المعدلات ذات الصلة

في حساب التفاضل والتكامل ، تتضمن مسائل المعدلات المرتبطة إيجاد معدل تغير كمية ما من خلال ربط تلك الكمية بكميات أخرى معروفة معدلات تغيرها. عادةً ما يكون معدل التغير بالنسبة للزمن . ولأن العلوم والهندسة غالباً ما تربط الكميات ببعضها، فإن طرق المعدلات المرتبطة لها تطبيقات واسعة في هذه المجالات. يتطلب التفاضل بالنسبة للزمن أو لأحد المتغيرات الأخرى تطبيق قاعدة السلسلة ، ^{[ 1 ]} حيث أن معظم المسائل تتضمن عدة متغيرات بالنسبة للمتغير المُدخل.

بشكل أساسي، إذا كانت الدالة${\displaystyle F}$يتم تعريفها بحيث${\displaystyle F=f(x)}$ثم مشتقة الدالة${\displaystyle F}$يمكن أخذها بالنسبة لمتغير آخر. نفترض${\displaystyle x}$هي وظيفة من${\displaystyle t}$، أي${\displaystyle x=g(t)}$. ثم${\displaystyle F=f(g(t))}$، لذا

${\displaystyle F'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t)}$

مكتوبة بنظام لايبنتز، هذا هو:

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}={\frac {df}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}$

وبالتالي، إذا عُرف كيف${\displaystyle x}$التغييرات فيما يتعلق بـ${\displaystyle t}$ثم يمكننا تحديد كيف${\displaystyle F}$التغييرات فيما يتعلق بـ${\displaystyle t}$والعكس صحيح. يمكننا توسيع نطاق تطبيق قاعدة السلسلة ليشمل قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة في حساب التفاضل والتكامل، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle F(x)=G(y)+H(z)}$ثم

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {dG}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dt}}+{\frac {dH}{dz}}\cdot {\frac {dz}{dt}}.}$

الطريقة الأكثر شيوعًا للتعامل مع مشاكل المعدلات المرتبطة هي التالية: ^{[ 2 ]}

1. حدد المتغيرات المعروفة ، بما في ذلك معدلات التغير ومعدل التغير المطلوب إيجاده. (يمكن أن يساعد رسم صورة أو تمثيل للمسألة في الحفاظ على ترتيب جميع العناصر).
2. قم بإنشاء معادلة تربط الكميات التي تُعرف معدلات تغيرها بالكمية التي يُراد إيجاد معدل تغيرها.
3. اشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن (أو أي معدل تغير آخر). غالبًا ما تُستخدم قاعدة السلسلة في هذه الخطوة.
4. قم باستبدال معدلات التغير المعروفة والكميات المعروفة في المعادلة.
5. أوجد معدل التغير المطلوب.

غالباً ما تحدث الأخطاء في هذه العملية نتيجةً لتعويض القيم المعروفة للمتغيرات قبل (بدلاً من بعد) إيجاد المشتقة بالنسبة للزمن. سيؤدي ذلك إلى نتيجة غير صحيحة، لأنه إذا تم تعويض تلك القيم للمتغيرات قبل الاشتقاق، فستصبح تلك المتغيرات ثوابت؛ وعند اشتقاق المعادلة، ستظهر أصفار في مواضع جميع المتغيرات التي تم تعويض قيمها.

سلم طوله ١٠ أمتار مُسند على جدار مبنى، وقاعدة السلم تنزلق مبتعدةً عن المبنى بسرعة ٣ أمتار في الثانية. ما سرعة انزلاق قمة السلم على الجدار عندما تكون قاعدة السلم على بُعد ٦ أمتار من الجدار؟

المسافة بين قاعدة السلم والجدار، x ، وارتفاع السلم على الجدار، y ، يمثلان ضلعين في مثلث قائم الزاوية، حيث يمثل السلم الوتر، h . والهدف هو إيجاد dy / dt ، معدل تغير y بالنسبة للزمن t ، عندما تكون قيم h و x و dx / dt ، معدل تغير x ، معلومة.

الخطوة 1:

• ${\displaystyle x=6}$
• ${\displaystyle h=10}$
• ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3}$
• ${\displaystyle {\frac {dh}{dt}}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\text{?}}}$

الخطوة الثانية: من نظرية فيثاغورس ، المعادلة

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2},}$

يصف هذا العلاقة بين x و y و h ، بالنسبة لمثلث قائم الزاوية. باشتقاق طرفي هذه المعادلة بالنسبة للزمن t ، نحصل على

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(h^{2}\right)}$

الخطوة 3: عند حل المعادلة لإيجاد معدل التغير المطلوب، dy / dt ، نحصل على

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(x^{2}\right)+{\frac {d}{dt}}\left(y^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(h^{2}\right)}$

${\displaystyle (2x){\frac {dx}{dt}}+(2y){\frac {dy}{dt}}=(2h){\frac {dh}{dt}}}$

${\displaystyle x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}=h{\frac {dh}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.}$

الخطوتان 4 و 5: باستخدام المتغيرات من الخطوة 1 نحصل على:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {h{\frac {dh}{dt}}-x{\frac {dx}{dt}}}{y}}.}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {10\times 0-6\times 3}{y}}=-{\frac {18}{y}}.}$

وبحل المعادلة لإيجاد قيمة y باستخدام نظرية فيثاغورس، نحصل على:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=h^{2}}$

${\displaystyle 6^{2}+y^{2}=10^{2}}$

${\displaystyle y=8}$

بإدخال الرقم 8 في المعادلة:

${\displaystyle -{\frac {18}{y}}=-{\frac {18}{8}}=-{\frac {9}{4}}}$

يُفترض عمومًا أن القيم السالبة تمثل الاتجاه الهابط. عند القيام بذلك ، ينزلق الجزء العلوي من السلم على الحائط بمعدل 9/4 متر في الثانية.

نظرًا لأن إحدى الكميات الفيزيائية غالبًا ما تعتمد على أخرى، والتي بدورها تعتمد على غيرها، مثل الزمن، فإن طرق المعدلات المرتبطة لها تطبيقات واسعة في الفيزياء. يقدم هذا القسم مثالًا على حركيات المعدلات المرتبطة والحث الكهرومغناطيسي .

الحركة النسبية لمركبتين

على سبيل المثال، يمكننا النظر في مسألة الحركة حيث تتجه مركبة غربًا نحو تقاطع بسرعة 80 ميلاً في الساعة، بينما تتجه مركبة أخرى شمالًا بعيدًا عن التقاطع بسرعة 60 ميلاً في الساعة. ويمكننا أن نتساءل عما إذا كانت المركبتان تقتربان من بعضهما أم تبتعدان، وبأي معدل، في اللحظة التي تكون فيها المركبة المتجهة شمالًا على بُعد 3 أميال شمال التقاطع، والمركبة المتجهة غربًا على بُعد 4 أميال شرق التقاطع.

الفكرة الرئيسية: استخدام قاعدة السلسلة لحساب معدل تغير المسافة بين مركبتين.

يخطط:

1. اختر نظام الإحداثيات
2. تحديد المتغيرات
3. ارسم صورة
4. الفكرة الرئيسية: استخدام قاعدة السلسلة لحساب معدل تغير المسافة بين مركبتين
5. عبّر عن قيمة c بدلالة x و y باستخدام نظرية فيثاغورس
6. عبّر عن dc / dt باستخدام قاعدة السلسلة بدلالة dx / d t و dy / dt
7. استبدل x و y و dx / dt و dy / dt
8. بسّط.

اختر نظام الإحداثيات: اجعل المحور y يشير إلى الشمال والمحور x يشير إلى الشرق.

تحديد المتغيرات: تعريف y ( t ) على أنها المسافة التي تقطعها المركبة المتجهة شمالاً من نقطة الأصل و x ( t ) على أنها المسافة التي تقطعها المركبة المتجهة غرباً من نقطة الأصل.

عبّر عن قيمة c بدلالة x و y باستخدام نظرية فيثاغورس:

${\displaystyle c=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$

عبّر عن dc / dt باستخدام قاعدة السلسلة بدلالة dx / dt و dy/dt:

${\displaystyle {\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$	قم بتطبيق عامل الاشتقاق على الدالة بأكملها
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}{\frac {d}{dt}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$	الجذر التربيعي خارج الدالة؛ ومجموع المربعات داخل الدالة
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]}$	عامل التفاضل الموزع
${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-1/2}\left[2x{\frac {dx}{dt}}+2y{\frac {dy}{dt}}\right]}$	قم بتطبيق قاعدة السلسلة على x ( t ) و y ( t )}
${\displaystyle ={\frac {x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$	بسّط.

بالتعويض عن x = 4  ميل، و y = 3  ميل، و dx / dt = −80  ميل/ساعة، و dy / dt = 60  ميل/ساعة، ثم بسّط المعادلة.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dc}{dt}}&={\frac {4{\text{ mi}}\cdot (-80{\text{ mi}}/{\text{hr}})+3{\text{ mi}}\cdot (60){\text{mi}}/{\text{hr}}}{\sqrt {(4{\text{ mi}})^{2}+(3{\text{ mi}})^{2}}}}\\&={\frac {-320{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}+180{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&={\frac {-140{\text{ mi}}^{2}/{\text{hr}}}{5{\text{ mi}}}}\\&=-28{\text{ mi}}/{\text{hr}}\end{aligned}}}$

وبالتالي، تقترب المركبتان من بعضهما البعض بمعدل 28  ميلاً في الساعة.