نظرية الجذر النسبي

المعادلة التكعيبية العامة$${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$ للمعادلة ذات المعاملات الصحيحة ثلاثة حلول في المستوى المركب . إذا لم يجد اختبار الجذر النسبي أي حلول نسبية، فإن الطريقة الوحيدة للتعبير عن الحلول جبريًا هي استخدام الجذور التكعيبية . أما إذا وجد الاختبار حلاً نسبيًا r ، فإن تحليل ( x – r ) ينتج عنه كثيرة حدود من الدرجة الثانية ، وجذراها، اللذان تم إيجادهما باستخدام القانون العام ، هما الجذران المتبقيان للمعادلة التكعيبية، مما يجنبنا استخدام الجذور التكعيبية.

يترك${\displaystyle P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$مع${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z} ,a_{0},a_{n}\neq 0.}$

لنفترض أن P ( p / q ) = 0 لبعض الأعداد الأولية فيما بينها p و q ∈ ℤ : $${\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$$

للتخلص من المقامات، اضرب كلا الطرفين في q ⁿ : $${\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}$$

يؤدي نقل الحد a ₀ إلى الجانب الأيمن وإخراج p كعامل مشترك من الجانب الأيسر إلى: $${\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}$$

وبالتالي، فإن p يقسم a ₀ q ⁿ . لكن p أولي فيما بينه وبين q ، وبالتالي فهو أولي فيما بينه وبين q ⁿ ، لذلك وفقًا لفرضية إقليدس، يجب أن يقسم p العامل المتبقي a ₀ .

من ناحية أخرى، يؤدي نقل _{الحد النوني} إلى الجانب الأيمن واستخراج العامل المشترك q من الجانب الأيسر إلى ما يلي: $${\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}$$

وبناءً على الاستدلال السابق، يترتب على ذلك أن q يقسم a _n . ^{[ 1 ]}

إذا وُجد عامل غير تافه يقسم جميع معاملات كثيرة الحدود، فإنه يُمكن القسمة على القاسم المشترك الأكبر لهذه المعاملات للحصول على كثيرة حدود أولية وفقًا لفرضية غاوس ؛ وهذا لا يُغير مجموعة الجذور النسبية، بل يُعزز شروط قابلية القسمة. تنص هذه الفرضية على أنه إذا كانت كثيرة الحدود قابلة للتحليل في Q [ X ] ، فإنها قابلة للتحليل أيضًا في Z [ X ] كحاصل ضرب كثيرات حدود أولية. الآن، أي جذر نسبي p / q يُقابل عاملًا من الدرجة 1 في Q [ X ] لكثيرة الحدود، وممثله الأولي هو qx - p ، بافتراض أن p و q أوليان فيما بينهما. لكن أي مضاعف لـ qx - p في Z [ X ] يكون حده الرئيسي قابلًا للقسمة على q وحدّه الثابت قابلًا للقسمة على p ، مما يُثبت صحة الفرضية. تُظهر هذه الحجة أنه بشكل عام، يمكن افتراض أن أي عامل غير قابل للاختزال لـ P له معاملات صحيحة، ومعاملات رئيسية وثابتة تقسم المعاملات المقابلة لـ P. 

في كثير الحدود $${\displaystyle 2x^{3}+x-1,}$$ أي جذر نسبي مُختزل بالكامل يجب أن يكون بسطه يقسم 1 ومقامه يقسم 2. وبالتالي، فإن الجذور النسبية الممكنة الوحيدة هي${\textstyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$و${\textstyle \pm 1}$بما أن أياً من هذين لا يساوي كثير الحدود بالصفر، فإنه ليس له جذور نسبية.

في كثير الحدود $${\displaystyle x^{3}-7x+6}$$ الجذور النسبية الوحيدة الممكنة هي تلك التي يكون بسطها يقسم 6 ومقامها يقسم 1، مما يحد من الاحتمالات إلى ±1، ±2، ±3، و±6. من بين هذه القيم، 1 و2 و-3 تجعل كثيرة الحدود تساوي صفرًا، وبالتالي فهي جذورها النسبية (في الواقع هذه هي جذورها الوحيدة لأن كثيرة الحدود التكعيبية لها ثلاثة جذور فقط).

كل جذر نسبي لكثير الحدود $${\displaystyle P=3x^{3}-5x^{2}+5x-2}$$ يجب أن يكون أحد الأرقام الثمانية $${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}}.}$$ يمكن اختبار هذه القيم الثمانية المحتملة لـ x عن طريق حساب قيمة متعددة الحدود. ويتضح أن هناك جذرًا نسبيًا واحدًا فقط، وهو${\textstyle x=2/3.}$

ومع ذلك، قد تكون هذه العمليات الحسابية الثمانية مملة إلى حد ما، وهناك بعض الحيل التي تسمح بتجنب بعضها.

أولاً، إذا${\displaystyle x<0,}$تصبح جميع حدود P سالبة، ولا يمكن أن يكون مجموعها صفرًا؛ لذا، فإن كل جذر موجب، ويجب أن يكون الجذر النسبي إحدى القيم الأربع.${\textstyle 1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}.}$

يمتلك المرء${\displaystyle P(1)=3-5+5-2=1.}$إذن، 1 ليس جذرًا. علاوة على ذلك، إذا وضعنا x = 1 + t ، فسنحصل دون إجراء حسابات على أن${\displaystyle Q(t)=P(t+1)}$هي كثيرة حدود في t لها نفس المعامل الأول 3 والحد الثابت 1. ^{[ 2 ]} تنص نظرية الجذر النسبي بالتالي على أن الجذر النسبي لـ Q يجب أن ينتمي إلى${\textstyle \{\pm 1,\pm {\frac {1}{3}}\},}$وبالتالي فإن الجذور النسبية لـ P تحقق${\textstyle x=1+t\in \{2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}\}.}$وهذا يوضح مرة أخرى أن أي جذر نسبي لـ P هو موجب، وأن المرشحين المتبقين هما 2 و 2/3 .

لإثبات أن 2 ليس جذرًا، يكفي أن نلاحظ أنه إذا${\displaystyle x=2,}$ثم${\displaystyle 3x^{3}}$و${\displaystyle 5x-2}$هي مضاعفات العدد 8 ، بينما${\displaystyle -5x^{2}}$ليس كذلك. لذا لا يمكن أن يكون مجموعهما صفراً.

وأخيراً، فقط${\displaystyle P(2/3)}$يجب حسابها للتحقق من أنها جذر لكثير الحدود.

لو${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}}}$هي أعداد صحيحة (${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$ثم كلاهما${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$و${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$يجب أن يكون عددًا صحيحًا.

لنفترض المعادلة التربيعية التي جذورها هي${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$و${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$:

$${\displaystyle (x-{\tfrac {a^{2}}{b}})(x-{\tfrac {b^{2}}{a}})=x^{2}-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}})x+{\tfrac {a^{2}}{b}}\cdot {\tfrac {b^{2}}{a}}.}$$

بسّط المعاملات:

• معامل${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle m=-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}}),}$
• الحد الثابت هو${\displaystyle n={\tfrac {a^{2}}{b}}\cdot {\tfrac {b^{2}}{a}}=ab.}$

وبذلك تصبح المعادلة كالتالي:$${\displaystyle x^{2}+mx+n=0,}$$أين:

• ${\displaystyle m=-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}})}$، وهو عدد صحيح بالطبع، باعتباره نفيًا لعدد صحيح،
• ${\displaystyle n=ab}$، وهو أيضًا عدد صحيح، باعتباره ناتج ضرب عددين صحيحين.

تطبيق نظرية الجذر النسبي:

${\displaystyle a,b}$معطاة كأعداد صحيحة (${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$)، أي${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$و${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$عقلانيون. إذا${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$إذا كان جذرًا نسبيًا للمعادلة، فإن${\displaystyle q}$هو عامل صحيح لـ${\displaystyle x^{2}}$معامل، أي من${\displaystyle 1}$. هكذا،${\displaystyle q=1}$وبالتالي، فإن الجذر النسبي هو عدد صحيح.${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$و${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$هي أعداد صحيحة.