المعادلة الوظيفية

في الرياضيات ، تُعرَّف المعادلة الدالية ، بمعناها الأوسع، بأنها معادلة تظهر فيها دالة واحدة أو أكثر كمجاهيل . [ ^{1 ] [ 2 ] لذا} ، فإن المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية هي معادلات دالية. مع ذلك، يُستخدم غالبًا معنى أكثر تحديدًا، حيث تُعرَّف المعادلة الدالية بأنها معادلة تربط بين عدة قيم لنفس الدالة. على سبيل المثال، تتميز الدوال اللوغاريتمية أساسًا بالمعادلة الدالية اللوغاريتمية .${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)}$⁠ .

إذا افترضنا أن مجال الدالة المجهولة هو الأعداد الطبيعية ، تُعتبر الدالة عمومًا متتالية ، وفي هذه الحالة، تُسمى المعادلة الدالية (بالمعنى الأضيق) علاقة تكرارية . لذا ، يُستخدم مصطلح المعادلة الدالية بشكل أساسي للدوال الحقيقية والدوال المركبة . علاوة على ذلك، يُفترض غالبًا شرط سلاسة الحلول، لأنه بدون هذا الشرط، فإن معظم المعادلات الدالية لها حلول غير منتظمة للغاية. على سبيل المثال، دالة غاما هي دالة تحقق المعادلة الدالية.${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$والقيمة الأولية${\displaystyle f(1)=1.}$هناك العديد من الدوال التي تحقق هذه الشروط، لكن دالة جاما هي الدالة الوحيدة التي تكون ميرومورفية في المستوى المركب بأكمله، ومحدبة لوغاريتميًا لـ x الحقيقي والموجب ( نظرية بور-موليروب ).

• يمكن اعتبار العلاقات التكرارية معادلات دالية بدلالة الدوال على الأعداد الصحيحة أو الأعداد الطبيعية، حيث يمكن اعتبار الاختلافات بين مؤشرات الحدود تطبيقًا لمؤثر الإزاحة . على سبيل المثال، العلاقة التكرارية التي تحدد أعداد فيبوناتشي ،${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$، أين${\displaystyle F_{0}=0}$و${\displaystyle F_{1}=1}$
• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$، الذي يميز الدوال الدورية
• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$وهذا ما يميز الدوال الزوجية ، وبالمثل${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$، وهو ما يميز الدوال الفردية
• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$، الذي يميز الجذور التربيعية الوظيفية لدالة ما${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$معادلة كوشي الوظيفية ، التي تحققها التطبيقات الخطية . قد يكون للمعادلة، رهناً ببديهية الاختيار ، حلول غير خطية شاذة أخرى، يمكن إثبات وجودها باستخدام أساس هامل للأعداد الحقيقية.
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),}$تُحقق جميع الدوال الأسية هذه المعادلة . ومثل معادلة كوشي الوظيفية الجمعية، قد يكون لهذه المعادلة أيضًا حلول شاذة وغير متصلة.
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$، مُحققة بواسطة جميع الدوال اللوغاريتمية ، وبالنسبة للوسائط الصحيحة الأولية فيما بينها، الدوال الجمعية
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$، مُحققة بواسطة جميع دوال القوى ، وبالنسبة للوسائط الصحيحة الأولية فيما بينها، الدوال الضربية
• ${\displaystyle f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]}$(معادلة تربيعية أو قانون متوازي الأضلاع )
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2}$( معادلة جينسن الوظيفية )
• ${\displaystyle g(x+y)+g(xy)=2[g(x)g(y)]}$( معادلة دالمبير الوظيفية )
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$( معادلة أبيل )
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$( معادلة شرودر ).
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}}$( معادلة بوتشر ).
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)}$( معادلة جوليا ).
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)}$(ليفي-تشيفيتا)،
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)}$( صيغة جمع الجيب وصيغة جمع الجيب الزائدي )،
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)}$( صيغة جمع جيب التمام )،
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)}$( صيغة جمع جيب التمام الزائدي ).
• قانونا التبديل والتجميع هما معادلات دالية. في شكله المألوف، يُعبَّر عن قانون التجميع بكتابة العملية الثنائية باستخدام الترميز الوسطي .$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$لكن إذا كتبنا f ( a , b ) بدلاً من a ○ b فإن قانون التجميع يبدو أشبه بمعادلة وظيفية تقليدية،$${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).}$$
• المعادلة الوظيفية$${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$يتحقق ذلك بواسطة دالة زيتا لريمان ^{[ a ]} . يشير الحرف الكبير Γ إلى دالة غاما .
• دالة غاما هي الحل الوحيد لنظام المعادلات الثلاث التالي:
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          ( صيغة أويلر للانعكاس )
• المعادلة الوظيفية$${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$حيث a و b و c و d أعداد صحيحة تحقق${\displaystyle ad-bc=1}$، أي${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$= 1، يحدد f على أنه شكل نمطي من الرتبة k .

إحدى السمات المشتركة بين جميع الأمثلة المذكورة أعلاه هي أنه في كل حالة، توجد دالتان أو أكثر معروفتان (أحيانًا الضرب في ثابت، وأحيانًا جمع متغيرين، وأحيانًا دالة التطابق ) داخل وسيط الدوال المجهولة المطلوب حلها.

عند البحث عن جميع الحلول، قد يكون من الضروري تطبيق شروط من التحليل الرياضي ؛ فعلى سبيل المثال، في حالة معادلة كوشي المذكورة أعلاه، تُعتبر الحلول التي تمثل دوالًا متصلة هي الحلول "المعقولة"، بينما يمكن بناء حلول أخرى يُحتمل ألا يكون لها تطبيق عملي (باستخدام أساس هامل للأعداد الحقيقية كفضاء متجهي على الأعداد النسبية ). وتُعدّ نظرية بور-موليروب مثالًا آخر معروفًا.

في البرمجة الديناميكية، يتم استخدام مجموعة متنوعة من طرق التقريب المتتالي ^{[ 4 ] [ 5 ]} لحل معادلة بيلمان الوظيفية ، بما في ذلك الطرق القائمة على تكرارات النقطة الثابتة .

• المعادلة الوظيفية (دالة L)
• معادلة بيلمان
• البرمجة الديناميكية
• دالة ضمنية
• معادلة تفاضلية وظيفية

• يانوش أتشيل ، محاضرات في المعادلات الوظيفية وتطبيقاتها ، دار النشر الأكاديمية ، 1966، أعيد طبعه بواسطة دار نشر دوفر، رقم ISBN 0486445232.
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables , Cambridge University Press , 1989.
• سي. إفثيميو، مقدمة في المعادلات الوظيفية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، 2011، رقم ISBN 978-0-8218-5314-6 ؛ متصل .
• Pl. Kannappan، المعادلات الوظيفية والمتباينات مع التطبيقات ، Springer، 2009.
• ماريك كوزما ، مقدمة في نظرية المعادلات والمتباينات الوظيفية ، الطبعة الثانية، بيركهاوزر، 2009.
• هنريك ستيتكير، المعادلات الوظيفية على المجموعات ، الطبعة الأولى، دار النشر العالمية العلمية، 2013.
• كريستوفر ج. سمول (3 أبريل 2007). المعادلات الوظيفية وكيفية حلها . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-48901-8.

• المعادلات الوظيفية: الحلول الدقيقة في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• المعادلات الوظيفية: فهرس في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• نص موجز المنظمة الدولية للرياضيات (مؤرشف) حول المعادلات الوظيفية في حل المسائل.