المرونة (الرياضيات)

في النمذجة الرياضية ، تشير المرونة إلى قدرة النظام الديناميكي على التعافي من الاضطرابات والعودة إلى حالته المستقرة الأصلية . ^{[ 1 ]} وهي مقياس لاستقرار النظام وقوته في مواجهة التغيرات أو الاضطرابات. إذا لم يكن النظام مرنًا بما فيه الكفاية، فإنه يكون أكثر عرضة للاضطرابات ويمكن أن يمر بسهولة أكبر بانتقال حرج . من التشبيهات الشائعة المستخدمة لشرح مفهوم مرونة التوازن تشبيه الكرة في وادٍ. تتوافق حالة الاستقرار المرنة مع كرة في وادٍ عميق، لذا فإن أي دفع أو اضطراب سيؤدي بسرعة كبيرة إلى عودة الكرة إلى نقطة السكون التي بدأت منها. من ناحية أخرى، تتوافق حالة الاستقرار الأقل مرونة مع كرة في وادٍ ضحل، لذا ستستغرق الكرة وقتًا أطول بكثير للعودة إلى حالة التوازن بعد حدوث اضطراب.

يُعدّ مفهوم المرونة مفيدًا بشكل خاص في الأنظمة التي تُظهر نقاط تحوّل حاسمة ، والتي يمتد تاريخ دراستها إلى نظرية الكوارث . ورغم أن هذه النظرية حظيت في البداية باهتمام مبالغ فيه وفقدت شعبيتها، إلا أن أساسها الرياضي لا يزال قويًا، ويُعترف الآن بأهميتها في العديد من الأنظمة المختلفة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

في عام 1973، اقترح عالم البيئة الكندي سي إس هولينغ تعريفًا للمرونة في سياق النظم البيئية. ووفقًا لهولينغ، فإن المرونة هي "مقياس لاستمرارية النظم وقدرتها على استيعاب التغيرات والاضطرابات مع الحفاظ على العلاقات نفسها بين المجموعات السكانية أو متغيرات الحالة". ميّز هولينغ نوعين من المرونة: المرونة الهندسية والمرونة البيئية . ^{[ 4 ]} تشير المرونة الهندسية إلى قدرة النظام على العودة إلى حالته الأصلية بعد حدوث اضطراب، مثل جسر يمكن إصلاحه بعد زلزال. أما المرونة البيئية، فتشير إلى قدرة النظام على الحفاظ على هويته ووظيفته رغم حدوث اضطراب، مثل غابة يمكنها التجدد بعد حريق غابات مع الحفاظ على تنوعها البيولوجي وخدمات نظامها البيئي . مع مرور الوقت، شهد مفهوم المرونة، الذي كان واضحًا ومحددًا بدقة، تآكلًا تدريجيًا في وضوحه، ليصبح أكثر غموضًا وأقرب إلى مصطلح شامل منه إلى مقياس محدد وملموس. ^{[ 5 ]}

رياضياً، يمكن تقريب المرونة بمعكوس زمن العودة إلى حالة التوازن ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} المعطى بواسطة

${\displaystyle {\text{resilience}}\equiv -{\text{Re}}(\lambda _{1}({\textbf {A}}))}$

أين${\textstyle \lambda _{1}}$هي القيمة الذاتية القصوى للمصفوفة${\textstyle {\textbf {A}}}$.

كلما زادت هذه القيمة، زادت سرعة عودة النظام إلى حالة الاستقرار الأصلية، أو بعبارة أخرى، زادت سرعة اضمحلال الاضطرابات. ^{[ 9 ]}

في علم البيئة ، قد تشير المرونة إلى قدرة النظام البيئي على التعافي من الاضطرابات كالحرائق والجفاف أو دخول الأنواع الغازية. النظام البيئي المرن هو القادر على التكيف مع هذه التغيرات والاستمرار في العمل، بينما قد يتعرض النظام البيئي الأقل مرونة لأضرار لا يمكن إصلاحها أو الانهيار. ^{[ 10 ]} ظل التعريف الدقيق للمرونة غامضًا في التطبيقات العملية، مما أدى إلى تطبيق بطيء ودقيق لمفاهيمها في إدارة النظم البيئية. ^{[ 11 ]}

في علم الأوبئة ، قد تشير المرونة إلى قدرة مجتمع سليم على التعافي من دخول أفراد مصابين. أي أن النظام المرن يكون أكثر عرضة للبقاء في حالة توازن خالية من المرض بعد غزو عدوى جديدة. تُظهر بعض الأنظمة المستقرة تباطؤًا حرجًا ، حيث تتناقص مرونتها مع اقترابها من معدل التكاثر الأساسي 1، وبالتالي تستغرق وقتًا أطول للعودة إلى حالة الاستقرار الخالية من المرض. ^{[ 12 ]}

تُعدّ المرونة مفهومًا هامًا في دراسة الأنظمة المعقدة ، حيث تتفاعل العديد من المكونات التي قد تؤثر على بعضها البعض بطرق غير متوقعة. ^{[ 13 ]} يمكن استخدام النماذج الرياضية لاستكشاف مرونة هذه الأنظمة وتحديد استراتيجيات لتحسينها في مواجهة التغيرات البيئية أو غيرها. على سبيل المثال، عند نمذجة الشبكات، من المهم غالبًا قياس مرونة الشبكة، أو متانتها ، في مواجهة فقدان العقد. تتميز الشبكات غير المقياسية بمرونة عالية ^{[ 14 ]} نظرًا لأن معظم عقدها تحتوي على عدد قليل من الروابط. هذا يعني أنه في حال إزالة بعض العقد عشوائيًا، فمن المرجح أن تُزال العقد ذات الروابط الأقل، مما يحافظ على الخصائص الرئيسية للشبكة. ^{[ 15 ]}

• مرونة الهندسة
• المرونة البيئية
• مرحلة انتقالية حاسمة
• نظرية التشعب