العدد الجبري

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة

الجذر التربيعي للعدد 2 هو عدد جبري يساوي طول وتر المثلث القائم الزاوية الذي طول ساقيه 1.

في الرياضيات ، العدد الجبري هو عدد يمثل جذرًا لكثير حدود غير صفري في متغير واحد بمعاملات صحيحة (أو، بشكل مكافئ، نسبية ). على سبيل المثال، النسبة الذهبية(1+5)/2{\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}هو عدد جبري، لأنه جذر لكثير الحدودx2-x-1{\displaystyle x^{2}-x-1}أي حل للمعادلةx2-x-1=0{\displaystyle x^{2}-x-1=0}والعدد المركب1+أنا{\displaystyle 1+i}هو جبري لأنه جذر لكثير الحدودx4+4{\displaystyle x^{4}+4}تشمل الأعداد الجبرية جميع الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والجذور النونية للأعداد الصحيحة .

الأعداد المركبة الجبرية مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة، وبالتالي تشكل حقلاً ، يُرمز إليه بـسؤال¯{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}مجموعة الأعداد الحقيقية الجبريةسؤال¯∩R{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} }وهو أيضاً مجال.

الأعداد غير الجبرية تسمى الأعداد المتسامية وتشمل π و e . يوجد عدد لا نهائي قابل للعد من الأعداد الجبرية، وبالتالي فإن جميع الأعداد الحقيقية (أو المركبة) تقريبًا (بمعنى مقياس لوبيغ ) هي أعداد متسامية.

أمثلة

  • جميع الأعداد النسبية هي أعداد جبرية. أي عدد نسبي، يُعبَّر عنه كحاصل قسمة عدد صحيح a على عدد طبيعي (غير صفري) b ، يحقق التعريف أعلاه، لأن x = a / b هو جذر لكثير حدود غير صفري، وهو bx − a . [ 1 ]
  • الأعداد غير النسبية التربيعية ، وهي الحلول غير النسبية لكثيرة حدود تربيعية ax² + bx + c ذات معاملات صحيحة a و b و c ، هي أعداد جبرية. إذا كانت كثيرة الحدود التربيعية أحادية ( a = 1 )، فإن جذورها تُصنف أيضًا على أنها أعداد صحيحة تربيعية .
    • الأعداد الصحيحة الغاوسية ، وهي الأعداد المركبة التي يكون فيها كل من a و b عددين صحيحين، هي أيضًا أعداد صحيحة تربيعية. وذلك لأن a + bi و a − bi هما جذرا المعادلة التربيعية x² − 2ax + a² + b² .
  • يمكن إنشاء عدد قابل للإنشاء من وحدة طول معينة باستخدام مسطرة وفرجار. ويشمل هذا العدد جميع الجذور التربيعية غير النسبية، وجميع الأعداد النسبية، وجميع الأعداد التي يمكن تكوينها من هذه الجذور باستخدام العمليات الحسابية الأساسية واستخراج الجذور التربيعية. (بتحديد الاتجاهات الأصلية لـ +1، -1، + i ، و- i ، يمكن إنشاء أعداد مركبة مثل3+أنا2{\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}(تُعتبر قابلة للتنفيذ.)
  • أي تعبير يتكون من أعداد جبرية باستخدام أي مجموعة محدودة من العمليات الحسابية الأساسية واستخراج الجذور النونية يعطي عددًا جبريًا آخر.
  • الجذور متعددة الحدود التي لا يمكن التعبير عنها باستخدام العمليات الحسابية الأساسية واستخراج الجذور النونية (مثل جذور x⁵ - x + 1 ). يحدث هذا مع العديد من كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة أو أعلى، ولكن ليس جميعها .
  • قيم الدوال المثلثية لمضاعفات نسبية للعدد π (باستثناء الحالات غير المعرفة): على سبيل المثال، cos π / 7 ، و cos 3π / 7 ، و cos 5π / 7 تحقق المعادلة 8x³ - 4x² - 4x + 1 = 0. هذه كثيرة الحدود غير قابلة للاختزال على الأعداد النسبية ، وبالتالي فإن دوال الجيب التمام الثلاثة هي أعداد جبرية مترافقة . وبالمثل، فإنّ tan ⁠ 3 π / 16 ⁠ ، و tan ⁠ 7 π / 16 ⁠ ، و tan ⁠ 11 π / 16 ⁠ ، و tan ⁠ 15 π / 16 ⁠ تحقق المعادلة غير القابلة للاختزال x 4 − 4 x 3 − 6 x 2 + 4 x + 1 = 0 ، وبالتالي فهي أعداد صحيحة جبرية مترافقة . وهذا يُكافئ الزوايا التي، عند قياسها بالدرجات، تكون أعدادها نسبية. [ 2 ]
  • بعض الأعداد غير النسبية، وليس كلها، هي أعداد جبرية:
    • الأرقام2{\displaystyle {\sqrt {2}}}و332{\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}وهي جبرية لأنها جذور لكثيرات الحدود x 2 − 2 و 8 x 3 − 3 ، على التوالي.
    • النسبة الذهبية φ جبرية لأنها جذر لكثير الحدود x 2 − x − 1 .
    • العددان π و e ليسا عددين جبريين (انظر نظرية ليندمان-فايرشتراس ). [ 3 ]

ملكيات

الأعداد الجبرية على المستوى المركب ملونة حسب الدرجة (برتقالي/أحمر ساطع = 1، أخضر = 2، أزرق = 3، أصفر = 4). النقاط الأكبر تمثل كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة الأصغر.
  • إذا ضُربت كثيرة حدود ذات معاملات نسبية في المضاعف المشترك الأصغر ، فإن كثيرة الحدود الناتجة ذات المعاملات الصحيحة لها نفس الجذور. وهذا يُبين أن العدد الجبري يُمكن تعريفه بشكل مكافئ على أنه جذر لكثيرة حدود ذات معاملات صحيحة أو نسبية.
  • لكل عدد جبري، يوجد متعدد حدود أحادي وحيد ذو معاملات نسبية من أقل درجة ، ويكون هذا العدد جذراً له. يُسمى متعدد الحدود هذا متعدد الحدود الأدنى . إذا كان متعدد الحدود الأدنى من الدرجة n ، يُقال إن العدد الجبري من الدرجة n . على سبيل المثال، جميع الأعداد النسبية من الدرجة 1، والعدد الجبري من الدرجة 2 هو عدد غير نسبي تربيعي .
  • الأعداد الجبرية كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية . وينتج هذا عن حقيقة أنها تحتوي على الأعداد النسبية، والتي هي كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية نفسها.
  • مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد، [ 4 ] [ 5 ] وبالتالي فإن مقياس ليبيغ الخاص بها كمجموعة جزئية من الأعداد المركبة يساوي صفرًا (أي أن الأعداد الجبرية لا تشغل حيزًا في الأعداد المركبة). بعبارة أخرى، فإن "جميع" الأعداد الحقيقية والمركبة تقريبًا هي أعداد متسامية.
  • جميع الأعداد الجبرية قابلة للحساب ، وبالتالي قابلة للتعريف والحساب .
  • بالنسبة للأعداد الحقيقية a و b ، يكون العدد المركب a + bi جبريًا إذا وفقط إذا كان كل من a و b جبريين. [ 6 ]

درجة الامتدادات البسيطة للأعداد النسبية كمعيار للجبرية

لأي​α{\displaystyle \alpha }، وهو امتداد بسيط للأعداد النسبية بواسطةα{\displaystyle \alpha }، ويرمز إليه بـسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}(التي عناصرها هيو(α){\displaystyle f(\alpha )}لو{\displaystyle f}دالة كسرية ذات معاملات كسرية معرفة عندα{\displaystyle \alpha }تكون الدالة من الدرجة المحدودة إذا وفقط إذاα{\displaystyle \alpha }هو عدد جبري.

شرط الدرجة المحدودة يعني وجود مجموعة ثابتة من الأعداد{أأنا}{\displaystyle \{a_{i}\}}ذات عدد محدود من العناصرك{\displaystyle k}مع عناصر فيسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}بحيثسؤال(α)=∑أنا=1كأأناسؤال{\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q} }أي أن كل عنصر من عناصرسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}يمكن كتابتها كمجموع∑أنا=1كأأناqأنا{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}}بالنسبة لبعض المعاملات النسبية{qأنا}{\displaystyle \{q_{i}\}}.

منذأأنا{\displaystyle a_{i}}هم أنفسهم أعضاء فيسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}ويمكن التعبير عن كل منها كمجموع نواتج ضرب الأعداد النسبية وقوى ⁠α{\displaystyle \alpha }وبالتالي ، فإن هذا الشرط يعادل الشرط الذي ينص على أنه بالنسبة لبعض القيم المحدودةن{\displaystyle n}،سؤال(α)={∑أنا=-ننαأناqأنا|qأنا∈سؤال}.{\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )={\biggl \lbrace }\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}\mathbin {\bigg |} q_{i}\in \mathbb {Q} {\biggr \rbrace }.}

الشرط الأخير يعادلαن+1{\displaystyle \alpha ^{n+1}}، وهي نفسها عضو فيسؤال(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}ويمكن التعبير عنها على النحو التالي:∑أنا=-ننαأناqأنا{\displaystyle \textstyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}}بالنسبة لبعض العقلانيين{qأنا}{\displaystyle \{q_{i}\}}، لذاα2ن+1=∑أنا=02نαأناqأنا-ن{\displaystyle \textstyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{in}}أو، على نحو مماثل ،α{\displaystyle \alpha }هو جذر منx2ن+1-∑أنا=02نxأناqأنا-ن{\displaystyle \textstyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{in}}أي عدد جبري له متعددة حدود دنيا من الدرجة التي لا تزيد عن2ن+1{\displaystyle 2n+1}.

وبالمثل، يمكن إثبات أنه لأي مجموعة منتهية من الأعداد الجبريةα1{\displaystyle \alpha _{1}}،α2{\displaystyle \alpha _{2}}...αن{\displaystyle \alpha _{n}}امتداد الحقلسؤال(α1،α2،...αن){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}له درجة محدودة.

مجال

الأعداد الجبرية ملونة حسب الدرجة (أزرق = 4، سماوي = 3، أحمر = 2، أخضر = 1). دائرة الوحدة سوداء.

مجموع وفرق وضرب وقسمة عددين جبريين (إذا كان المقام غير صفري) هو عدد جبري أيضًا:

لأي عددين جبريينα{\displaystyle \alpha }،​​β{\displaystyle \beta }وهذا يتبع مباشرة من حقيقة أن الامتداد البسيطسؤال(γ){\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}، لγ{\displaystyle \gamma }أن يكون إماα+β{\displaystyle \alpha +\beta }،α-β{\displaystyle \alpha -\beta }،αβ{\displaystyle \alpha \beta }أو (لـ)β≠0{\displaystyle \beta \neq 0})α/β{\displaystyle \alpha /\beta }، هو فضاء فرعي خطي من امتداد الحقل ذي الدرجة المحدودةسؤال(α،β){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ,\beta )}وبالتالي فإن لها درجة محدودة في حد ذاتها، ومن ثم يتبع (كما هو موضح أعلاه ) أنγ{\displaystyle \gamma }هو جبري.

ثمة طريقة بديلة لإظهار ذلك وهي بشكل بنائي، باستخدام النتيجة .

وبالتالي تشكل الأعداد الجبرية حقلاً [ 7 ]سؤال¯{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}(يُشار إليه أحيانًا بـأ{\displaystyle \mathbb {A} }، ولكن هذا يشير عادةً إلى حلقة أديل ).

الإغلاق الجبري

كل جذر لمعادلة متعددة الحدود، معاملاته أعداد جبرية، هو جبري أيضًا. ويمكن إعادة صياغة ذلك بالقول إن حقل الأعداد الجبرية مغلق جبريًا . في الواقع، هو أصغر حقل مغلق جبريًا يحتوي على الأعداد النسبية، ولذلك يُسمى الإغلاق الجبري للأعداد النسبية.

يمكن إثبات أن حقل الأعداد الجبرية مغلق جبريًا على النحو التالي: ليكن ⁠β{\displaystyle \beta }أن يكون جذرًا لكثير الحدودα0+α1x+α2x2...+αنxن{\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}}بمعاملات هي أعداد جبريةα0{\displaystyle \alpha _{0}}،α1{\displaystyle \alpha _{1}}،α2{\displaystyle \alpha _{2}}...αن{\displaystyle \alpha _{n}}امتداد الحقلسؤال′≡سؤال(α1،α2،...αن){\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}ثم يكون له درجة محدودة بالنسبة إلىسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }الامتداد البسيطسؤال′(β){\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}ثم يكون له درجة محدودة بالنسبة إلىسؤال′{\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }}(بما أن جميع قوى ⁠β{\displaystyle \beta }يمكن التعبير عنها بقوى تصل إلىβن-1{\displaystyle \beta ^{n-1}}). لذلك،سؤال′(β)=سؤال(β،α1،α2،...αن){\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}كما أن له درجة محدودة فيما يتعلق بـسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }. منذسؤال(β){\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}هو فضاء جزئي خطي منسؤال′(β){\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}كما يجب أن تكون لها درجة محدودة فيما يتعلق بـسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }لذلك​β{\displaystyle \beta }يجب أن يكون عددًا جبريًا.

الأعداد التي تُعرَّف بالجذور

أي عدد يمكن الحصول عليه من الأعداد الصحيحة باستخدام عدد محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ، مع أخذ الجذور النونية (التي قد تكون مركبة) حيث ن عدد صحيح موجب ، هو عدد جبري. لكن العكس ليس صحيحًا: فهناك أعداد جبرية لا يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة. هذه الأعداد هي جذور لكثيرات حدود من الدرجة الخامسة أو أعلى، وهي نتيجة لنظرية غالوا (انظر المعادلات الخماسية ونظرية أبيل-روفيني ). على سبيل المثال، المعادلة: 

x5-x-1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}

له جذر حقيقي فريد، ≈ 1.1673، لا يمكن التعبير عنه من حيث الجذور والعمليات الحسابية فقط.

رقم مغلق

الأعداد الجبرية هي جميع الأعداد التي يمكن تعريفها صراحةً أو ضمنًا بدلالة كثيرات الحدود، بدءًا من الأعداد النسبية. ويمكن تعميم هذا التعريف ليشمل " الأعداد المغلقة "، والتي يمكن تعريفها بطرق مختلفة. وبشكل عام، تُسمى جميع الأعداد التي يمكن تعريفها صراحةً أو ضمنًا بدلالة كثيرات الحدود، والدوال الأسية، واللوغاريتمات " الأعداد الأولية "، وتشمل هذه الأعداد الجبرية، بالإضافة إلى بعض الأعداد المتسامية. وبشكل أدق، يمكن اعتبار الأعداد المعرفة صراحةً بدلالة كثيرات الحدود، والدوال الأسية، واللوغاريتمات - وهذا لا يشمل جميع الأعداد الجبرية، ولكنه يشمل بعض الأعداد المتسامية البسيطة مثل e أو ln  2 .

الأعداد الصحيحة الجبرية

تمثيل مرئي لحقل الأعداد الجبرية (القابل للعد) في المستوى المركب. تشير الألوان إلى معامل العدد الصحيح الرئيسي في كثيرة الحدود التي يمثل العدد جذرًا لها (أحمر = 1، أي الأعداد الصحيحة الجبرية، أخضر = 2، أزرق = 3، أصفر = 4، ...). تصغر النقاط كلما كبرت المعاملات الأخرى وعدد حدود كثيرة الحدود. يظهر في الرسم الأعداد الصحيحة 0 و1 و2 في أسفل اليمين، و+i بالقرب من الأعلى.

العدد الجبري الصحيح هو عدد جبري يمثل جذرًا لكثير حدود ذي معاملات صحيحة ومعامل رئيسي يساوي 1 ( كثير حدود أحادي ). ومن أمثلة الأعداد الجبرية:5+132،{\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}2-6أنا،{\displaystyle 2-6i,}و12(1+أنا3).{\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}لذلك، تشكل الأعداد الصحيحة الجبرية مجموعة شاملة حقيقية للأعداد الصحيحة ، حيث أن الأخيرة هي جذور كثيرات الحدود أحادية المعامل x − k لجميعك∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }وبهذا المعنى، فإن الأعداد الصحيحة الجبرية بالنسبة للأعداد الجبرية هي كما الأعداد الصحيحة بالنسبة للأعداد النسبية .

مجموع وفرق وحاصل ضرب الأعداد الصحيحة الجبرية هي أيضًا أعداد صحيحة جبرية، مما يعني أن الأعداد الصحيحة الجبرية تُشكّل حلقة . يأتي مصطلح " العدد الصحيح الجبري" من حقيقة أن الأعداد النسبية الوحيدة التي تُمثّل أعدادًا صحيحة جبرية هي الأعداد الصحيحة، ولأن الأعداد الصحيحة الجبرية في أي حقل عددي تُشابه الأعداد الصحيحة في نواحٍ عديدة. إذا كان K حقلًا عدديًا، فإن حلقة الأعداد الصحيحة فيه هي الحلقة الفرعية للأعداد الصحيحة الجبرية في K ، ويُرمز لها غالبًا بـ ∑K . هذه أمثلة نموذجية لمجالات ديديكيند .

صفوف خاصة

ملحوظات

  1. ↑ بعض الأمثلة التالية مأخوذة من هاردي ورايت (1972 ، الصفحات 159-160، 178-179) 
  2. ↑ غاريبالدي 2008 .
  3. ↑ كذلك، يمكن استخدام نظرية ليوفيل "لإنتاج أكبر عدد ممكن من الأمثلة على الأعداد المتسامية كما نشاء"، انظر هاردي ورايت (1972 ، ص 161 وما بعدها). 
  4. ↑ هاردي ورايت 1972 ، ص 160، 2008:205.
  5. ↑ نيفن 1956 ، النظرية 7.5..
  6. ↑ نيفن 1956 ، النتيجة 7.3..
  7. ↑ نيفن 1956 ، ص 92.

مراجع