العنصر المرافق (نظرية المجال)

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الحقول ، تُعرف العناصر المترافقة أو المرافقات الجبرية لعنصر جبري α ، على امتداد حقل L / K ، بأنها جذور متعددة الحدود الدنيا pK _{, α} ( x ) للعنصر α على K. ويُطلق على العناصر المترافقة عادةً اسم المرافقات في السياقات التي لا يكون فيها هذا المصطلح غامضًا. وعادةً ما _يكون العنصر α نفسه مُدرجًا ضمن مجموعة مرافقات α .  

بصورة مكافئة (إذا كان L / K حقلاً طبيعياً)، فإن مرافقات α هي صور α تحت تأثير التشاكلات الذاتية للحقل L التي تُبقي عناصر K ثابتة . يُعد تكافؤ التعريفين أحد النقاط الأساسية لنظرية غالوا .

يعمم هذا المفهوم مفهوم الاقتران المركب ، لأن المرافقات الجبرية على${\displaystyle \mathbb {R} }$يتكون العدد المركب من العدد نفسه ومرافقه المركب .

الجذور التكعيبية للوحدة هي:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}$

الجذران الأخيران هما عنصران مترافقان في Q [ i√3 ] مع متعددة حدود دنيا

${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.}$

إذا عُرِفَ K داخل حقل مغلق جبريًا C ، فيمكن أخذ المرافقات داخل C. وإذا لم يُحدَّد حقل C ، فيمكن أخذ المرافقات في حقل صغير نسبيًا L. وأصغر خيار ممكن لـ L هو اختيار حقل تجزئة على K من pK _{, α} ، يحتوي على α . إذا كان L أي امتداد طبيعي لـ K يحتوي على α ، فإنه بحكم التعريف يحتوي بالفعل _على حقل التجزئة هذا.  

إذا كان لدينا امتداد طبيعي L لـ K ، مع زمرة التشاكل الذاتي Aut( L / K ) = G ، ويحتوي على α ، فإن أي عنصر g ( α ) حيث g في G سيكون مرافقًا لـ α ، لأن التشاكل الذاتي g يُعيد جذور p إلى جذور p . وبالعكس، فإن أي مرافق β لـ α يكون على هذا الشكل: بعبارة أخرى، G تؤثر بشكل متعدٍ على المرافقات. ويترتب على ذلك أن K ( α ) متماثل K- مع K ( β ) بسبب عدم اختزال كثير الحدود الأدنى، وأي تشاكل بين الحقلين F و F ' الذي يُسقط كثير الحدود p على p ' يمكن تمديده إلى تشاكل بين حقلي التقسيم لـ p على F و p ' على F ' ، على التوالي.

باختصار، تُوجد العناصر المترافقة لـ α ، في أي امتداد طبيعي L لـ K يحتوي على K ( α )، كمجموعة العناصر g ( α ) لكل g في Aut( L / K ). عدد مرات تكرار كل عنصر في تلك القائمة هو درجة الفصل [ L : K ( α )] _sep .

تنص نظرية كرونكر على أنه إذا كان α عددًا صحيحًا جبريًا غير صفري بحيث تكون القيمة المطلقة لـ α وجميع مرافقاته في الأعداد المركبة على الأكثر 1، فإن α يكون جذرًا للوحدة . وهناك صيغ كمية لهذه النظرية، تُحدد بدقة أكبر حدودًا (تعتمد على الدرجة) لأكبر قيمة مطلقة لمرافق عدد صحيح جبري، مما يعني أن هذا العدد جذر للوحدة.

• ديفيد إس. دوميت، ريتشارد إم. فوت، الجبر المجرد ، الطبعة الثالثة، وايلي، 2004.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العناصر المترافقة" . عالم الرياضيات .