صيغة الانعكاس

في الرياضيات ، تُعرف صيغة الانعكاس أو علاقة الانعكاس للدالة f بأنها العلاقة بين f ( a - x ) و f ( x ) . وهي حالة خاصة من المعادلة الدالية . ومن الشائع في الأدبيات الرياضية استخدام مصطلح "المعادلة الدالية" للإشارة تحديدًا إلى صيغ الانعكاس.

تُعدّ صيغ الانعكاس مفيدةً للحساب العددي للدوال الخاصة . في الواقع، يمكن استخدام تقريب ذي دقة أعلى أو يتقارب فقط على جانب واحد من نقطة الانعكاس (عادةً في النصف الموجب من المستوى المركب ) لجميع الوسائط.

تحقق الدوال الزوجية والفردية ، بحسب التعريف، علاقات انعكاس بسيطة حول a = 0. بالنسبة لجميع الدوال الزوجية،

$${\displaystyle f(-x)=f(x),}$$

وبالنسبة لجميع الدوال الفردية،

$${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$$

ومن العلاقات الشهيرة صيغة أويلر للانعكاس

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

بالنسبة لدالة جاما${\textstyle \Gamma (z)}$، بسبب ليونارد أويلر .

توجد أيضًا صيغة انعكاس لدالة بوليغاما العامة من الرتبة n ، وهي ψ ^{( n )} ( z ) .

$${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$$

وهذا ينبع بشكل بديهي من حقيقة أن دوال بوليغاما تُعرَّف على أنها مشتقات لـ${\textstyle \ln \Gamma }$وبالتالي يرث صيغة الانعكاس.

كما أن اللوغاريتم الثنائي يحقق صيغة انعكاس، ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)}$$

تحقق دالة زيتا لريمان ζ ( z ) ما يلي:

$${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$$

ودالة ريمان Xi ξ ( z ) تحقق

$${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z).}$$

• وايسشتاين، إريك دبليو. "علاقة الانعكاس" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة بوليغاما" . عالم الرياضيات .