وبالتالي، فإن المعلمة المحلية عند النقطة الأولية اللانهائية هي القائد.${\displaystyle \textstyle m}$من خصائص ديريشليه البدائية${\displaystyle \textstyle \chi }$وهو أيضاً قائد دالة ديريشليه L:

${\displaystyle q(\chi )=m}$.

وبالتالي فإن دالة ديريشليه الكاملة من النوع L لها الشكل ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

تعريف ينطبق فقط على${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$، لأن متسلسلة ديريشليه المستخدمة تتقارب فقط عند هذه النقطة. ومع ذلك، يمكن تمديد دالة ديريشليه L الكاملة هذه تحليليًا إلى${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$ينتج عن ذلك دالة تكاملية إذا${\displaystyle \textstyle \chi }$هي دالة ديريشليه غير تافهة. ^{[ 14 ]} وإلا، فإن الدالة الموسعة لها قطب بسيط عند${\displaystyle \textstyle s=1}$مع الباقي 1. ^{[ 15 ]} الكائن المزدوج لـ${\displaystyle \textstyle \chi }$يكون${\displaystyle {\overline {\chi }}}$أي، خاصية ديريشليه التي تم الحصول عليها من${\displaystyle \textstyle \chi }$عن طريق الاقتران المعقد لقيم الدالة${\displaystyle \textstyle \chi }$، أي،

${\displaystyle \textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}}$

للجميع${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$العدد الجذري${\displaystyle \textstyle \epsilon (\chi )}$يمكن تحديدها باستخدام مجموع غاوس ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))}$

حيث يمتد الجمع على جميع فئات البواقي بتردد المولد${\displaystyle \textstyle q(\chi )=m}$و${\displaystyle \textstyle \pi }$يشير إلى الرقم الدائري ،${\displaystyle \textstyle i}$يرمز إلى الوحدة التخيلية ، و${\displaystyle \exp }$يرمز إلى الدالة الأسية . مع

${\displaystyle \epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{if}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}}$

ثم فإن دالة ديريشليه L الموسعة والكاملة تحقق المعادلة الوظيفية ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).}$

كما هو مطلوب بموجب نظرية العدد الجذري،${\displaystyle \textstyle |\epsilon (\chi )|=1}$، منذ${\displaystyle \textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}}$[ ^{18 ]} تتضمن دوال ديريشليه L دالة زيتا لريمان، لأنها تنشأ من خاصية ديريشليه التافهة modulo 1، أي الخاصية الرئيسية ^{. [ 19 ]}

في عام 1837، استخدم عالم الرياضيات الألماني بيتر جوستاف ديريشليه دوال ديريشليه L، التي سميت باسمه، لإثبات نظرية ديريشليه للأعداد الأولية ، والتي تنص على أنه في كل متتالية حسابية (تسمى أيضًا متتابعة حسابية )

${\displaystyle a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ with }}\operatorname {gcd} (a,n)=1,}$

أين${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} }$

أي أن ذلك في كل فئة من فئات البقايا${\displaystyle \textstyle a\operatorname {mod} n}$يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. ^{[ 20 ] [ 21 ]} الحجة الحاسمة في برهان نظرية ديريشليه للأعداد الأولية هي إدراك أن${\displaystyle \textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0}$ينطبق هذا على كل خاصية ديريشليه غير تافهة${\displaystyle \textstyle \chi }$[ ^{22 ]​}

دالة زيتا لريمان معرفة على الحقل${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية، وهو أبسط حقل عددي جبري. تعمم دوال ديديكيند L هذا المرجع إلى حقول عددية جبرية عشوائية، أي امتدادات الحقول المنتهية لـ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$، مثل${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$. يترك${\displaystyle K}$ليكن حقل أعداد جبرية وليكن${\displaystyle n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$بغض النظر عن درجة امتدادها${\displaystyle \mathbb {Q} }$. يترك${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ليكن مجالها المتكامل و${\displaystyle d_{K}\in \mathbb {Z} }$المميز الخاص به . علاوة على ذلك، دع${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} _{0}}$ليكن عدد التضمينات الحقيقية و${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} _{0}}$عدد أزواج التضمينات المعقدة لـ${\displaystyle K}$. هكذا،${\displaystyle n_{K}=n_{1}+2n_{2}}$.

دالة ديديكيند L (المعروفة أيضًا باسم دالة ديديكيند زيتا ) بالنسبة إلى${\displaystyle K}$يتم تعريفها لـ${\displaystyle \Re (s)>1}$بواسطة ^{[ 23 ]}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

باختصار،${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$يمر عبر جميع المُثُل الصحيحة لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$التي تختلف عن المثال الصفري${\displaystyle \{0\}}$.${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$يشير إلى المعيار المطلق لـ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$معاملات متسلسلة ديريشليه

${\displaystyle \sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}}$

وبالتالي ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.}$

لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، فهي تحدد عدد المُثُل التكاملية لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$بمعيار مطلق${\displaystyle n}$. على وجه الخصوص، جميع المعاملات${\displaystyle \lambda (K,n)}$هي حقيقية، وبالتالي${\displaystyle L(K,s)}$هي متناظرة ذاتيًا. تتقارب متسلسلة ديريشليه تقاربًا مطلقًا لـ${\displaystyle \Re (s)>1}$وكذلك الحال بالنسبة لضرب أويلر المقابل

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

هنا، يمتد المنتج ليشمل جميع المُثُل الأساسية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$والتي تختلف عن المثال الصفري. لـ${\displaystyle \Re (s)>1}$، تتحقق الهوية التالية ^{[ 25 ]}

${\displaystyle L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

لا يُظهر هذا الشكل من حاصل ضرب أويلر عوامل أويلر الفردية حتى الآن ${\displaystyle (1-\alpha _{1}(K,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(K,p)p^{-s})^{-1}}$على أي حال، درجة جداء أويلر تساوي درجة امتداد الحقل${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$[ ^{26 ]​}

${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}=n_{1}+2n_{2}.}$

المعايير المحلية${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$يعتمد ذلك على سلوك تفكيك المُثُل ${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$

كل مثال${\displaystyle (p)}$يمتلك "تحليلًا مثاليًا أوليًا" فريدًا حتى رتبة العوامل

${\displaystyle (p)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{e_{\mathfrak {p}}}}$

في المثل العليا${\displaystyle 0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$حيث ينطبق ما يلي:${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} _{0}}$و${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$لعدد محدود فقط من المُثُل الأولية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$على الأكثر${\displaystyle n_{K}}$المثل العليا${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$،${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}>0}$قد يكون ذلك صحيحاً.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$انقسام${\displaystyle (p)}$ونكتب${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$الأس${\displaystyle e_{\mathfrak {p}}}$في التحلل المثالي الأولي لـ${\displaystyle (p)}$يُطلق عليه مؤشر التفرع لـ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$زيادة${\displaystyle p}$. لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}|(p)}$، ثم ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})=p^{f_{\mathfrak {p}}}}$ بالنسبة للبعض${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \mathbb {N} }$، والذي يُطلق عليه مؤشر القصور الذاتي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$زيادة${\displaystyle p}$لكل${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$، مؤشرات التفرع والقصور الذاتي المرتبطة بالمثالية${\displaystyle (p)}$تحقق العلاقة التالية فيما يتعلق بدرجة${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$:

${\displaystyle \sum _{{\mathfrak {p}}|(p)}e_{\mathfrak {p}}f_{\mathfrak {p}}=n_{K}.}$

باستخدام معرفة مؤشرات القصور الذاتي لكل${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$المعلمات المحلية${\displaystyle \alpha _{j}(K,p)}$يمكن الآن تحديد ذلك، وتحديداً من خلال العوامل${\displaystyle (1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1}}$في الهوية ^{[ 27 ]}

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\;\prod _{{\mathfrak {p}}|(p)}(1-p^{-sf_{\mathfrak {p}}})^{-1},}$

عن طريق تحليل كثيرات الحدود${\displaystyle X^{f_{\mathfrak {p}}}-1}$في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$.

عامل جاما فيما يتعلق بـ${\displaystyle L(K,s)}$هو ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.}$

قيمة المميز لـ${\displaystyle K}$هو قائد${\displaystyle L(K,s)}$[ ^{29 ]​}

${\displaystyle q(K)=|d_{K}|.}$

وبالتالي، فإن دالة L الكاملة لـ${\displaystyle K}$ل${\displaystyle \Re (s)>1}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s)=\left({\frac {|d_{K}|}{\pi ^{n_{K}}}}\right)^{\frac {s}{2}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}\,\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

لهذه الدالة امتداد تحليلي إلى المستوى المركب مع أقطاب بسيطة عند${\displaystyle s=0}$و${\displaystyle s=1}$وبقاياها${\displaystyle -{\frac {2^{r}hR}{w}}}$و${\displaystyle {\frac {2^{r}hR}{w}}}$، على التوالي. هنا،${\displaystyle r=n_{1}+n_{2}}$هو عدد الأرقام اللانهائية،${\displaystyle h\in \mathbb {N} }$هو رقم الفصل ،${\displaystyle R\in \mathbb {R} }$هو الجهة المنظمة لـ${\displaystyle K}$، و${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$عدد جذور الوحدة في${\displaystyle K}$[ ^{30 ]​}

دوال ديديكيند L لها دائمًا جذر يساوي 1: ^{[ 31 ]}

${\displaystyle \epsilon (K)=1.}$

وبالتالي، فإن دالة L الكاملة والممتدة تحليليًا لـ${\displaystyle K}$يفي بالمعادلة الوظيفية ^{[ 32 ]}

${\displaystyle \Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).}$

الدالة الموسعة تحليليًا${\displaystyle \Lambda (K,s)}$يسمح الآن أيضًا بالتوسع التحليلي لـ${\displaystyle L(K,s)}$، وتحديداً من خلال التعريف ^{[ 33 ]}

${\displaystyle L(K,s):={\frac {\Lambda (K,s)}{|d_{k}|^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)}}=\left({\frac {\pi ^{n_{K}}}{|d_{K}|}}\right)^{\frac {s}{2}}\cdot {\frac {\Lambda (K,s)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}}}.}$

وهذا يجعل${\displaystyle L(K,s)}$دالة ميرومورفية على${\displaystyle \mathbb {C} }$بعمود بسيط في${\displaystyle s=1}$إحدى خصائصها الرائعة هي ما يسمى بصيغة عدد الفئة التحليلية ، والتي بموجبها يكون باقي قسمة${\displaystyle L(K,s)}$في${\displaystyle s=1}$يأخذ الشكل التالي: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle \operatorname {Res} _{s=1}\,L(K,s)={\frac {2^{n_{1}}(2\pi )^{n_{2}}}{w{\sqrt {|d_{K}|}}}}\,hR.}$