Risk dominance

Risk dominance and payoff dominance are two related refinements of the Nash equilibrium (NE) solution concept in game theory, defined by John Harsanyi and Reinhard Selten. A Nash equilibrium is considered payoff dominant if it is Pareto superior to all other Nash equilibria in the game.¹ When faced with a choice among equilibria, all players would agree on the payoff dominant equilibrium since it offers to each player at least as much payoff as the other Nash equilibria. Conversely, a Nash equilibrium is considered risk dominant if it has the largest basin of attraction (i.e. is less risky). This implies that the more uncertainty players have about the actions of the other player(s), the more likely they will choose the strategy corresponding to it.

The payoff matrix in Figure 1 provides a simple two-player, two-strategy example of a game with two pure Nash equilibria. The strategy pair (Hunt, Hunt) is payoff dominant since payoffs are higher for both players compared to the other pure NE, (Gather, Gather). On the other hand, (Gather, Gather) risk dominates (Hunt, Hunt) since if uncertainty exists about the other player's action, gathering will provide a higher expected payoff. The game in Figure 1 is a well-known game-theoretic dilemma called stag hunt. The rationale behind it is that communal action (hunting) yields a higher return if all players combine their skills, but if it is unknown whether the other player helps in hunting, gathering might turn out to be the better individual strategy for food provision, since it does not depend on coordinating with the other player. In addition, gathering alone is preferred to gathering in competition with others. Like the Prisoner's dilemma, it provides a reason why collective action might fail in the absence of credible commitments.

تُعتبر اللعبة الموضحة في الشكل 2 لعبة تنسيق إذا تحققت متباينات العوائد التالية للاعب 1 (الصفوف): A > B، D > C، وللاعب 2 (الأعمدة): a > b، d > c. وبالتالي، فإن زوجي الاستراتيجيات (H،  H) و(G، G) هما توازنا ناش الخالصين  الوحيدان . إضافةً إلى ذلك، يوجد توازن ناش مختلط حيث يلعب اللاعب 1 الاستراتيجية H باحتمال p = (dc)/(ab-c+d) والاستراتيجية G باحتمال 1–p؛ بينما يلعب اللاعب 2 الاستراتيجية H باحتمال q = (DC)/(AB-C+D) والاستراتيجية G باحتمال 1–q.

تتفوق عوائد زوج الاستراتيجية (H،  H) على (G، G) إذا كان A ≥ D، و a ≥ d، وكان أحد الاثنين على الأقل متباينة صارمة: A > D أو a > d.         

تتفوق استراتيجية الزوج (G,  G) على استراتيجية الزوج (H,  H) من حيث المخاطرة إذا كان حاصل ضرب خسائر الانحراف أعلى في حالة الزوج (G,  G) (هارساني وسيلتن، 1988، المبرهنة 5.4.4). بعبارة أخرى، إذا تحققت المتباينة التالية: ⁽ C – D)(c – d)≥(B – A)(b – a) . إذا كانت المتباينة صارمة، فإن الزوج (G,  G) يتفوق بشكل صارم على الزوج (H,  H) من حيث المخاطرة. (أي أن لدى اللاعبين حافزًا أكبر للانحراف).

إذا كانت اللعبة متناظرة، أي إذا كان A  =  a وB  =  b، وهكذا، فإن المتباينة تسمح بتفسير بسيط: نفترض أن اللاعبين غير متأكدين من الاستراتيجية التي سيختارها الخصم، ونُحدد احتمالات لكل استراتيجية. إذا حدد كل لاعب احتمالات ½ لكل من H وG، فإن  مخاطرة (G, G) تفوق مخاطرة (H,  H) إذا كان العائد المتوقع من لعب G يتجاوز العائد المتوقع من لعب H: ½ B + ½ D ≥ ½ A + ½ C ، أو ببساطة B + D ≥ A + C.

هناك طريقة أخرى لحساب توازن المخاطرة المهيمن، وهي حساب عامل المخاطرة لجميع التوازنات، ثم إيجاد التوازن ذي أقل عامل مخاطرة. لحساب عامل المخاطرة في لعبتنا ثنائية الأبعاد (2×2)، لنفترض العائد المتوقع للاعب إذا لعب الخيار H:${\displaystyle E[\pi _{H}]=pA+(1-p)C}$(حيث p هي احتمالية أن يلعب اللاعب الآخر H)، وقارنها بالعائد المتوقع إذا لعب G:${\displaystyle E[\pi _{G}]=pB+(1-p)D}$إن قيمة p التي تجعل هاتين القيمتين المتوقعتين متساويتين هي عامل المخاطرة للتوازن (H,  H)، مع${\displaystyle 1-p}$عامل المخاطرة للعب (G,  G). يمكنك أيضًا حساب عامل المخاطرة للعب (G,  G) بإجراء نفس العملية الحسابية، ولكن بتحديد p كاحتمالية أن يلعب اللاعب الآخر G. تفسير p هو أنه أقل احتمالية أن يلعب الخصم تلك الاستراتيجية بحيث يكون عائد اللاعب من نسخ استراتيجية الخصم أكبر من عائده من لعب الاستراتيجية الأخرى.

أثبتت العديد من المناهج التطورية أنه عند اللعب ضمن مجموعة كبيرة من اللاعبين، قد يفشل اللاعبون في اتباع استراتيجية التوازن التي يهيمن عليها العائد، وينتهي بهم المطاف بدلاً من ذلك إلى توازن يهيمن عليه العائد والمخاطرة. يدعم نموذجان تطوريان منفصلان فكرة أن توازن يهيمن عليه المخاطرة هو الأكثر احتمالاً للحدوث. يتنبأ النموذج الأول، القائم على ديناميكيات التكرار ، بأن المجموعة أكثر ميلاً لتبني توازن يهيمن عليه المخاطرة من توازن يهيمن عليه العائد. أما النموذج الثاني، القائم على مراجعة استراتيجية الاستجابة المثلى والطفرة ، فيتنبأ بأن حالة يهيمن عليها المخاطرة هي التوازن الوحيد المستقر عشوائياً . يفترض كلا النموذجين لعب عدة ألعاب ثنائية اللاعبين ضمن مجموعة من N لاعباً. يتم اختيار اللاعبين عشوائياً لمواجهة خصومهم، حيث يمتلك كل لاعب احتمالات متساوية لمواجهة أي من اللاعبين الآخرين البالغ عددهم N - 1. يبدأ اللاعبون باستراتيجية خالصة، إما G أو H، ويلعبون بهذه الاستراتيجية ضد خصومهم. في ديناميكيات التكرار، تتكرر لعبة السكان في أجيال متتالية، حيث تتغير المجموعات الفرعية بناءً على نجاح استراتيجياتها المختارة. وكأفضل استجابة، يُحدّث اللاعبون استراتيجياتهم لتحسين العوائد المتوقعة في الأجيال اللاحقة. وقد أدرك كاندوري، ومايلات، وروب (1993) ويونغ (1993) أنه إذا سمحت قاعدة تحديث الاستراتيجية بحدوث طفرة ^، وتلاشى احتمال حدوث الطفرة، أي أنه يصل إلى الصفر تدريجيًا مع مرور الوقت، فإن احتمال الوصول إلى توازن يهيمن عليه المخاطرة يقترب من الواحد، حتى لو كان هذا التوازن يهيمن عليه العائد. ^أما إذا استخدم اللاعبون قواعد قائمة على التقليد لتحديث استراتيجياتهم، فقد تظهر أنماط يهيمن عليها العائد عندما تقترب معدلات الخطأ من الصفر (انظر على سبيل المثال روبسون وفيغا-ريدوندو 1996 أو ألوس-فيرير ووايدنهولزر 2008).

• ^1 يكون توازن ناش الوحيد مسيطرًا بشكل بديهي على العائد والمخاطرة إذا كان هو توازن ناش الوحيد في اللعبة.
• ^2 توجد فروق مماثلة بين التعريف الصارم والضعيف لمعظم التعريفات هنا، ولكن لا يتم الإشارة إليها بشكل صريح إلا عند الضرورة.
• ^3 يقترح هارساني وسيلتن (1988) أن التوازن المهيمن على العائد هو الخيار العقلاني في لعبة صيد الغزلان، ومع ذلك تراجع هارساني (1995) عن هذا الاستنتاج ليأخذ هيمنة المخاطر كمعيار الاختيار ذي الصلة.

• صموئيل بولز: الاقتصاد الجزئي: السلوك والمؤسسات والتطور ، مطبعة جامعة برينستون، الصفحات  45-46 (2004) ISBN 0-691-09163-3
• درو فودنبرغ وديفيد ك. ليفين: نظرية التعلم في الألعاب ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، ص  27 (1999) ISBN 0-262-06194-5
• جون سي. هارساني: " نظرية جديدة لاختيار التوازن للألعاب ذات المعلومات الكاملة "، الألعاب والسلوك الاقتصادي 8، ص  91-122 (1995)
• جون سي. هارساني وراينهارد سيلتن: نظرية عامة لاختيار التوازن في الألعاب ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (1988) ISBN 0-262-08173-3
• ميتشيهيرو كاندوري ، وجورج ج. مايلات، ورافائيل روب : "التعلم، والطفرة، والتوازنات طويلة الأجل في الألعاب"، مجلة Econometrica ، المجلد 61، الصفحات  29-56 (1993). ملخص
• روجر ب. مايرسون: نظرية الألعاب، تحليل الصراع ، مطبعة جامعة هارفارد، الصفحات  118-119 (1991) ISBN 0-674-34115-5
• لاري سامويلسون : الألعاب التطورية واختيار التوازن ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (1997) ISBN 0-262-19382-5
• إتش. بيتون يونغ: "تطور الأعراف"، مجلة إيكونومتريكا ، 61، ص  57-84 (1993) ملخص
• إتش. بيتون يونغ: الاستراتيجية الفردية والبنية الاجتماعية ، مطبعة جامعة برينستون (1998) ISBN 0-691-08687-7
• روبسون، آرثر جيه، وفرناندو فيغا-ريدوندو. "الاختيار الأمثل للتوازن في الألعاب التطورية مع المطابقة العشوائية." مجلة النظرية الاقتصادية 70، العدد 1 (1996): 65-92.
• ألوس فيرير، كارلوس، وسيمون وايدنهولزر. “العدوى والكفاءة”. مجلة النظرية الاقتصادية 143، العدد. 1 (2008): 251-274.