الاستراتيجية (نظرية الألعاب)

في نظرية الألعاب التطبيقية، يُعدّ تعريف مجموعات الاستراتيجيات جزءًا أساسيًا من فنّ جعل اللعبة قابلة للحل وذات مغزى في آنٍ واحد. يستطيع مُنظّر الألعاب استخدام معرفته بالمشكلة العامة، أي الاحتكاك بين لاعبين أو أكثر، لتقييد مساحات الاستراتيجيات، وتسهيل الحل.

على سبيل المثال، في لعبة الإنذار النهائي، يمكن للاعب، بالمعنى الدقيق، أن يتبنى استراتيجيات مثل: رفض العروض التي قيمتها (1 دولار، 3 دولارات، 5 دولارات، ...، 19 دولارًا)، وقبول العروض التي قيمتها (0 دولار، 2 دولار، 4 دولارات، ...، 20 دولارًا) . إن تضمين كل هذه الاستراتيجيات يُنشئ نطاقًا واسعًا جدًا من الاستراتيجيات، ويُشكل مشكلة معقدة نوعًا ما. قد يعتقد مُنظّر الألعاب، بدلًا من ذلك، أنه يُمكنه حصر مجموعة الاستراتيجيات في: {رفض أي عرض ≤ x ، قبول أي عرض > x ؛ لكل x في (0 دولار، 1 دولار، 2 دولار، ...، 20 دولارًا)}.

في ركلة الجزاء في كرة القدم، يجب على اللاعب المُسدِّد اختيار ما إذا كان سيسدد إلى يمين المرمى أو يساره، وفي الوقت نفسه، يجب على حارس المرمى تحديد اتجاه صدّها. كما أن لكل لاعب اتجاهًا يُجيد التسديد فيه، وهو اليسار إذا كان يستخدم قدمه اليمنى. يوضح مصفوفة لعبة كرة القدم هذه الحالة، وهي شكل مُبسَّط من اللعبة التي درسها تشيابوري وليفيت وغروسيكلوز (2002). ^{[ 3 ]} تفترض هذه المصفوفة أنه إذا خمن حارس المرمى بشكل صحيح، فسيتم صدّ الركلة، وهو ما يُعادل عائدًا أساسيًا قدره 0 لكلا اللاعبين. أما إذا خمن حارس المرمى بشكل خاطئ، فإن احتمال دخول الركلة المرمى يكون أكبر إذا كانت إلى اليسار (عائد +2 للمُسدِّد و-2 لحارس المرمى) مقارنةً بما إذا كانت إلى اليمين (عائد أقل +1 للمُسدِّد و-1 لحارس المرمى).

لا يوجد في هذه اللعبة توازن استراتيجي بحت، لأن أحد اللاعبين سينحرف عن أي نمط من الاستراتيجيات - على سبيل المثال، (يسار، يسار) ليس توازنًا لأن اللاعب الذي يقوم بالركل سينحرف إلى اليمين ويزيد من عائده من 0 إلى 1.

يُستنتج توازن الاستراتيجية المختلطة للرامي من حقيقة أنه سيتجنب العشوائية ما لم تتساوى عوائده من الركلة اليسرى والركلة اليمنى تمامًا. إذا مال حارس المرمى إلى اليسار باحتمالية g، فإن العائد المتوقع للرامي من الركلة اليسرى هو g(0) + (1-g)(2)، ومن الركلة اليمنى هو g(1) + (1-g)(0). وبمساواة هذين العائدين، نحصل على g = 2/3. وبالمثل، فإن حارس المرمى مستعد للعب العشوائية فقط إذا اختار الرامي احتمالية الاستراتيجية المختلطة k بحيث يكون عائد الميل إلى اليسار k(0) + (1-k)(-1) مساويًا لعائد الميل إلى اليمين k(-2) + (1-k)(0)، وبالتالي k = 1/3. ومن ثم، يكون توازن الاستراتيجية المختلطة هو (احتمالية الركلة اليسرى = 1/3، احتمالية الميل إلى اليسار = 2/3).

في حالة التوازن، يسدد اللاعب الكرة إلى جهة أفضل لديه في ثلث الحالات فقط. وذلك لأن حارس المرمى يراقب تلك الجهة بشكل أكبر. كذلك، في حالة التوازن، لا يبالي اللاعب باتجاه التسديد، ولكن لكي يتحقق التوازن، يجب أن يختار احتمالًا مقداره 1/3 بالضبط.

يحاول تشيابوري وليفيت وغروسكلوز قياس مدى أهمية ركل الكرة إلى الجهة المفضلة لدى اللاعب، مع إضافة ركلات منتصف الملعب، وغيرها، ودراسة سلوك اللاعبين المحترفين في الواقع. وقد وجدوا أن اللاعبين يسددون الكرة إلى الجهة المفضلة لديهم بنسبة 45%، بينما يميل حراس المرمى إلى تلك الجهة بنسبة 57%. وتُعدّ مقالتهم مثالًا معروفًا على كيفية استخدام الناس في الحياة الواقعية لاستراتيجيات متنوعة.

في بحثه الشهير، أثبت جون فوربس ناش وجود توازن لكل لعبة محدودة. يمكن تقسيم توازنات ناش إلى نوعين: توازنات ناش للاستراتيجيات البحتة ، وهي التوازنات التي يتبع فيها جميع اللاعبين استراتيجيات بحتة؛ وتوازنات ناش للاستراتيجيات المختلطة ، وهي التوازنات التي يتبع فيها لاعب واحد على الأقل استراتيجية مختلطة. مع أن ناش أثبت أن لكل لعبة محدودة توازن ناش، إلا أن ليس جميعها يمتلك توازنات ناش للاستراتيجيات البحتة. على سبيل المثال، لعبة " مطابقة البنسات" لا تمتلك توازن ناش للاستراتيجيات البحتة . مع ذلك، تمتلك العديد من الألعاب توازنات ناش للاستراتيجيات البحتة (مثل لعبة التنسيق ، ومعضلة السجين ، ولعبة صيد الغزلان ). علاوة على ذلك، يمكن أن تمتلك الألعاب توازنات للاستراتيجيات البحتة وتوازنات للاستراتيجيات المختلطة. ومن الأمثلة السهلة لعبة التنسيق البحتة، حيث يوجد بالإضافة إلى الاستراتيجيات البحتة (A,A) و (B,B) توازن مختلط يلعب فيه كلا اللاعبين أيًا من الاستراتيجيتين باحتمالية 1/2.

خلال ثمانينيات القرن العشرين، تعرض مفهوم الاستراتيجيات المختلطة لانتقادات حادة لكونه "إشكاليًا من الناحية البديهية"، نظرًا لكونها توازنات ناش ضعيفة، حيث يكون اللاعب غير مبالٍ بين اتباع احتمالية استراتيجية التوازن أو الانحراف إلى احتمالية أخرى. ^{[ 4 ] [ 5 ]} يصف عالم نظرية الألعاب، أرييل روبنشتاين، طرقًا بديلة لفهم هذا المفهوم. الأولى، التي تعود إلى هارساني (1973)، ^{[ 6 ]} تُسمى "التنقية" ، وتفترض أن تفسير الاستراتيجيات المختلطة يعكس ببساطة نقص معرفتنا بمعلومات اللاعبين وعملية اتخاذ القرار لديهم. وبالتالي، تُعتبر الخيارات العشوائية ظاهريًا نتائج لعوامل خارجية غير محددة وغير ذات صلة بالعائد. ^{[ 5 ]} أما التفسير الثاني، فيتصور أن لاعبي اللعبة يمثلون مجموعة كبيرة من الوكلاء. يختار كل وكيل استراتيجية خالصة، ويعتمد العائد على نسبة الوكلاء الذين يختارون كل استراتيجية. ومن ثم، تمثل الاستراتيجية المختلطة توزيع الاستراتيجيات الخالصة التي يختارها كل وكيل. ومع ذلك، فإن هذا لا يوفر أي مبرر للحالة التي يكون فيها اللاعبون وكلاء فرديين.

لاحقًا، أعاد أومان وبراندنبورغر (1995) ^{[ 7 ]} تفسير توازن ناش على أنه توازن في المعتقدات ، وليس في الأفعال. فعلى سبيل المثال، في لعبة حجر ورقة مقص، يكون توازن المعتقدات هو اعتقاد كل لاعب أن احتمالية لعب الآخر لكل استراتيجية متساوية. إلا أن هذا التفسير يُضعف القدرة الوصفية لتوازن ناش، إذ من الممكن في مثل هذا التوازن أن يلعب كل لاعب استراتيجية حجر خالصة في كل جولة من اللعبة، حتى وإن كانت الاحتمالات بمرور الوقت تُشير إلى احتمالات الاستراتيجية المختلطة.

يجمع مفهوم تكافؤ النتائج بين الاستراتيجية المختلطة والسلوكية للاعب i واستراتيجية خصمه البحتة. ويُعرَّف تكافؤ النتائج بأنه الحالة التي يكون فيها توزيع نتائج أي استراتيجية مختلطة وسلوكية يتبعها اللاعب i، ردًا على أي استراتيجية بحتة يتبعها خصمه، متساويًا. ويمكن وصف هذا التكافؤ بالصيغة التالية: (Q^(U(i), S(-i)))(z) = (Q^(β(i), S(-i)))(z)، حيث U(i) تصف الاستراتيجية المختلطة للاعب i، وβ(i) تصف استراتيجيته السلوكية، وS(-i) هي استراتيجية الخصم. ^{[ 8 ]}

يُعرَّف التذكر المثالي بأنه قدرة كل لاعب في اللعبة على تذكر جميع أفعاله السابقة واسترجاعها. يُعدّ التذكر المثالي شرطًا أساسيًا للتكافؤ، إذ في الألعاب المحدودة ذات التذكر غير المثالي، توجد استراتيجيات مختلطة للاعب الأول لا يوجد لها استراتيجية سلوكية مكافئة. وقد وُصِف هذا الأمر بالتفصيل في لعبة "السائق الشارد الذهن" التي وضعها بيكيوني وروبنشتاين. باختصار، تعتمد هذه اللعبة على اتخاذ القرار من قِبَل سائق يعاني من التذكر غير المثالي، والذي يحتاج إلى سلوك المخرج الثاني من الطريق السريع للوصول إلى منزله، ولكنه لا يتذكر التقاطع الذي وصل إليه. يوضح الشكل [2] هذه اللعبة.

بدون معلومات كاملة (أي معلومات غير كاملة)، يتخذ اللاعبون قرارًا عند كل نقطة تحول دون معرفة القرارات السابقة. لذلك، قد تُنتج استراتيجية اللاعب المختلطة نتائج لا تُنتجها استراتيجيته السلوكية، والعكس صحيح. يتضح هذا في لعبة السائق الشارد الذهن . مع التذكر الكامل والمعلومات الكاملة، يمتلك السائق استراتيجية واحدة خالصة، وهي [الاستمرار، الخروج]، لأنه على دراية بالتقاطع (أو نقطة التحول) الذي يقف عنده. من ناحية أخرى، بالنظر إلى مرحلة التخطيط الأمثل فقط، يتحقق أقصى عائد بالاستمرار عند كلا التقاطعين، ويبلغ أقصى قيمة له عند p=2/3 (القيمة المرجعية). تُظهر هذه اللعبة البسيطة للاعب واحد أهمية التذكر الكامل لتكافؤ النتائج، وتأثيره على الألعاب العادية والموسعة. ^{[ 9 ]}