الجزء البدائي والمحتوى

في الجبر ، محتوى كثيرة الحدود غير الصفرية ذات المعاملات الصحيحة (أو، بشكل أعم، ذات المعاملات في مجال تحليل وحيد ) هو القاسم المشترك الأكبر لمعاملاتها. الجزء الأصلي من هذه كثيرة الحدود هو خارج قسمة كثيرة الحدود على محتواها. بالتالي، فإن كثيرة الحدود هي حاصل ضرب جزئها الأصلي في محتواها، وهذا التحليل وحيد حتى ضرب المحتوى في وحدة من حلقة المعاملات (وضرب الجزء الأصلي في مقلوب الوحدة).

تكون كثيرة الحدود أولية إذا كان محتواها يساوي 1. وبالتالي فإن الجزء الأولي من كثيرة الحدود هو كثيرة حدود أولية.

تنصّ مبرهنة غاوس لكثيرات الحدود على أن حاصل ضرب كثيرات الحدود الأولية (ذات المعاملات في نفس مجال التحليل الفريد) هو أيضًا كثير حدود أولي. وهذا يعني أن محتوى وجزء كثير الحدود الأولي هما، على التوالي، حاصل ضرب المحتوى وحاصل ضرب الأجزاء الأولية.

بما أن حساب القواسم المشتركة الكبرى أسهل بكثير من تحليل كثيرات الحدود ، فإن الخطوة الأولى في خوارزمية تحليل كثيرات الحدود هي عادةً حساب تحليل الجزء الأولي والمحتوى (انظر تحليل كثيرات الحدود §  تحليل الجزء الأولي والمحتوى ). بعد ذلك، تُختزل مسألة التحليل إلى تحليل المحتوى والجزء الأولي بشكل منفصل.

يمكن تعميم المحتوى والجزء الأولي على كثيرات الحدود على الأعداد النسبية ، وبشكل أعم، على كثيرات الحدود على حقل الكسور في مجال تحليل فريد. وهذا يجعل مسائل حساب القواسم المشتركة الكبرى وتحليل كثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة وكثيرات الحدود على الأعداد النسبية متكافئة جوهريًا.

بالنسبة لكثير الحدود ذي المعاملات الصحيحة، قد يكون المحتوى إما القاسم المشترك الأكبر للمعاملات أو معكوسه الجمعي . الاختيار تعسفي، وقد يعتمد على اصطلاح آخر، وهو عادةً أن يكون المعامل الرئيسي للجزء الأولي موجبًا.

على سبيل المثال، محتوى${\displaystyle -12x^{3}+30x-20}$قد يكون الناتج إما 2 أو -2، لأن 2 هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد -12 و30 و-20. إذا اخترنا 2 كمحتوى، فإن الجزء الأولي من هذه كثيرة الحدود هو

${\displaystyle -6x^{3}+15x-10={\frac {-12x^{3}+30x-20}{2}},}$

وبالتالي فإن تحليل المحتوى إلى أجزاء أولية هو

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=2(-6x^{3}+15x-10).}$

لأسباب جمالية، يفضل المرء غالبًا اختيار محتوى سلبي، هنا -2، مما يعطي تحليل المحتوى للجزء الأولي

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=-2(6x^{3}-15x+10).}$

في بقية هذه المقالة، سنتناول كثيرات الحدود على مجال تحليل فريد R ، والذي يمكن أن يكون عادةً حلقة الأعداد الصحيحة ، أو حلقة كثيرات الحدود على حقل . في R ، تكون القواسم المشتركة الكبرى مُعرَّفة جيدًا، وهي فريدة حتى الضرب في عنصر واحد من R.

المحتوى c ( P ) لكثير الحدود P ذي المعاملات في R هو القاسم المشترك الأكبر لمعاملاته، وبالتالي، فهو مُعرَّف حتى الضرب في وحدة. الجزء الأولي pp( P ) من P هو خارج قسمة P / c ( P ) على محتواه؛ وهو كثير حدود ذو معاملات في R ، وهو وحيد حتى الضرب في وحدة. إذا تغير المحتوى بالضرب في وحدة u ، فيجب تغيير الجزء الأولي بقسمته على نفس الوحدة، للحفاظ على المساواة .$${\displaystyle P=c(P)\operatorname {pp} (P),}$$ والذي يُطلق عليه تحليل محتوى الجزء الأولي لـ P.

تُعدّ الخصائص الرئيسية للمحتوى والجزء الأولي نتائج لفرضية غاوس ، التي تنص على أن حاصل ضرب كثيرتي حدود أوليتين هو كثير حدود أولي، حيث تكون كثيرة الحدود أولية إذا كان 1 هو القاسم المشترك الأكبر لمعاملاتها. وهذا يعني:

• محتوى حاصل ضرب كثيرات الحدود هو حاصل ضرب محتوياتها:$${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).}$$
• الجزء الأولي من حاصل ضرب كثيرات الحدود هو حاصل ضرب أجزائها الأولية:$${\displaystyle \operatorname {pp} (P_{1}P_{2})=\operatorname {pp} (P_{1})\operatorname {pp} (P_{2}).}$$
• محتوى القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود هو القاسم المشترك الأكبر (في R ) لمحتوياتها:$${\displaystyle c(\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (c(P_{1}),c(P_{2})).}$$
• الجزء الأولي من القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود هو القاسم المشترك الأكبر (في R ) لأجزائها الأولية:$${\displaystyle \operatorname {pp} (\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (\operatorname {pp} (P_{1}),\operatorname {pp} (P_{2})).}$$
• التحليل الكامل لكثير الحدود على R هو ناتج تحليل المحتوى (في R ) وتحليل الجزء الأولي (في حلقة كثير الحدود).

تشير الخاصية الأخيرة إلى أن حساب تحليل محتوى الجزء الأولي لكثير الحدود يُختزل حساب تحليله الكامل إلى تحليل منفصل للمحتوى والجزء الأولي. وهذا أمرٌ ذو أهمية عامة، لأن حساب تحليل محتوى الجزء الأولي لا يتطلب سوى حساب القاسم المشترك الأكبر في R ، وهو عادةً أسهل بكثير من التحليل.

يمكن توسيع تحليل المحتوى الجزئي الأولي ليشمل كثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية على النحو التالي.

بفرض وجود متعددة حدود P ذات معاملات نسبية، يمكن إعادة كتابة معاملاتها بنفس المقام المشترك d ، على النحو التالي:

${\displaystyle P={\frac {Q}{d}},}$

حيث Q دالة كثيرة الحدود ذات معاملات صحيحة. محتوى P هو ناتج قسمة محتوى Q على d ، أي

${\displaystyle c(P)={\frac {c(Q)}{d}},}$

والجزء الأولي من P هو الجزء الأولي من Q :

${\displaystyle \operatorname {pp} (P)=\operatorname {pp} (Q).}$

من السهل إثبات أن هذا التعريف لا يعتمد على اختيار المقام المشترك، وأن تحليل المحتوى إلى أجزاء أولية يظل صالحاً:

${\displaystyle P=c(P)\operatorname {pp} (P).}$

هذا يوضح أن كل متعدد حدود على الأعداد النسبية يرتبط بمتعدد حدود بدائي فريد على الأعداد الصحيحة، وأن خوارزمية إقليدس تسمح بحساب متعدد الحدود البدائي هذا.

نتيجةً لذلك، فإن تحليل كثيرات الحدود في مجموعة الأعداد النسبية يُكافئ تحليل كثيرات الحدود الأولية في مجموعة الأعداد الصحيحة. ولأن كثيرات الحدود ذات المعاملات في حقلٍ ما أكثر شيوعًا من كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، فقد يبدو للوهلة الأولى أن هذا التكافؤ يُمكن استخدامه لتحليل كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة. في الواقع، الحقيقة هي عكس ذلك تمامًا: فكل خوارزمية فعّالة معروفة لتحليل كثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية تستخدم هذا التكافؤ لتبسيط المسألة بتردد عدد أولي p (انظر: تحليل كثيرات الحدود ).

يُستخدم هذا التكافؤ أيضًا لحساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود، على الرغم من أن خوارزمية إقليدس مُصممة لكثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية. في الواقع، في هذه الحالة، تتطلب خوارزمية إقليدس حساب الصورة المُختزلة للعديد من الكسور، مما يجعلها أقل كفاءة من الخوارزميات التي تعمل فقط مع كثيرات الحدود ذات الأعداد الصحيحة (انظر: القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود ).

تظل نتائج القسم السابق صالحة إذا تم استبدال حلقة الأعداد الصحيحة وحقل الأعداد النسبية على التوالي بأي مجال تحليل فريد R وحقل الكسور K الخاص به .

يستخدم هذا عادة لتحليل كثيرات الحدود متعددة المتغيرات ، ولإثبات أن حلقة كثيرات الحدود على مجال تحليل فريد هي أيضًا مجال تحليل فريد.

• نظرية الجذر النسبي

• ب. هارتلي ؛ ت. أو. هوكس (1970). الحلقات، والوحدات، والجبر الخطي . تشابمان وهول. ISBN 0-412-09810-5.
• الصفحة 181 من كتاب لانغ، سيرج (1993)، الجبر ( الطبعة الثالثة)، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي، رقم ISBN  978-0-201-55540-0، Zbl 0848.13001 
• ديفيد شارب (1987). الحلقات والتحليل إلى عوامل . مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 68-69 . ISBN  0-521-33718-6.