علم الحركة

سرعة الجسيم كمية متجهة تصف اتجاه ومقدار حركته. رياضياً، معدل تغير متجه موضع نقطة ما بالنسبة للزمن هو سرعة تلك النقطة. لنفترض النسبة الناتجة عن قسمة الفرق بين موضعين لجسيم ( الإزاحة ) على الفترة الزمنية. تُسمى هذه النسبة متوسط ​​السرعة خلال تلك الفترة الزمنية ، وتُعرَّف على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {v}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {v}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {v}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$أين${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$يمثل متجه الإزاحة خلال الفترة الزمنية${\displaystyle \Delta t}$في حالة أن الفترة الزمنية${\displaystyle \Delta t}$عندما يقترب من الصفر، يقترب متوسط ​​السرعة من السرعة اللحظية، والتي تُعرَّف بأنها المشتق الزمني لمتجه الموضع. $${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {r} }{{\text{d}}t}}=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$ وبالتالي، فإن سرعة الجسيم هي معدل تغير موضعه بالنسبة للزمن. علاوة على ذلك، تكون هذه السرعة مماسية لمسار الجسيم عند كل نقطة على طول مساره. في إطار مرجعي غير دوار، لا تُؤخذ مشتقات اتجاهات الإحداثيات في الاعتبار لأن اتجاهاتها ومقاديرها ثابتة.

سرعة الجسم هي مقدار سرعته المتجهة. وهي كمية قياسية .$${\displaystyle v=|\mathbf {v} |={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}},}$$ أين${\displaystyle s}$يمثل طول القوس المقاس على طول مسار الجسيم. يجب أن يزداد طول هذا القوس دائمًا مع حركة الجسيم. لذا،${\displaystyle {\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}}$وهي غير سالبة، مما يعني أن السرعة غير سالبة أيضاً.

يمكن أن يتغير متجه السرعة في مقداره واتجاهه، أو كليهما معًا. لذا، يُراعي التسارع معدل تغير مقدار متجه السرعة ومعدل تغير اتجاهه. ويمكن تطبيق المنطق نفسه المُستخدم لتحديد السرعة عند تحديد موضع الجسيم، على السرعة لتحديد التسارع. تسارع الجسيم هو المتجه المُحدد بمعدل تغير متجه السرعة. ويُعرف متوسط ​​تسارع الجسيم خلال فترة زمنية معينة بأنه النسبة بين مقدار واتجاه متجه السرعة. $${\displaystyle \mathbf {\bar {a}} ={\frac {\Delta \mathbf {\bar {v}} }{\Delta t}}={\frac {\Delta {\bar {v}}_{x}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{y}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {y} }}+{\frac {\Delta {\bar {v}}_{z}}{\Delta t}}{\hat {\mathbf {z} }}={\bar {a}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\bar {a}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\bar {a}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}\,}$$ حيث Δ v هي السرعة المتوسطة و Δ t هي الفترة الزمنية.

تسارع الجسيم هو نهاية التسارع المتوسط ​​عندما تقترب الفترة الزمنية من الصفر، وهو ما يُعرف بالمشتق الزمني. $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

بدلاً عن ذلك، $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{(\Delta t)^{2}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{(\Delta t)^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}\mathbf {r} }{{\text{d}}t^{2}}}=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

وبالتالي، فإن التسارع هو المشتق الأول لمتجه السرعة والمشتق الثاني لمتجه الموضع للجسيم. في إطار مرجعي غير دوار، لا تُؤخذ مشتقات اتجاهات الإحداثيات في الاعتبار لأن اتجاهاتها ومقاديرها ثابتة.

مقدار تسارع الجسم هو مقدار متجه تسارعه | a |. وهو كمية قياسية. $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|{\dot {\mathbf {v} }}|={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}$$

متجه الموضع النسبي هو متجه يحدد موضع نقطة ما بالنسبة إلى نقطة أخرى. وهو يمثل الفرق في موضع النقطتين. فموضع النقطة A بالنسبة إلى النقطة B هو ببساطة الفرق بين موضعيهما.

${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}}$

وهو الفرق بين مكونات متجهات موضعها.

إذا كانت النقطة A تحتوي على مكونات موضعية${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)}$

والنقطة ب لها مكونات موضعية${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)}$

إذن، فإن موضع النقطة أ بالنسبة للنقطة ب هو الفرق بين مكوناتهما:${\displaystyle \mathbf {r} _{A/B}=\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B}=\left(x_{A}-x_{B},y_{A}-y_{B},z_{A}-z_{B}\right)}$

سرعة نقطة ما بالنسبة إلى نقطة أخرى هي ببساطة الفرق بين سرعتيهما. $${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}}$$ وهو الفرق بين مكونات سرعاتهم.

إذا كانت النقطة A لها مركبات سرعة${\displaystyle \mathbf {v} _{A}=\left(v_{A_{x}},v_{A_{y}},v_{A_{z}}\right)}$وللنقطة ب مركبات سرعة${\displaystyle \mathbf {v} _{B}=\left(v_{B_{x}},v_{B_{y}},v_{B_{z}}\right)}$إذن، سرعة النقطة أ بالنسبة للنقطة ب هي الفرق بين مركبتيهما: ${\displaystyle \mathbf {v} _{A/B}=\mathbf {v} _{A}-\mathbf {v} _{B}=\left(v_{A_{x}}-v_{B_{x}},v_{A_{y}}-v_{B_{y}},v_{A_{z}}-v_{B_{z}}\right)}$

بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على نفس النتيجة عن طريق حساب المشتق الزمني لمتجه الموضع النسبي r _B/A .

إن تسارع النقطة C بالنسبة إلى النقطة B هو ببساطة الفرق بين تسارعيهما. $${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}}$$ وهو الفرق بين مكونات تسارعها.

إذا كانت النقطة C تحتوي على مركبات تسارع${\displaystyle \mathbf {a} _{C}=\left(a_{C_{x}},a_{C_{y}},a_{C_{z}}\right)}$ والنقطة ب لها مركبات تسارع${\displaystyle \mathbf {a} _{B}=\left(a_{B_{x}},a_{B_{y}},a_{B_{z}}\right)}$ إذن، فإن تسارع النقطة C بالنسبة إلى النقطة B هو الفرق بين مركبتيهما:${\displaystyle \mathbf {a} _{C/B}=\mathbf {a} _{C}-\mathbf {a} _{B}=\left(a_{C_{x}}-a_{B_{x}},a_{C_{y}}-a_{B_{y}},a_{C_{z}}-a_{B_{z}}\right)}$

بافتراض أن الشروط الأولية للموقع،${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$والسرعة${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$في ذلك الوقت${\displaystyle t=0}$إذا كانت هذه القيم معروفة، فإن التكامل الأول يعطي سرعة الجسيم كدالة للزمن. ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (\tau )\,{\text{d}}\tau }$$

يمكن اشتقاق علاقات إضافية بين الإزاحة والسرعة والتسارع والزمن. إذا كان التسارع ثابتًا، $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{t}}}$$يمكن استبدالها في المعادلة أعلاه للحصول على: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+\left({\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\right)t.}$$

يمكن الحصول على علاقة بين السرعة والموقع والتسارع دون اعتماد صريح على الزمن عن طريق حل متوسط ​​التسارع بالنسبة للزمن والتعويض والتبسيط.

$${\displaystyle t={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {a} }}}$$

$${\displaystyle \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}\right)\cdot {\frac {\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}{2}}\ ,}$$ أين${\displaystyle \cdot }$يشير إلى الضرب النقطي ، وهو أمر مناسب لأن الضرب عبارة عن كميات قياسية وليست متجهات. $${\displaystyle 2\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \mathbf {a} =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

يمكن استبدال الضرب النقطي بجيب تمام الزاوية α بين المتجهين (انظر التفسير الهندسي للضرب النقطي لمزيد من التفاصيل) والمتجهين بمقاديرهما، وفي هذه الحالة: $${\displaystyle 2\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha =|\mathbf {v} |^{2}-|\mathbf {v} _{0}|^{2}.}$$

في حالة التسارع، يكون اتجاه الحركة دائمًا في اتجاه الحركة، ويجب أن يكون اتجاه الحركة موجبًا أو سالبًا، وتكون الزاوية بين المتجهين ( α ) تساوي صفرًا، لذا${\displaystyle \cos 0=1}$، و $${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=|\mathbf {v} _{0}|^{2}+2\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|.}$$ يمكن تبسيط ذلك باستخدام الرموز المستخدمة لوصف مقادير المتجهات.${\displaystyle |\mathbf {a} |=a,|\mathbf {v} |=v,|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|=\Delta r}$أين${\displaystyle \Delta r}$يمكن أن يكون أي مسار منحني يتم اتخاذه حيث يتم تطبيق تسارع مماس ثابت على طول هذا المسار ، لذلك $${\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta r.}$$

يُختزل هذا المعادلات البارامترية لحركة الجسيم إلى علاقة ديكارتية بين السرعة والموقع. هذه العلاقة مفيدة عندما يكون الزمن مجهولاً. ونعلم أيضاً أن${\textstyle \Delta r=\int v\,{\text{d}}t}$أو${\displaystyle \Delta r}$هي المساحة تحت منحنى السرعة-الزمن. ^{[ 21 ]}

يمكننا أن نأخذ${\displaystyle \Delta r}$بجمع المساحة العلوية والمساحة السفلية. المساحة السفلية عبارة عن مستطيل، ومساحة المستطيل هي${\displaystyle A\cdot B}$أين${\displaystyle A}$هو العرض و${\displaystyle B}$هو الارتفاع. في هذه الحالة${\displaystyle A=t}$و${\displaystyle B=v_{0}}$(ال${\displaystyle A}$يختلف هذا عن التسارع${\displaystyle a}$وهذا يعني أن المنطقة السفلية${\displaystyle tv_{0}}$والآن، دعونا نجد مساحة الجزء العلوي (المثلث). مساحة المثلث هي${\textstyle {\frac {1}{2}}BH}$أين${\displaystyle B}$هي القاعدة و${\displaystyle H}$هو الارتفاع. ^{[ 22 ]} في هذه الحالة،${\displaystyle B=t}$و${\displaystyle H=at}$أو${\textstyle A={\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{2}}att={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {at^{2}}{2}}}$إضافة${\displaystyle v_{0}t}$و${\textstyle {\frac {at^{2}}{2}}}$ينتج عن ذلك المعادلة${\displaystyle \Delta r}$ينتج عن ذلك المعادلة${\textstyle \Delta r=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$[ ^{23 ] هذه} المعادلة قابلة للتطبيق عندما تكون السرعة النهائية v غير معروفة.

إذا كان مسار الجسيم مقيدًا بالوقوع على أسطوانة، فإن نصف القطر r يكون ثابتًا، وتتبسط متجهات السرعة والتسارع. السرعة v_{_P} هي المشتقة الزمنية للمسار r ( t ). $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}.}$$

تحدث حالة خاصة لمسار الجسيمات على أسطوانة دائرية عندما لا يكون هناك حركة على طول المحور z : $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }},}$$ حيث r و z₀ _{ثابتان . في} هذه الحالة، تُعطى السرعة vₚ بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(r{\hat {\mathbf {r} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}\right)=r\omega {\hat {\mathbf {\theta } }}=v{\hat {\mathbf {\theta } }},}$$ أين${\displaystyle \omega }$هي السرعة الزاوية لمتجه الوحدة θ ^{^} حول المحور z للأسطوانة.

يُعطى تسارع الجسيم _P الآن بالعلاقة التالية :$${\displaystyle \mathbf {a} _{P}={\frac {{\text{d}}(v{\hat {\mathbf {\theta } }})}{{\text{d}}t}}=a{\hat {\mathbf {\theta } }}-v\theta {\hat {\mathbf {r} }}.}$$

المكونات $${\displaystyle a_{r}=-v\theta ,\quad a_{\theta }=a,}$$ وتسمى هذه المكونات، على التوالي، المكونات الشعاعية والمماسية للتسارع.

يُعرَّف رمز السرعة الزاوية والتسارع الزاوي عادةً على النحو التالي:$${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}$$ لذا، تُكتب مركبات التسارع الشعاعي والمماسي للمسارات الدائرية أيضًا على النحو التالي $${\displaystyle a_{r}=-r\omega ^{2},\quad a_{\theta }=r\alpha .}$$

يُحدد موضع أحد مكونات النظام الميكانيكي بالنسبة إلى مكون آخر من خلال إدخال إطار مرجعي، ولنقل M ، على أحدهما يتحرك بالنسبة إلى إطار ثابت، ولنقل F ، على الآخر. ويُحدد التحويل الصلب، أو الإزاحة، لـ M بالنسبة إلى F الموضع النسبي للمكونين. وتتكون الإزاحة من مزيج من الدوران والانتقال .

تُسمى مجموعة جميع إزاحات M بالنسبة إلى F فضاء التكوين لـ M. المنحنى الأملس من موضع إلى آخر في فضاء التكوين هذا هو مجموعة متصلة من الإزاحات، تُسمى حركة M بالنسبة إلى F. تتكون حركة الجسم من مجموعة متصلة من الدورانات والانتقالات.

يمكن تمثيل عملية الدوران والانتقال في المستوى R² بنوع معين من المصفوفات 3×3 المعروفة باسم التحويل المتجانس. يُنشأ التحويل المتجانس 3×3 من مصفوفة دوران 2×2 ^، A ( φ )، ومتجه انتقال 2×1 _، d = ( dx , dy ₎ ، كما يلي: $${\displaystyle [T(\phi ,\mathbf {d} )]={\begin{bmatrix}A(\phi )&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$ تقوم هذه التحويلات المتجانسة بإجراء تحويلات صلبة على النقاط في المستوى z = 1، أي على النقاط ذات الإحداثيات r = ( x , y , 1).

على وجه الخصوص، لنفترض أن r تُعرّف إحداثيات النقاط في إطار مرجعي M منطبق على إطار ثابت F. عندئذٍ، عندما يتم إزاحة أصل M بواسطة متجه الإزاحة d بالنسبة إلى أصل F وتدويره بالزاوية φ بالنسبة إلى المحور x لـ F ، فإن الإحداثيات الجديدة في F للنقاط في M تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathbf {P} =[T(\phi ,\mathbf {d} )]\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &d_{x}\\\sin \phi &\cos \phi &d_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

تمثل التحويلات المتجانسة ^{تحويلات} أفينية . هذه الصياغة ضرورية لأن الإزاحة ليست تحويلاً خطياً للمجموعة R² ^. مع ذلك، باستخدام الهندسة الإسقاطية ، بحيث تُعتبر R² مجموعة جزئية من R³ ^، تصبح الإزاحات تحويلات خطية أفينية. ^{[ 26 ]}

يُتيح هذا وصف الدوران باعتباره الموضع الزاوي لإطار مرجعي مستوٍ M بالنسبة إلى إطار مرجعي ثابت F حول هذا المحور z المشترك. ترتبط الإحداثيات p = ( x , y ) في M بالإحداثيات P = (X, Y) في F من خلال معادلة المصفوفة التالية: $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} ,}$$

أين $${\displaystyle [A(t)]={\begin{bmatrix}\cos(\theta (t))&-\sin(\theta (t))\\\sin(\theta (t))&\cos(\theta (t))\end{bmatrix}},}$$ هي مصفوفة الدوران التي تحدد الموضع الزاوي لـ M بالنسبة إلى F كدالة للزمن.

إذا لم تتحرك النقطة p في المجال M ، فإن سرعتها في المجال F تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}={\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {A}}(t)]\mathbf {p} .}$$ من الملائم حذف الإحداثيات p وكتابة ذلك كعملية على المسار P ( t )، $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {A}}(t)][A(t)^{-1}]\mathbf {P} =[\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ حيث المصفوفة $${\displaystyle [\Omega ]={\begin{bmatrix}0&-\omega \\\omega &0\end{bmatrix}},}$$ تُعرف باسم مصفوفة السرعة الزاوية لـ M بالنسبة إلى F. المعامل ω هو المشتق الزمني للزاوية θ ، أي: $${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}.}$$

يتم الحصول على تسارع P ( t ) في F كمشتقة زمنية للسرعة، $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\ddot {P}}(t)=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ]{\dot {\mathbf {P} }},}$$ والذي يصبح $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=[{\dot {\Omega }}]\mathbf {P} +[\Omega ][\Omega ]\mathbf {P} ,}$$ أين $${\displaystyle [{\dot {\Omega }}]={\begin{bmatrix}0&-\alpha \\\alpha &0\end{bmatrix}},}$$ هي مصفوفة التسارع الزاوي لـ M على F ، و $${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}.}$$

يتضمن وصف الدوران إذن هذه الكميات الثلاث:

• الوضع الزاوي : المسافة الموجهة من نقطة أصل مختارة على محور الدوران إلى نقطة معينة في الجسم هي متجه r ( t ) يحدد موقع تلك النقطة. للمتجه r ( t ) إسقاط (أو ما يعادله، مركبة) _r⊥ ( t ) على مستوى عمودي على محور الدوران. عندئذٍ، _يكون الوضع الزاوي لتلك النقطة هو الزاوية θ من محور مرجعي (عادةً المحور x الموجب ) إلى المتجه r⊥ ( t ) في اتجاه دوران معروف (يُحدد عادةً بقاعدة اليد اليمنى ).
• السرعة الزاوية : السرعة الزاوية ω هي المعدل الذي يتغير به الموضع الزاوي θ بالنسبة للزمن t :$${\displaystyle \omega ={\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}}$$يتم تمثيل السرعة الزاوية في الشكل 1 بواسطة متجه Ω يشير على طول محور الدوران بمقدار ω واتجاه يتم تحديده بواسطة اتجاه الدوران كما هو موضح بقاعدة اليد اليمنى .
• التسارع الزاوي : مقدار التسارع الزاوي α هو المعدل الذي تتغير به السرعة الزاوية ω بالنسبة للزمن t :$${\displaystyle \alpha ={\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}}$$

يمكن بسهولة توسيع معادلات الحركة الانتقالية لتشمل الحركة الدورانية المستوية للتسارع الزاوي الثابت مع تبادلات بسيطة للمتغيرات: $${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }=\omega _{\mathrm {i} }+\alpha t\!}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }=\omega _{\mathrm {i} }t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }={\tfrac {1}{2}}(\omega _{\mathrm {f} }+\omega _{\mathrm {i} })t}$$$${\displaystyle \omega _{\mathrm {f} }^{2}=\omega _{\mathrm {i} }^{2}+2\alpha (\theta _{\mathrm {f} }-\theta _{\mathrm {i} }).}$$

هنا ، يُمثل θᵢ و _θᵢ على _{التوالي} الموضعين الزاويين الابتدائي والنهائي، بينما _{يُمثل ωᵢ} و ωᵢ على التوالي السرعتين الزاويتين الابتدائية والنهائية، و α هو التسارع الزاوي الثابت. على الرغم من أن الموضع في الفضاء والسرعة في الفضاء كلاهما متجهان حقيقيان (من حيث خصائصهما أثناء الدوران)، كما هو الحال مع السرعة الزاوية، فإن الزاوية نفسها ليست متجهًا حقيقيًا.

لتعريف هذه الصيغ، تُعرَّف حركة المكون B لنظام ميكانيكي بمجموعة الدورانات [A( t )] والانتقالات d ( t ) المُجمَّعة في التحويل المتجانس [T( t )]=[A( t ), d ( t )]. إذا كانت p إحداثيات نقطة P في B مُقاسة في الإطار المرجعي المتحرك M ، فإن مسار هذه النقطة المُتتبَّع في F يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[T(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$ لا يميز هذا الترميز بين P = (X, Y, Z, 1) و P = (X, Y, Z)، وهو أمر واضح في السياق.

يمكن عكس هذه المعادلة الخاصة بمسار النقطة P لحساب متجه الإحداثيات p في M على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {p} =[T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)={\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)^{\text{T}}&-A(t)^{\text{T}}\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}.}$$ يعتمد هذا التعبير على حقيقة أن منقولة مصفوفة الدوران هي أيضًا معكوسها، أي: $${\displaystyle [A(t)]^{\text{T}}[A(t)]=I.\!}$$

يتم الحصول على سرعة النقطة P على طول مسارها P ( t ) كمشتق زمني لمتجه الموضع هذا، $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[{\dot {T}}(t)]\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}=\left({\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}A(t)&\mathbf {d} (t)\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\mathbf {d} }}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {p} \\1\end{bmatrix}}.}$$ تشير النقطة إلى المشتقة بالنسبة للزمن؛ ولأن p ثابت، فإن مشتقته تساوي صفرًا.

يمكن تعديل هذه الصيغة للحصول على سرعة النقطة P من خلال تطبيقها على مسارها P ( t ) المقاس في الإطار الثابت F. وبتعويض التحويل العكسي لـ p في معادلة السرعة، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{P}&=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}\mathbf {P} (t)\\[4pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{P}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&\mathbf {d} \\0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}&{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}A^{-1}{\begin{bmatrix}1&-\mathbf {d} \\0&A\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{-1}&-{\dot {A}}A^{-1}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}{\dot {A}}A^{\text{T}}&-{\dot {A}}A^{\text{T}}\mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} (t)\\1\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {v} _{P}&=[S]\mathbf {P} .\end{aligned}}}$$ المصفوفة [ S ] معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +{\dot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ أين $${\displaystyle [\Omega ]={\dot {A}}A^{\text{T}},}$$ هي مصفوفة السرعة الزاوية.

وبضربها في المؤثر [ S ]، _تأخذ صيغة السرعة vP الشكل التالي: $${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=[\Omega ](\mathbf {P} -\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }}=\omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {v} _{O},}$$ حيث يمثل المتجه ω متجه السرعة الزاوية المُستخرج من مكونات المصفوفة [Ω]؛ المتجه $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ يمثل موضع النقطة P بالنسبة إلى نقطة الأصل O للإطار المتحرك M ؛ و $${\displaystyle \mathbf {v} _{O}={\dot {\mathbf {d} }},}$$هي سرعة نقطة الأصل O.

يتم الحصول على تسارع النقطة P في جسم متحرك B كمشتق زمني لمتجه سرعته: $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{P}={\frac {d}{dt}}\left([S]\mathbf {P} \right)=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S]{\dot {\mathbf {P} }}=[{\dot {S}}]\mathbf {P} +[S][S]\mathbf {P} .}$$

يمكن توسيع هذه المعادلة أولاً عن طريق حساب $${\displaystyle [{\dot {S}}]={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega {\dot {\mathbf {d} }}+{\ddot {\mathbf {d} }}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {\Omega }}&-{\dot {\Omega }}\mathbf {d} -\Omega \mathbf {v} _{O}+\mathbf {A} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}}$$ و $${\displaystyle [S]^{2}={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega \mathbf {d} +\mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}\Omega ^{2}&-\Omega ^{2}\mathbf {d} +\Omega \mathbf {v} _{O}\\0&0\end{bmatrix}}.}$$

يمكن الآن الحصول على صيغة التسارع A _{P على النحو التالي:}$${\displaystyle \mathbf {A} _{P}={\dot {\Omega }}(\mathbf {P} -\mathbf {d} )+\mathbf {A} _{O}+\Omega ^{2}(\mathbf {P} -\mathbf {d} ),}$$ أو $${\displaystyle \mathbf {A} _{P}=\alpha \times \mathbf {R} _{P/O}+\omega \times \omega \times \mathbf {R} _{P/O}+\mathbf {A} _{O},}$$ حيث α هو متجه التسارع الزاوي الذي تم الحصول عليه من مشتق متجه السرعة الزاوية؛ $${\displaystyle \mathbf {R} _{P/O}=\mathbf {P} -\mathbf {d} ,}$$ يمثل متجه الموضع النسبي (موضع النقطة P بالنسبة إلى نقطة الأصل O للإطار المتحرك M )؛ و $${\displaystyle \mathbf {A} _{O}={\ddot {\mathbf {d} }}}$$يمثل تسارع نقطة الأصل للإطار المتحرك M.

يقيد الاقتران الحركي بدقة جميع درجات الحرية الست.

يخضع الجسم الذي يتدحرج على سطح ما دون انزلاق للشرط التالي: أن سرعة مركز كتلته تساوي حاصل الضرب الاتجاهي لسرعته الزاوية مع متجه من نقطة التلامس إلى مركز الكتلة: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{G}(t)={\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{G/O}.}$$

أما في حالة الجسم الذي لا يميل أو يدور، فإن هذا يختزل إلى${\displaystyle v=r\omega }$.

هذه هي الحالة التي تتصل فيها الأجسام بحبل مثالي يبقى مشدودًا ولا يتغير طوله. القيد هو أن مجموع أطوال جميع أجزاء الحبل يساوي الطول الكلي، وبالتالي فإن المشتقة الزمنية لهذا المجموع تساوي صفرًا. ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} من المسائل الديناميكية من هذا النوع البندول . مثال آخر هو طبلة تدور بفعل قوة الجاذبية على ثقل ساقط متصل بحافتها بواسطة حبل غير قابل للتمدد. ^{[ 31 ]} من مسائل التوازن (أي ليست حركية) من هذا النوع السلسلة . ^{[ 32 ]}

أطلق رولو على الوصلات المثالية بين المكونات التي تُشكّل أزواجًا حركية اسم "الأزواج الحركية" . وميّز بين الأزواج العليا التي يُقال إن لها تلامسًا خطيًا بين الوصلتين، والأزواج الدنيا التي لها تلامسًا مساحيًا بين الوصلتين. يُبيّن ج. فيليبس أن هناك طرقًا عديدة لإنشاء أزواج لا تندرج ضمن هذا التصنيف البسيط. ^{[ 33 ]}

تُعرف الأجسام الصلبة ("الوصلات") المتصلة بأزواج حركية ("المفاصل") بالسلاسل الحركية . تُعد الآليات والروبوتات أمثلة على السلاسل الحركية. تُحسب درجة حرية السلسلة الحركية من عدد الوصلات وعدد ونوع المفاصل باستخدام معادلة الحركة . يمكن أيضًا استخدام هذه المعادلة لحصر طوبولوجيات السلاسل الحركية التي لها درجة حرية معينة، وهو ما يُعرف بتوليف الأنواع في تصميم الآلات.