المجال المغلق تكاملياً

في الجبر التبادلي ، المجال المغلق تكامليًا A هو مجال تكاملي يكون إغلاقه التكاملي في حقل الكسور الخاص به هو A نفسه. بعبارة أخرى، إذا كان x عنصرًا من حقل الكسور الخاص بـ A وهو جذر لكثير حدود أحادي المعاملات في A ، فإن x هو نفسه عنصر من A. العديد من المجالات المدروسة جيدًا مغلقة تكامليًا، كما يتضح من سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

ومن الأمثلة الواضحة على ذلك حلقة الأعداد الصحيحة Z ، وهي مجال إقليدي . جميع الحلقات المحلية المنتظمة مغلقة تكاملياً أيضاً.

الحلقة التي تكون فيها التموضعات عند جميع المثاليات الأولية عبارة عن مجالات مغلقة بشكل متكامل هي حلقة طبيعية .

ليكن A مجالًا مغلقًا تكامليًا مع حقل كسور K، وليكن L امتدادًا حقليًا لـ K. عندئذٍ يكون x ∈ L صحيحًا على A إذا وفقط إذا كان جبريًا على K وكانت معاملات كثير الحدود الأدنى له على K في A. [ 1 ] على وجه ^{الخصوص ، هذا} يعني أن أي عنصر من L صحيح على A هو جذر لكثير حدود أحادي في A [ X ] غير قابل للاختزال في K [ X ].

إذا كانت A نطاقًا محتواًا في حقل K، فيمكننا اعتبار الإغلاق التكاملي لـ A في K (أي مجموعة جميع عناصر K التي تكون صحيحة على A ). هذا الإغلاق التكاملي هو نطاق مغلق تكامليًا.

تلعب المجالات المغلقة تكاملياً دوراً أيضاً في فرضية نظرية النزول . تنص النظرية على أنه إذا كان A ⊆ B امتداداً تكاملياً للمجالات، وكان A مجالاً مغلقاً تكاملياً، فإن خاصية النزول تنطبق على الامتداد A ⊆ B.

المجالات التالية مغلقة بشكل متكامل.

• مجال مثالي رئيسي (على وجه الخصوص: الأعداد الصحيحة وأي حقل).
• مجال تحليل فريد (على وجه الخصوص، أي حلقة متعددة الحدود على حقل، أو على الأعداد الصحيحة، أو على أي مجال تحليل فريد).
• مجال GCD (على وجه الخصوص، أي مجال Bézout أو مجال تقييم ).
• مجال ديديكيند (على وجه الخصوص، أي حلقة من الأعداد الصحيحة لحقل عددي ).
• الجبر المتناظر على حقل (لأن كل جبر متناظر متماثل مع حلقة متعددة الحدود في عدة متغيرات على حقل).
• يترك${\displaystyle k}$أن يكون مجالًا ذا خاصية لا 2 و${\displaystyle S=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$حلقة متعددة الحدود فوقها. إذا${\displaystyle f}$هي متعددة حدود غير ثابتة خالية من المربعات في${\displaystyle S}$، ثم${\displaystyle S[y]/(y^{2}-f)}$هي مجال مغلق تكامليًا. ^{[ 2 ]} على وجه الخصوص،${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{r}]/(x_{0}^{2}+\dots +x_{r}^{2})}$تكون منطقة مغلقة تكاملياً إذا${\displaystyle r\geq 2}$[ ^{3 ]​}

ولإعطاء مثال غير صحيح، ^{[ 4 ]} ليكن k حقلاً و${\displaystyle A=k[t^{2},t^{3}]\subset k[t]}$، الجبر الجزئي المتولد من t ² و t ^3. إذن ، A ليس مغلقًا تكامليًا: بل يمتلك حقل الكسور${\displaystyle k(t)}$، ومتعددة الحدود أحادية المعامل${\displaystyle X^{2}-t^{2}}$للمتغير X جذر t يقع في حقل الكسور ولكنه ليس في A. ويرتبط هذا بحقيقة أن المنحنى المستوي${\displaystyle Y^{2}=X^{3}}$توجد نقطة تفرد عند الأصل.

مجال آخر غير مغلق بشكل متكامل هو${\displaystyle A=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}\,]}$؛ يحتوي مجال الكسور الخاص به على العنصر${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$، وهو ليس في المجموعة أ ولكنه يحقق متعددة الحدود أحادية المعامل${\displaystyle X^{2}-X-1=0}$.

بالنسبة لمجال محلي نوثري A ذي بُعد واحد، فإن ما يلي متكافئ.

• A مغلقة بشكل متكامل.
• المثال الأقصى للمجموعة A هو الأساسي.
• A عبارة عن حلقة تقييم منفصلة (بمعنى آخر، A هي ديديكيند).
• A عبارة عن حلقة محلية عادية.

ليكن A مجالًا تكامليًا نوثريًا. يكون A مغلقًا تكامليًا إذا وفقط إذا كان (i) A هو تقاطع جميع المواضع${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$فوق المثل العليا${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$(1) الارتفاع و (2) الموقع${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$في ذروة مثالية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$الحلقة ذات الارتفاع 1 هي حلقة تقييم منفصلة.

تكون الحلقة النويثرية مجال كرول إذا وفقط إذا كانت مجالًا مغلقًا بشكل متكامل.

في الإطار غير النويثري، يكون لدينا ما يلي: يكون المجال التكاملي مغلقًا تكامليًا إذا وفقط إذا كان تقاطع جميع حلقات التقييم التي تحتوي عليه.

يُعرّف مؤلفون، من بينهم سير ، وغروتينديك ، وماتسومورا، الحلقة الطبيعية بأنها حلقة تكون فيها التموضعات عند المُثُل الأولية عبارة عن مجالات مغلقة تكامليًا. هذه الحلقة بالضرورة حلقة مُختزلة ، ^{[ 5 ]} ويُدرج هذا أحيانًا في التعريف. بشكل عام، إذا كانت A حلقة نوثرية تكون فيها التموضعات عند المُثُل القصوى جميعها مجالات، فإن A عبارة عن حاصل ضرب منتهٍ للمجالات. ^{[ 6 ]} على وجه الخصوص، إذا كانت A حلقة نوثرية وطبيعية، فإن المجالات في حاصل الضرب تكون مجالات مغلقة تكامليًا. ^{[ 7 ]} على العكس من ذلك، فإن أي حاصل ضرب منتهٍ للمجالات المغلقة تكامليًا يكون طبيعيًا. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$إذا كانت A نوثرية، وطبيعية، ومتصلة، فإنها تكون مجالًا مغلقًا بشكل متكامل. (انظر التنوع الأملس .)

لتكن A حلقة نوثرية. عندئذٍ ( وفقًا لمعيار سير ) تكون A حلقة طبيعية إذا وفقط إذا حققت ما يلي: لأي مثالي أولي${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$،

1. لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$له ارتفاع${\displaystyle \leq 1}$، ثم${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$منتظم (أي ،${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$( حلقة تقييم منفصلة .)
2. لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$له ارتفاع${\displaystyle \geq 2}$، ثم${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$يتميز بالعمق${\displaystyle \geq 2}$[ ^{8 ]​}

يُصاغ البند (i) غالبًا على أنه "منتظم في البعد المشترك 1". لاحظ أن (i) يعني أن مجموعة الأعداد الأولية المرتبطة${\displaystyle Ass(A)}$لا يحتوي على أعداد أولية مضمنة ، وعندما يكون (i) هو الحال، فإن (ii) يعني أن${\displaystyle Ass(A/fA)}$لا يوجد عدد أولي مضمن لأي قاسم غير صفري f . على وجه الخصوص، تحقق حلقة كوهين-ماكولي الشرط (ii). هندسيًا، لدينا ما يلي: إذا كانت X تقاطعًا محليًا كاملًا في صنف غير شاذ؛ ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، إذا كانت X نفسها غير شاذة، فإن X هي حلقة كوهين-ماكولي؛ أي أن السيقان${\displaystyle {\mathcal {O}}_{p}}$تكون حزم البنية من نوع كوهين-ماكولي لجميع المثاليّات الأولية p. عندئذٍ يمكننا القول: X طبيعي (أي أن سيقان حزمة بنيته كلها طبيعية) إذا وفقط إذا كان منتظمًا في البعد المشترك 1.

ليكن A مجالًا و K حقل كسوره. يُقال إن العنصر x في K شبه صحيح على A إذا كانت الحلقة الجزئية A [ x ] من K المولدة بواسطة A و x مثالية كسرية لـ A ؛ أي إذا كان هناك عنصر غير صفري${\displaystyle d\in A}$بحيث${\displaystyle dx^{n}\in A}$للجميع${\displaystyle n\geq 0}$يُقال إن A مغلقة تكاملياً تماماً إذا كان كل عنصر شبه صحيح من K موجوداً في A. المجال المغلق تكاملياً تماماً هو مجال مغلق تكاملياً. وعلى العكس، فإن المجال المغلق تكاملياً في نظرية نوثر هو مجال مغلق تكاملياً تماماً.

لنفترض أن A مغلقة تمامًا بشكل متكامل. عندئذٍ، تكون حلقة متسلسلة القوى الرسمية${\displaystyle A[[X]]}$هي مغلقة تكامليًا تمامًا. ^{[ 10 ]} هذا مهم لأن النظير غير صحيح بالنسبة لمجال مغلق تكامليًا: ليكن R مجال تقييم بارتفاع 2 على الأقل (وهو مغلق تكامليًا). إذن${\displaystyle R[[X]]}$ليست مغلقة تكاملياً. ^{[ 11 ]} ليكن L امتداداً حقلياً لـ K. عندئذٍ يكون الإغلاق التكاملي لـ A في L مغلقاً تكاملياً تماماً. ^{[ 12 ]}

تكون منطقة التكامل مغلقة تكاملياً تماماً إذا وفقط إذا كانت مجموعة أحاديات قواسم A زمرة. ^{[ 13 ]}

الشروط التالية متكافئة بالنسبة للمجال التكاملي A :

1. A مغلقة بشكل متكامل؛
2. A _p (تحديد موقع A بالنسبة إلى p ) مغلق بشكل متكامل لكل مثالي أولي p ؛
3. تكون المجموعة _m مغلقة بشكل متكامل لكل مثالي أقصى m .

1 → 2 ينتج مباشرة من الحفاظ على الإغلاق التكاملي تحت التوطين؛ 2 → 3 أمر بديهي؛ 3 → 1 ينتج من الحفاظ على الإغلاق التكاملي تحت التوطين، ودقة التوطين ، والخاصية التي تكون فيها الوحدة النمطية A - M صفرًا إذا وفقط إذا كان توطينها بالنسبة لكل مثالي أقصى صفرًا.

في المقابل، فإن "المغلق تكاملياً" لا يمر فوق خارج القسمة، لأن Z [t]/(t ² +4) ليس مغلقاً تكاملياً.

لا يشترط أن يكون تحديد موقع نطاق مغلق تكامليًا مغلقًا تكامليًا تمامًا. ^{[ 14 ]}

النهاية المباشرة للمجالات المغلقة تكاملياً هي مجال مغلق تكاملياً.

ليكن A نطاقًا مغلقًا تكامليًا نوثريًا.

يكون المثالي I في المجموعة A قابلاً للقسمة إذا وفقط إذا كان كل عدد أولي مرتبط بـ A / I له ارتفاع واحد. ^{[ 15 ]}

لنرمز بـ P إلى مجموعة جميع المُثُل الأولية في A ذات الارتفاع واحد. إذا كان T وحدة التواء مولدة توليدًا نهائيًا، فإننا نضع:

${\displaystyle \chi (T)=\sum _{p\in P}\operatorname {length} _{p}(T)p}$،

وهذا منطقي كمجموع رسمي؛ أي كمقسوم عليه. نكتب${\displaystyle c(d)}$بالنسبة لفئة القواسم لـ d . إذا${\displaystyle F,F'}$إذا كانت الوحدات الفرعية القصوى لـ M ،${\displaystyle c(\chi (M/F))=c(\chi (M/F'))}$^{[ 16 ]} و${\displaystyle c(\chi (M/F))}$يُشار إليه (في بورباكي) بـ${\displaystyle c(M)}$.

• حلقة محلية أحادية الفرع